111 地方特考四等 化學工程 化工機械概要 考古題詳解

核心觀念

本題屬於四等國家考試《化工機械概要》（涵蓋單元操作與輸送現象）經典的名詞解釋題型，評量考生對熱傳導、質傳擴散、介面質傳理論及化工熱能附屬設備四大基本主題的掌握程度：

1. 對數平均半徑：厚壁圓柱座標穩態熱傳導（或質量擴散）之幾何等效修正，將圓管徑向熱傳導公式化簡為與平面平板相同之傅立葉定律形式。
2. 菲克第二定律（Fick’s second law）：一維或多維非穩態（transient）純分子擴散之控制微分方程式，本質為質量守恆（連續方程式）與菲克第一定律之結合。
3. 蒸汽疏水器（Steam trap）：化工程序管路與熱交換系統中的自動阻汽排水閥件，利用熱力、機械或熱靜力特性區分蒸汽、冷凝水與不凝結氣體。
4. 雙膜理論（Two film theory）：惠特曼（Whitman）提出之氣液兩相介面質傳阻力串聯模型，為吸收、脫餾塔設計之理論基石。

解題方法

解答申論式名詞解釋，應依循「數學定義與表示式 $\rightarrow$ 物理意義與控制機構 $\rightarrow$ 重要假設與工程應用」三層次架構鋪陳，達到閱卷委員要求的嚴謹度與得分結構：

• 第(一)小題：列出對數平均半徑之數學定義式，推導並說明其如何由圓柱座標穩態一維傅立葉定律導出，並點出與算術平均半徑的適用邊界（半徑比小於 1.5）。
• 第(二)小題：寫出非穩態擴散控制偏微分方程式，清楚定義各符號意義，說明其質量守恆物理機制，並指出與熱傳導第二定律（傅立葉非穩態方程式）的對偶關係。
• 第(三)小題：界定設備定位，精確條列三大功能（阻汽、排水、排氣），並依據物理驅動原理歸納三大類常見型式（機械式、熱靜力式、熱動力式）。
• 第(四)小題：完整條列雙膜理論之四大核心假設，寫出氣相、液相薄膜之通量公式及介面平衡關係，並推導總質傳阻力與分膜阻力之串聯關係。

試題逐題詳解

(一) 對數平均半徑（Log-mean radius）

1. 數學定義： 設一圓管之內半徑為 $r_1$、外半徑為 $r_2$，則對數平均半徑 $r_{lm}$ 定義為： $r_{lm} = \frac{r_2 - r_1}{\ln(r_2 / r_1)}$ 其對應之對數平均傳熱面積為 $A_{lm} = 2\pi r_{lm} L$（$L$ 為管長）。

2. 物理意涵與推導來源： 對於長度為 $L$、熱傳導係數為 $k$ 的圓管，若內外表面溫度分別維持為 $T_1$ 與 $T_2$，在無內生熱之穩態一維徑向熱傳導下，傅立葉熱傳定律表示為： $q = -k A \frac{dT}{dr} = -k (2\pi r L) \frac{dT}{dr}$ 分離變數積分可得傳熱速率： $q = \frac{2\pi k L (T_1 - T_2)}{\ln(r_2 / r_1)}$ 為將圓管徑向熱傳式改寫成與「平壁平板」結構一致的形式： $q = k A_{lm} \frac{T_1 - T_2}{r_2 - r_1} = k (2\pi r_{lm} L) \frac{T_1 - T_2}{r_2 - r_1}$ 兩式比對後，即定義出等效半徑 $r_{lm}$。它代表圓管徑向熱傳時，能使「平壁導熱公式」完全等效於「圓管導熱真實解」的等效幾何半徑。

3. 工程近似判據： 當管壁較薄，即內外半徑比 $\frac{r_2}{r_1} < 1.5$ 時，對數平均半徑可用算術平均半徑 $r_{am} = \frac{r_1 + r_2}{2}$ 近似，其相對誤差小於 $1.5\%$。

(二) Fick’s second law（菲克第二定律）

1. 數學表示式： 在等溫、等壓且擴散係數 $D_{AB}$ 視為常數的條件下，一維非穩態分子擴散的控制方程式為： $\frac{\partial C_A}{\partial t} = D_{AB} \frac{\partial^2 C_A}{\partial z^2}$ 三維直角座標之向量通式則為： $\frac{\partial C_A}{\partial t} = D_{AB} \nabla^2 C_A$ 式中：

