110 地方特考四等 建築工程 工程力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查：

• 簡支梁支承反力的判定。
• 梯形分布載重的等效集中力。
• 靜力平衡方程式：

$$\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M_A=0$$

圖中梁長為 $8\text{ m}$，A 點為鉸支承，B 點為滾支承，因此：

• A 點反力：水平反力 $A_x$、垂直反力 $A_y$
• B 點反力：垂直反力 $B_y$

分布載重均垂直向下，故水平方向反力為零。

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（一）自由體圖

將梁自支承處分離，並以支承反力及等效集中力表示：

 ↓ 600 N/m ↓ 400 N/m
 ↓ ↓
A ───────────────────────────────────────── B
↑ Ay ↓梯形分布載重 ↑ By
→ Ax

<──── 4 m ────><──── 4 m ────>

自由體圖應標示：

• A 點：$A_x$、$A_y$
• B 點：$B_y$
• 全長 $8\text{ m}$ 的梯形分布載重
• 載重強度由 A 端的 $600\text{ N/m}$，於前 $4\text{ m}$ 線性降至 $400\text{ N/m}$，後 $4\text{ m}$ 維持 $400\text{ N/m}$

為方便計算，將載重分解為：

1. 全長 $8\text{ m}$、強度 $400\text{ N/m}$ 的矩形載重。
2. 左側 $4\text{ m}$、最大強度 $200\text{ N/m}$ 的三角形載重。

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（二）A 點及 B 點反力

1. 求分布載重合力

矩形部分：

$$W_1=400(8)=3200\text{ N}$$

其作用位置位於梁中央：

$$x_1=4\text{ m}$$

三角形部分：

$$W_2=\frac{1}{2}(4)(200)=400\text{ N}$$

三角形的最大端位於 A 點，因此其形心距 A 點：

$$x_2=\frac{4}{3}\text{ m}$$

總載重為：

$$W=W_1+W_2=3200+400=3600\text{ N}$$

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2. 求 A 點與 B 點的垂直反力

取 A 點為力矩中心：

$$\sum M_A=0$$

逆時針力矩為正：

$$B_y(8)-3200(4)-400\left(\frac{4}{3}\right)=0$$

因此：

$$8B_y=12800+\frac{1600}{3}$$ $$B_y=\frac{40000}{3}\text{ N}$$

核心觀念

本題考查平面桁架的：

1. 整體平衡求支承反力。
2. 零力桿件判定。
3. 節點法求桿件內力。
4. 桿件受拉、受壓之判斷。

桁架各節點均視為鉸接，桿件只承受軸力。計算時先假設桿件均為受拉，若所得內力為負值，即表示該桿件實際受壓。

圖中各底部節點間距為 $1.5\ \text{m}$，故：

• $A(0,0)$
• $B(1.5,0)$
• $C(3,0)$
• $D(4.5,0)$
• $E(6,0)$
• $H(1.5,1)$
• $G(3,2)$
• $J(4.5,1)$

斜桿的水平、垂直分量比例為 $3:2$，斜桿長度方向之單位向量為：

$$\frac{3}{\sqrt{13}},\qquad \frac{2}{\sqrt{13}}$$

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一、求支承反力

設 $A$ 為鉸支承，反力為 $A_x,A_y$；$E$ 為滾支承，反力為 $E_y$。

水平方向無外力，因此：

$$A_x=0$$

取 $A$ 點力矩：

$$\sum M_A=0$$ $$E_y(6)-10(1.5)-12(3)-15(4.5)=0$$ $$6E_y=118.5$$ $$E_y=19.75\ \text{kN}$$

