111 地方特考四等 建築工程 工程力學概要 考古題詳解

核心觀念

整體構件有三個支承反力未知數：$a$ 點滾支承只提供垂直反力，$d$ 點鉸支承提供水平與垂直反力。以整體的平面靜力平衡式

即可求出支承反力。求 $c$ 點彎矩時，再取構件的一側作自由體圖，對 $c$ 點列力矩平衡。

解題方法

取向右為 $x$ 正向、向上為 $y$ 正向，逆時針力矩為正。以圖示幾何位置表示：$a$ 點取為力矩基準，$d$ 點相對於 $a$ 點的位置為 $(5,-1)\,\text{m}$；$7\,\text{kN}$ 向下載重作用於 $(2,2)\,\text{m}$；$6\,\text{kN}$ 向右載重作用於 $(5,0)\,\text{m}$。

先對整體列水平力平衡：

因此

負號表示 $d$ 點水平反力向左。

再以 $a$ 點取力矩：

代入 $D_x=-6\,\text{kN}$：

其中 $6\,\text{kN}$ 水平力的作用線通過 $a$ 點高度，對 $a$ 點力矩為零。接著列垂直力平衡：

核心觀念

本題考簡支梁帶右側懸臂時的支承反力，以及剪力圖、彎矩圖的判讀。使用平面力系平衡式：

將懸臂段均佈載重換算成合力，作用於該載重區段的形心。剪力圖的跳躍量來自集中力或支承反力；彎矩圖的斜率等於剪力。

以下採「截面左側向上的剪力為正、下凹彎矩為正」的號誌。

解題方法：求支承反力

均佈載重作用於 $b$ 點右側 $2\ \mathrm{m}$，其合力為

合力作用於均佈載重區段中央，亦即距 $a$ 點 $7\ \mathrm{m}$ 處。令 $R_a、R_b$ 分別為 $a、b$ 點的垂直反力，向上為正。

以 $a$ 點取矩：

垂直力平衡：

剪力圖與彎矩圖

令 $x$ 自 $a$ 點起算，$b$ 點位於 $x=6\ \mathrm{m}$，懸臂自由端位於 $x=8\ \mathrm{m}$。

集中力在 $x=3\ \mathrm{m}$ 使剪力向下跳 $2\ \mathrm{kN}$；$b$ 點反力使剪力向上跳 $8\ \mathrm{kN}$。懸臂段受均佈載重，因此剪力沿梁長線性下降。

剪力圖 $V(x)$：

各重要位置的剪力值如下：

核心觀念

在 $b$ 點取自由體圖，兩條鋼纜只承受沿纜線方向的拉力。由於 $b$ 點靜止，水平與垂直方向的力分量分別滿足平衡：

依圖中尺寸，以 $b$ 點的垂直投影線為水平距離基準，$a$ 點在 $b$ 點左上方，$c$ 點在 $b$ 點右上方。

解題方法

令 $T_{ab}$、$T_{bc}$ 分別為兩條鋼纜的軸力。由幾何尺寸計算纜線長度：

因此，兩條纜線方向的水平、垂直方向餘弦分別為：

• $ab$：水平分量比例為 $0.9/1.5=0.6$，垂直分量比例為 $1.2/1.5=0.8$。
• $bc$：水平分量比例為 $1.6/2=0.8$，垂直分量比例為 $1.2/2=0.6$。

取向右、向上為正，對 $b$ 點列平衡方程：

核心觀念

本題考查複合斷面的面積與截面二次慣性矩。工字型斷面可拆成上、下翼板與腹板三個矩形，再依平行軸定理計算：

$I=I_c+Ad^2$

其中 $I_c$ 為矩形對自身形心軸的慣性矩，$A$ 為矩形面積，$d$ 為該矩形形心至計算軸的距離。矩形的慣性矩公式為：

$I_x=\frac{bh^3}{12},\qquad I_y=\frac{hb^3}{12}$

解題方法

由圖可知，斷面關於 $y$ 軸左右對稱，也關於 $x$ 軸上下對稱，因此兩軸都通過斷面形心。腹板高度為 $300\ \mathrm{mm}$，加上上下翼板厚度各 $20\ \mathrm{mm}$，總高度為 $340\ \mathrm{mm}$。

面積為三個矩形面積之和：

計算 $I_x$ 時，上、下翼板的形心距 $x$ 軸皆為：

因此：