• $C_A$：溶質 $A$ 的體積莫耳濃度（$\text{mol/m}^3$）
• $t$：擴散時間（$\text{s}$）
• $z$：擴散方向之空間座標（$\text{m}$）
• $D_{AB}$：溶質 $A$ 在介質 $B$ 中的分子擴散係數（$\text{m}^2/\text{s}$）

2. 物理意涵：

• 菲克第二定律描述**非穩態（濃度隨時間變化）**之純分子擴散現象，指出「某空間點之濃度隨時間的變化率，正比於該點濃度梯度的空間曲率（二次空間導數）」。
• 此定律由溶質 $A$ 的連續方程式（質量守恆：淨流入速率等於累積速率）結合菲克第一定律（$J_A^* = -D_{AB} \frac{\partial C_A}{\partial z}$）推導而得。
• 在數學結構上，此式與熱傳導中的傅立葉非穩態方程式 $\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}$（$\alpha$ 為熱擴散係數）完全對偶。常用於金屬滲碳、高分子膜滲透及固體乾燥初期之質傳解析。

(三) 蒸汽疏水器（Steam trap）

1. 基本定義： 蒸汽疏水器（又稱蒸汽袪水器）為一種安裝於蒸汽輸送管路、蒸煮釜或熱交換器冷凝端的自力式自動閥門。

2. 三大核心功能：

• 阻汽（Prevent steam loss）：阻止未凝結之新鮮生蒸汽逸漏，維持系統操作壓力並節省昂貴的潛熱能源。
• 排水（Discharge condensate）：自動且即時排出系統中釋放潛熱後相變生成的冷凝積水，避免熱交換表面積水導致熱阻遽增，並防止高速流體帶動積水引發強烈破壞性的「水錘現象（water hammer）」。

核心觀念

本題考查化工單元操作中「流體輸送機械」的核心理論，涵蓋三大考點：

1. 泵的分類與運轉特性：工業用泵依能量傳遞機制，主要區分為動力式泵（動能式，以離心泵為代表）與容積式泵（正排量泵，分為往復式與迴轉式）。
2. 揚程與氣綁（Air Binding）機制：離心泵葉輪所建立的水力揚程（Head, $H$）主要取決於葉輪圓周速度，以流體柱高度表示時與流體密度無關： $H = \frac{u_2^2 - u_1^2}{2g}$ 然而泵出口與入口間的實際靜壓差為： $\Delta P = \rho g H$ 當流體密度 $\rho$ 劇降（如空氣相較於液體），產生的壓差不足以抽吸液體，即形成「氣綁」。
3. 流體黏度對泵特性的影響：黏度上升會增加邊界層摩擦損失與圓盤摩擦阻力，嚴重劣化離心泵之水力效率、揚程與流量；反之，容積式泵利用機械封閉容積排液，流體黏度提高反而能減少內部縫隙洩漏（Slip），維持高容積效率。

解題方法

1. 第 (一) 小題解題切入點：

• 採化工機械標準二分法架構：「動力式泵」與「容積式泵」，並進一步將容積式泵細分為往復式與迴轉式。
• 比較面向鎖定國考評分重點：作動原理、流量與揚程關係（$Q$-$H$ 特性曲線）、流量連續性、出口閥關閉特性、自吸能力及黏度適應性。

2. 第 (二) 小題解題切入點：

• 明確指出受氣綁影響的泵種為「離心泵（動力式泵）」。
• 由 $\Delta P = \rho g H$ 出發，論證氣體密度（$\rho_{\text{air}} \approx 1.2\,\text{kg/m}^3$）僅為水密度（$\rho_{\text{water}} \approx 1000\,\text{kg/m}^3$）的千分之一，致使吸入口無法建立足以克服大氣壓力差的真空度，必須在啟動前執行「灌泵（Priming）」。

3. 第 (三) 小題解題切入點：

• 回答「何種泵」以及「何種工況時機」適合輸送黏稠性流體。
• 機制分析：說明為何離心泵不適用（動能損失劇增、效率驟跌），而容積式泵（尤以迴轉式泵如齒輪泵、螺桿泵為最佳）適合高黏度條件。

解題技巧與常見陷阱

1. 名詞辨析陷阱（氣綁 vs. 氣蝕）：

• 氣綁（Air Binding）：啟動前泵內殘留氣體或未灌泵，因氣體密度過小無法建立吸入壓差，泵無法出水。
• 氣蝕／穴蝕（Cavitation）：運轉中吸入端局部壓力低於液體之飽和蒸氣壓（$P < P_v$），液體汽化產生氣泡，氣泡流至高壓區破裂衝擊葉片造成材料剝蝕與噪音。兩者成因完全不同，答題切勿混淆。