再由鉛直力平衡：

$$A_y+E_y-10-12-15=0$$ $$A_y=37-19.75=17.25\ \text{kN}$$

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二、零力桿件判定

1. 節點 B

節點 $B$ 無外力作用，且 $AB$、$BC$ 為同一直線上的兩桿件，另有非共線桿件 $BH$。

依零力桿件判定法：

若一個無外力作用的節點，具有兩根共線桿件及一根非共線桿件，則非共線桿件為零力桿件。

因此：

$$BH=0$$

2. 節點 D

節點 $D$ 無外力作用，且 $CD$、$DE$ 為同一直線上的兩桿件，另有非共線桿件 $DJ$。

因此：

$$DJ=0$$

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三、求桿件 CD

觀察節點 $D$，因為 $DJ=0$，節點 $D$ 僅受水平桿件 $CD$、$DE$ 作用。

水平方向平衡：

$$F_{CD}=F_{DE}$$

因此先由節點 $E$ 求 $F_{DE}$。

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四、節點 E 求 $F_{DE}$ 與 $F_{EJ}$

在節點 $E$，已知向上的支承反力 $E_y=19.75\ \text{kN}$。

假設 $F_{EJ}$ 為拉力，則 $EJ$ 對節點 $E$ 的分量為：

• 水平分量：$\dfrac{3}{\sqrt{13}}F_{EJ}$
• 鉛直分量：$-\dfrac{2}{\sqrt{13}}F_{EJ}$

鉛直方向平衡：

$$\sum F_y=0$$ $$19.75-\frac{2}{\sqrt{13}}F_{EJ}=0$$ $$F_{EJ}=\frac{19.75\sqrt{13}}{2} =\frac{79\sqrt{13}}{8} =35.60\ \text{kN}$$

此處採用從 $E$ 指向 $J$ 的桿件方向作分量，故桿件 $EJ$ 實際為受壓。以受拉為正號表示：

$$F_{EJ}=-35.60\ \text{kN}$$

水平方向平衡：

核心觀念

本題考查簡支梁的：

1. 支承反力計算；
2. 剪力圖（V-Diagram）；
3. 彎矩圖（M-Diagram）；
4. 集中力造成剪力跳躍，集中力偶造成彎矩圖跳躍。

梁長為 $4\ \text{m}$，支承為：

• $A$ 點：鉸支承；
• $B$ 點：滾支承。

圖中荷載為：

• $x=1\ \text{m}$ 處，向下集中力 $1000\ \text{N}$；
• $x=2\ \text{m}$ 處，順時針力偶 $1200\ \text{N}\cdot\text{m}$；
• $x=3\ \text{m}$ 處，向下集中力 $800\ \text{N}$。

取向上剪力為正，逆時針彎矩為正。

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一、計算支承反力

設支承反力為 $A_y$、$B_y$。水平方向無外力，因此：

$$A_x=0$$

對 $A$ 點取力矩，逆時針為正：

$$\sum M_A=0$$ $$4B_y-1000(1)-1200-800(3)=0$$ $$4B_y-1000-1200-2400=0$$ $$B_y=1150\ \text{N}$$

再由垂直方向力平衡：

$$\sum F_y=0$$ $$A_y+B_y-1000-800=0$$ $$A_y+1150-1800=0$$ $$A_y=650\ \text{N}$$

因此：

$$\boxed{A_y=650\ \text{N}\uparrow}$$ $$\boxed{B_y=1150\ \text{N}\uparrow}$$

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二、剪力圖

集中力偶不會造成剪力改變，因此只需考慮集中力與支承反力。

$x=0$ 至 $x=1\ \text{m}$

剛通過 $A$ 點後：

$$V=+650\ \text{N}$$

$x=1$ 至 $x=3\ \text{m}$

在 $x=1\ \text{m}$ 遇到向下 $1000\ \text{N}$ 集中力，剪力下降 $1000\ \text{N}$：

$$V=650-1000=-350\ \text{N}$$

因此從 $x=1$ 到 $x=3$，剪力維持：

$$V=-350\ \text{N}$$

$x=3\ \text{m}$ 至 $x=4\ \text{m}$

在 $x=3\ \text{m}$ 遇到向下 $800\ \text{N}$：

$$V=-350-800=-1150\ \text{N}$$

因此到達 $B$ 點前：

$$V=-1150\ \text{N}$$

在 $B$ 點受到向上反力 $1150\ \text{N}$：

$$V=-1150+1150=0$$

剪力圖關鍵數值

位置區間	剪力
$0<x<1$	$+650\ \text{N}$
$1<x<3$	$-350\ \text{N}$
$3<x<4$	$-1150\ \text{N}$
$x=4$ 後	$0$

