109 地方特考四等 建築工程 工程力學概要 考古題詳解

核心觀念

鋼纜重量忽略時，各段鋼纜為直線；在沒有水平外力的載重點，鋼纜張力的水平分量相同，記為 $H$。載重點須符合垂直方向平衡。

若一段鋼纜的水平長度為 $L$、端點高差為 $\Delta y$，則該段張力的垂直分量為 $H(\Delta y/L)$；張力大小則為 $\sqrt{H^2+V^2}$。

解題方法

由圖可知 $AB=4\ \mathrm{m}$、$BC=3\ \mathrm{m}$、$CD=3\ \mathrm{m}$，且 $C$ 點低於端點連線 $1.8\ \mathrm{m}$。令 $B$ 點低於端點連線 $d_B$。

設三段鋼纜張力的垂直分量大小分別為 $V_{AB}$、$V_{BC}$、$V_{CD}$。由各段斜率：

在 $B$ 點及 $C$ 點分別列垂直方向平衡：

兩式相加得：

因此 $V_{AB}=16-0.6H$。另一方面，由斜率關係可得：

且

令兩式相等：

核心觀念

本題使用面積對某點的極慣性矩平行軸定理：

其中 $J_P$ 是面積對點 $P$ 的極慣性矩，$J_E$ 是對質心 $E$ 的極慣性矩，$A$ 是面積，$r_{PE}$ 是點 $P$ 與質心 $E$ 的距離。

依圖可知，$D$ 與 $E$ 位於同一水平線，$C$ 與 $E$ 的垂直距離為 $5\ \mathrm{mm}$；$B$ 與 $D$ 垂直對齊，$C$ 與 $E$ 垂直對齊。因此，$B$ 與 $D$ 的高度差也是 $5\ \mathrm{mm}$，而 $D$ 到 $E$ 的水平距離為 $d$。

解題方法

分別對 $B$、$C$、$D$ 使用平行軸定理：

先以 $J_B-J_D$ 消去 $J_E$ 與 $d^2$，求面積：

核心觀念

桿件 $BC$ 兩端固定，升溫後不能自由伸長，因此熱應變會轉化為軸向壓應力。材料的彈性模數由剪力模數與卜松比求得：

軸向單軸應力狀態下，最大剪應力為軸向正應力絕對值的一半：

解題方法

兩端固定表示總軸向應變為零。令拉應力為正，則

升溫造成壓應力。先將正應力與剪應力容許值換算成軸向應力上限，再取較嚴格者。

由正應力容許值：

由剪應力容許值：

核心觀念

本題考查平面梁的支承反力、剪力圖與彎矩圖。剪力圖遇到集中力會跳躍，彎矩圖則保持連續；分布載重會使剪力線性變化、彎矩呈二次曲線。

取梁軸線 $AC$ 為 $x$ 軸，從 $A$ 向右量，採「向上剪力為正、正彎矩為下凹（sagging）」的符號。全梁承受向下均布載重 $w=3\ \text{kN/m}$，長度 $6\ \text{m}$。斜桿 $DB$ 是兩力構件，其力沿桿軸線作用；由圖中尺寸，$DB$ 為 $3$–$4$–$5$ 斜桿。

解題方法

先求支承反力，再由截面平衡求剪力與彎矩。均布載重的合力為

作用於距 $A$ 點 $3\ \text{m}$ 處。令斜桿對梁在 $B$ 點的作用力為 $F_{DB}$，其垂直分量為 $\frac{3}{5}F_{DB}$。

對 $A$ 點取矩：

因此

斜桿對梁的水平分量為 $\frac{4}{5}F_{DB}=18\ \text{kN}$，垂直分量為 $13.5\ \text{kN}$，方向分別向右、向上。由力平衡得

水平反力不影響梁的剪力圖與彎矩圖。

令 $x$ 以公尺計，剪力函數為

其中 $B$ 點的集中向上力使剪力增加 $13.5\ \text{kN}$。各關鍵剪力值為

彎矩由 $dM/dx=V$，且 $M_A=0$ 得