2. 操作安全陷阱（出口閥控制）：

• 離心泵啟動時應關閉出口閥（零流量時軸功率最小，避免馬達超載）；運轉中可透過節流出口閥調節流量。
• 容積式泵運轉時嚴禁關閉出口閥（流量恆定，關閥會導致管線壓力無限飆升而爆裂），管線必須強制配置安全洩壓閥（Relief Valve）。

3. 高黏度適用界限：

• 一般液體運動黏度大於 $50 \sim 100\,\text{cSt}$ 時，離心泵效率已顯著下降；當黏度大於數百至數千 $\text{cSt}$（如重油、糖漿、高分子聚合物）時，必定選用迴轉容積式泵。

【答案】

(一) 泵的分類與比較

工業與化工製程常用之泵，依能量傳遞方式主要分為兩大類：

1. 動力式泵（Dynamic Pumps，以離心泵 Centrifugal Pump 為主）：

• 利用高速旋轉之葉輪（Impeller）將機械能轉化為流體之動能，再透過蝸殼（Volute）或導葉將動能轉換為靜壓能。

2. 容積式泵（Positive-Displacement Pumps，PD 泵）：

核心觀念

本題旨在測驗一維穩態熱傳導（One-dimensional Steady-state Conduction）之基本計算，主要核心依據為傅立葉熱傳導定律（Fourier's Law of Heat Conduction）：

1. 傅立葉熱傳導定律微分式： $q'' = -k \frac{dT}{dx}$ 其中：

• $q''$（或記為 $\frac{q}{A}$）：熱流通量（Heat Flux），即單位時間、單位面積所傳遞的熱量。
• $k$：熱傳導係數（Thermal Conductivity）。
• $\frac{dT}{dx}$：溫度梯度（Temperature Gradient）。

2. 平板一維穩態無內生熱條件： 材料均勻且 $k$ 視為定值時，平板內部溫度呈線性分佈，溫度梯度為常數： $q'' = k \frac{\Delta T}{L} = k \frac{T_1 - T_2}{L}$ 其中 $L$ 為材料厚度，$T_1$ 為高溫側溫度，$T_2$ 為低溫側溫度。

解題方法

1. 整理已知條件

• 平板厚度 $L = 0.50\ \mathrm{m}$
• 材料熱傳導係數 $k = 0.54\ \mathrm{kcal/(hr\cdot m\cdot{}^\circ C)}$
• 高溫側溫度 $T_1 = 200{}^\circ\mathrm{C}$
• 低溫側溫度 $T_2 = 20{}^\circ\mathrm{C}$

2. 計算步驟推導

根據一維穩態熱傳導公式，熱量由高溫側向低溫側傳遞，熱流通量大小為： $q'' = k \frac{T_1 - T_2}{L}$

將已知數值代入： $q'' = 0.54\ \mathrm{\frac{kcal}{hr\cdot m\cdot{}^\circ C}} \times \frac{(200 - 20)\ {}^\circ\mathrm{C}}{0.50\ \mathrm{m}}$

$q'' = 0.54 \times \frac{180}{0.50} = 0.54 \times 360 = 194.4\ \mathrm{kcal/(hr\cdot m^2)}$

若進一步換算為國際標準制（$\mathrm{SI}$ 制單位 $\mathrm{W/m^2}$）：

核心觀念

1. 氣體吸收塔之質量平衡與操作線： 在逆向流（Counter-current flow）吸收塔中，操作線方程式代表塔內任一截面上，氣相組成分率與液相組成分率的質量守恆關係。
2. 操作線的直線化條件： 若以一般的「莫耳分率」（Mole fraction, $x, y$）表示，由於溶質被吸收，總氣體莫耳流率 $G$ 與總液體莫耳流率 $L$ 沿塔高不斷變化，導致操作線呈微彎曲線。若改採以無溶質（Solute-free）為基準的「莫耳比」（Mole ratio, $X, Y$），因為惰性載氣（Inert gas）莫耳流率 $G_s$ 與純溶劑（Solvent）莫耳流率 $L_s$ 在全塔恆定，質量平衡式即能簡化為嚴格的直線方程式。
3. 英制理想氣體狀態方程式： $P V = n R T$ 其中蘭金絕對溫度（Rankine）$T\ (\mathrm{R}) = T\ ({}^\circ\mathrm{F}) + 460$。
4. 最小操作線斜率（Minimum Slope, $(L_s/G_s)_{\min}$）： 代表在給定進出口濃度條件下，能完成該吸收分離任務的熱力學極限（最小溶劑用量）。此時操作線與平衡線相切或交於塔底，推動力（Driving force）趨近於零，所需塔高或理論板數趨近於無窮大。