剪力圖為階梯狀：

• $A$ 點由 $0$ 跳至 $+650$；
• $x=1$ 由 $+650$ 降至 $-350$；
• $x=3$ 由 $-350$ 降至 $-1150$；
• $B$ 點由 $-1150$ 跳回 $0$。

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三、彎矩圖

彎矩與剪力的關係為：

$$\frac{dM}{dx}=V$$

因此，在剪力為常數的區間內，彎矩圖為直線。

$A$ 點

簡支梁端點彎矩為零：

$$M_A=0$$

$x=1\ \text{m}$ 處

由 $A$ 點向右：

$$M(1)=650(1)=650\ \text{N}\cdot\text{m}$$

所以：

$$\boxed{M_{x=1}=+650\ \text{N}\cdot\text{m}}$$

$x=2\ \text{m}$ 前

由 $x=1$ 至 $x=2$，剪力為 $-350\ \text{N}$：

$$M(2^-)=650+(-350)(1)$$ $$M(2^-)=300\ \text{N}\cdot\text{m}$$

$x=2\ \text{m}$ 處的集中力偶

順時針集中力偶會使彎矩圖向下跳躍 $1200\ \text{N}\cdot\text{m}$：

$$M(2^+)=M(2^-)-1200$$ $$M(2^+)=300-1200=-900\ \text{N}\cdot\text{m}$$

因此，彎矩圖在 $x=2\ \text{m}$ 處有：

$$\boxed{\Delta M=-1200\ \text{N}\cdot\text{m}}$$

$x=3\ \text{m}$ 處

由 $x=2$ 至 $x=3$，剪力為 $-350\ \text{N}$：

$$M(3)=-900+(-350)(1)$$ $$M(3)=-1250\ \text{N}\cdot\text{m}$$

因此：

核心觀念

本題考查複合面積形心與平行軸定理。

由圖可將斷面分成：

1. 中央腹板：$60\text{ mm}\times240\text{ mm}$
2. 上翼板：$180\text{ mm}\times60\text{ mm}$
3. 下翼板：$180\text{ mm}\times60\text{ mm}$

圖形上下對稱，因此形心 $C$ 位於全高中央；求 $\bar{x}$ 時，以左側 $y$ 軸為基準。

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一、求形心位置 $\bar{x}$

各矩形面積及其形心至 $y$ 軸距離如下：

部分	面積 $A$	$x$ 座標
腹板	$60(240)=14400\text{ mm}^2$	$30\text{ mm}$
上翼板	$180(60)=10800\text{ mm}^2$	$60+\dfrac{180}{2}=150\text{ mm}$
下翼板	$10800\text{ mm}^2$	$150\text{ mm}$

因此

$$\bar{x} =\frac{\sum Ax}{\sum A}$$ $$\bar{x} =\frac{14400(30)+10800(150)+10800(150)} {14400+10800+10800}$$ $$\boxed{\bar{x}=102\text{ mm}}$$

所以 $y'$ 軸距左側 $y$ 軸為 $102\text{ mm}$。

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二、求斷面對 $y'$ 軸的慣性矩

對垂直軸而言，矩形自身形心軸慣性矩為

$$I_y=\frac{hb^3}{12}$$

其中 $b$ 為水平方向寬度，$h$ 為垂直方向高度。

平行軸定理為

$$I_{y'}=\sum\left(I_y+A d^2\right)$$

其中 $d$ 為各部分形心至 $y'$ 軸的水平距離。

1. 腹板

腹板形心至 $y'$ 軸距離：

$$d_1=102-30=72\text{ mm}$$

腹板自身慣性矩：