108 地方特考四等 土木工程 結構學概要與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查內鉸梁的分段靜力平衡，以及剪力圖、彎矩圖與分布載重之間的關係：

• 內鉸 $C$ 不傳遞彎矩，因此 $M_C=0$；可將梁分成 $AC$ 與 $CD$ 兩段分析。
• 三角形分布載重可換算成合力，作用點位於三角形底邊較大載重端起算的 $1/3$ 處。
• 剪力圖由集中力造成跳躍；彎矩圖的斜率等於剪力。三角形分布載重下，剪力為二次曲線，彎矩為三次曲線。

以下採用「向上剪力為正、正彎矩為下凹」的符號慣例。

解題方法

1. 分析右段 $CD$

$CD=12\text{ m}$，載重由 $C$ 點的 $0$ 線性增加至 $D$ 點的 $12\text{ kN/m}$。其合力為

合力作用點距 $C$ 點 $2/3$ 段長，即 $8\text{ m}$。令右段鉸支承力為 $C_y$、$D$ 點滾支承反力為 $D_y$，取 $C$ 點力矩：

再由垂直力平衡：

這是右段所受的向上鉸接力；因此左段在 $C$ 點受到大小相同、方向向下的 $24\text{ kN}$ 力。

2. 分析左段 $AC$，求 $P$

題圖所示 $A$ 點支承彎矩方向為逆時針，取逆時針為正。$A$ 點力矩平衡為

因此

再由左段垂直力平衡，$A$ 點垂直反力為

剪力圖

令 $x$ 自 $A$ 點向右量，剪力單位為 $\text{kN}$。

在 $B$ 點，向下集中力 $P=20\text{ kN}$ 使剪力向下跳 $20\text{ kN}$，由 $44$ 降至 $24$。到 $C$ 點剪力仍為 $24\text{ kN}$。

令 $s$ 自 $C$ 點向右量，$0<s<12$。載重強度為 $w(s)=s\text{ kN/m}$，故

核心觀念

本題以各節點的水平、垂直力平衡求桁架桿件軸力及支承反力，並以單位荷重法求 $b$ 點水平位移。桿件內力以拉力為正、壓力為負；位移計算使用

其中 $N_i$ 為實際荷重下桿件軸力，$n_i$ 為在 $b$ 點施加單位水平力時的桿件軸力，$L_i$ 為桿長。依圖中支承，$a、d$ 均為鉸接支承；圖示尺寸使斜桿長度為 $5\,\text{m}$，水平桿長度為 $4\,\text{m}$。

解題方法

令桿件拉力為正。由節點平衡逐步求解：

在 $b$ 點，水平方向只有 $bc$ 桿，因此

在 $c$ 點，由垂直及水平方向平衡：

在 $f$ 點，由水平方向平衡得

垂直方向平衡則為

代入 $F_{fc}=-\frac{3}{5}F_{ec}$，得到

在 $e$ 點，水平方向平衡為

與 $F_{ef}=\frac{4}{5}F_{fd}$ 聯立，得到

再依前述節點平衡式，求得各桿內力：

核心觀念

本題考查鋼筋混凝土 T 型梁的正彎矩強度。先以等值矩形壓力塊求中性軸位置與名目彎矩 $M_n$，再依受拉鋼筋應變判定強度折減係數 $\phi$，設計強度為 $M_{ds}=\phi M_n$。

若壓力塊深度 $a$ 不超過翼版厚度 $t$，混凝土壓力區完全位於翼版內，可按寬度 $b_E$ 的矩形梁計算：

解題方法

取 D25 單支鋼筋面積為

因此

先計算壓力塊深度：

因為 $a=7.95\ \mathrm{cm}<t=10\ \mathrm{cm}$，壓力區完全落在翼版內，故使用翼寬 $b_E=90\ \mathrm{cm}$ 計算成立。取 $\beta_1=0.85$，中性軸深度為

受拉鋼筋應變為

核心觀念

本題考懸臂梁的剪力設計：先求臨界斷面的設計剪力，再由混凝土剪力強度及最小肋筋量，確認肋筋間距是否符合規定。

懸臂梁的臨界斷面取距固定端 $d$ 處，因此均佈載重只作用於臨界斷面至梁端的長度 $L-d$。依題圖公式，剪力強度為

本題另有軸向拉力。採用軸力修正式 $V_c=0.53\sqrt{f'_c}\,b_wd(1-T_u/(140A_g))$；題目未提供梁總深度，計算時以 $A_g\approx b_wd$ 估算。

解題方法

1. 求臨界斷面設計剪力

均佈載重採強度組合：

臨界斷面距固定端 $d=57\ \mathrm{cm}=0.57\ \mathrm{m}$，故

2. 計算混凝土剪力強度

取 $A_g\approx b_wd=35(57)=1995\ \mathrm{cm^2}$，軸力修正因子為

因此

所需箍筋剪力為

3. 檢核最小肋筋量並換算間距

最小肋筋剪力依題圖取兩者較大值：