解題方法

(一) 以何種方法表示可使操作線變成直線？

在吸收塔中，定義：

• $G_s$：不溶性惰性氣體（空氣）之莫耳流率（$\mathrm{lb_{mol}/hr}$，定值）。
• $L_s$：不含溶質之純溶劑（水）之莫耳流率（$\mathrm{lb_{mol}/hr}$，定值）。
• $Y$：氣相中氨氣對空氣的莫耳比（$\mathrm{lb_{mol}\ NH_3 / lb_{mol}\ Air}$），$Y = \frac{y}{1 - y}$。
• $X$：液相中氨氣對水的莫耳比（$\mathrm{lb_{mol}\ NH_3 / lb_{mol}\ H_2O}$），$X = \frac{x}{1 - x}$。

對塔頂至塔內任一截面進行氨氣的質量平衡： $G_s (Y - Y_2) = L_s (X - X_2)$

移項整理得操作線方程式： $Y = \left(\frac{L_s}{G_s}\right) X + \left(Y_2 - \frac{L_s}{G_s} X_2\right)$

結論： 以**無溶質基準的「莫耳比」（Mole ratio, $X$ 與 $Y$）表示濃度，並以無溶質流率（$L_s$ 與 $G_s$）**為計算基準，即可使操作線在全濃度範圍內呈現嚴格的直線，且其斜率恆為 $\frac{L_s}{G_s}$。

(二) 求此操作線的斜率為何？

操作線的斜率定義為 $\text{Slope} = \frac{L_s}{G_s}$，需先求出純水莫耳流率 $L_s$ 與惰性空氣莫耳流率 $G_s$：

Step 1：計算進料氣體總莫耳流率 $G_1$

• 氣體溫度：$T = 68{}^\circ\mathrm{F} = 68 + 460 = 528\ \mathrm{R}$
• 氣體壓力：$P = 1\ \mathrm{atm}$
• 氣體體積流率：$V = 1540\ \mathrm{ft^3/hr}$
• 理想氣體常數：$R = 0.73\ \mathrm{ft^3\cdot atm/(R\cdot lb_{mol})}$

利用理想氣體方程式求進料氣體總莫耳流率 $G_1$： $G_1 = \frac{P V}{R T} = \frac{1 \times 1540}{0.73 \times 528} = \frac{1540}{385.44} \approx 3.9954\ \mathrm{lb_{mol}/hr} \approx 4.00\ \mathrm{lb_{mol}/hr}$

Step 2：計算惰性氣體（空氣）莫耳流率 $G_s$ 進料氣體中氨氣含量 $y_1 = 3.52\% = 0.0352$： $G_s = G_1 (1 - y_1) = 3.9954 \times (1 - 0.0352) \approx 3.855\ \mathrm{lb_{mol}/hr}$

核心觀念

本題考二元分餾的總物料衡算、精餾段與提餾段操作線，以及 McCabe–Thiele 階梯法。平衡表以 n-Heptane（以下簡稱 H）為組成基準；在表列範圍內均有 $y_H>x_H$，表示 H 是較易揮發成分。

題目給的是蒸餾物含 $97\ \mathrm{mol\%}$ Ethyl Benzene、塔底物含 $2\ \mathrm{mol\%}$ Ethyl Benzene，因此換成 H 的莫耳分率：

飽和液進料的熱狀態參數為 $q=1$，所以進料線是 $x_H=z_{F,H}=0.42$ 的垂直線。

解題方法

先用總物料衡算及 Ethyl Benzene 衡算求產品流率。進料中的 Ethyl Benzene 為 $200(0.58)=116\ \mathrm{mol/h}$，故

代入 $B=200-D$：

以 H 衡算驗算：

回流比定義為 $R=L_0/D=2.5$。以 H 為橫、縱座標的精餾段操作線為

其與進料線的交點為

提餾段操作線通過此交點及 $(x_{B,H},x_{B,H})=(0.98,0.98)$，因此