109 地方特考四等 土木工程 結構學概要與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查內鉸梁的分段平衡、支承反力，以及剪力圖與彎矩圖的基本關係：

• 內鉸 $D$ 可傳遞力，但不能傳遞彎矩，因此 $M_D=0$；以 $D$ 為界分成兩段分析。
• 均布載重 $q$ 作用於 $DE$，長度為 $2L$，合力為 $2qL$，作用於跨中，距 $D$ 為 $L$。
• 集中力或支承反力會使剪力圖產生跳躍；均布載重則使剪力線性變化。
• 彎矩圖斜率等於剪力，即 $\frac{dM}{dx}=V$。

以下取向上為正，剪力正號定義為左截面向上，彎矩正號採下凹（正彎矩）。

解題方法

令 $A,B,C,D,E$ 的座標依序為 $0,L,2L,3L,5L$。支承反力記為 $B_x,B_y,C_y,E_y$。題圖中的 $P$ 作用於 $A$ 點且方向向上，並給定 $P=qL$。

先分析右段 $DE$。均布載重合力為 $2qL$，作用於 $DE$ 跨中。取 $D$ 點力矩：

再由垂直力平衡：

此處 $D_y=qL$ 是內鉸對右段的向上作用力；依作用與反作用，內鉸對左段的作用力為向下 $qL$。

分析左段 $ABCD$。沒有水平外力，因此 $B_x=0$。垂直力平衡為

以 $B$ 點取力矩，逆時針為正：

代入 $P=qL$，得

所以 $B$ 點反力向下，大小為 $3qL$；$C$ 點反力向上，大小為 $3qL$。

剪力圖

各段剪力依序為：

• $A$ 至 $B$：$V=+qL$。
• 通過 $B$，因向下反力 $3qL$，剪力由 $+qL$ 跳至 $-2qL$。
• $B$ 至 $C$：$V=-2qL$。
• 通過 $C$，因向上反力 $3qL$，剪力由 $-2qL$ 跳至 $+qL$。
• $C$ 至 $D$：$V=+qL$。內鉸沒有外加集中力，剪力在 $D$ 不跳躍。
• $D$ 至 $E$：受向下均布載重，剪力由 $D$ 點的 $+qL$ 線性下降至 $E$ 左側的 $-qL$；通過 $E$ 後因向上反力 $qL$ 跳回零。

令 $x$ 自 $A$ 點起算：

核心觀念

本題考桁架的節點平衡、零力桿判別，以及只能受拉的桿件條件。各節點均滿足 $\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$；全桁架則可先用 $\sum M=0$ 求支承反力。

以桿件受拉為正，計算結果為正表示拉力，負值表示壓力。圖中 $BG$ 與 $CF$ 交叉處沒有節點，兩桿不互相傳力。

解題方法

令 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上。外力 $2P$ 作用於 $A$ 點並向左，$E$ 點為鉸支承，$G$ 點為滾支承。

先對全桁架取平衡。以 $E$ 點取矩：

因此

負號表示 $G$ 點反力向下。再由垂直力平衡：

水平力平衡則得：

所以 $E$ 點反力向右 $2P$、向上 $P$；$G$ 點反力向下 $P$。

接著由節點法求桿力。$D$ 點只有 $CD$、$DH$ 兩桿，故兩桿皆為零力桿；再由 $H$ 點可得 $GH$、$CH$ 亦為零力桿。

在 $A$ 點，水平力平衡得 $AB=2P$，為拉力；垂直力平衡得 $AE=0$。

在 $E$ 點，代入支承反力及 $AE=0$：

因此 $EB$ 為壓力，大小 $\sqrt2P$。再由水平力平衡：

所以 $EF$ 為壓力，大小 $P$。

判定中間交叉斜桿的受力狀態：先令只能受拉的 $CF$ 不受力，即 $F_{CF}=0$。$C$ 點此時只剩 $BC$、$CG$ 兩桿，兩桿互相垂直，故皆為零力桿：

核心觀念

本題考查鋼筋混凝土（RC）構件對材料「抗壓強度」之法規門檻要求，以及混凝土抗壓強度提高後對結構受力、使用性及耐久性所帶來的各項效益。 本題解題依據以命題當年（民國 109 年）適用之內政部**《混凝土結構設計規範》**（民國 100 年修正版）為準（註：現行法規後續雖有局部修訂，但有關基本強度門檻及力學公式架構均維持一致）。

本題涉及之核心規範與力學關係式包含：

1. 強度指標定義：以符合 CNS 規範標準養護 28 天之圓柱試體規定抗壓強度 $f'_c$ 為基準。
2. 最低與上限門檻：一般結構混凝土最低強度、耐震特別規定之最低強度，以及部分公式對 $\sqrt{f'_c}$ 計算上限之限制。
3. 力學與使用性關聯公式：

• 軸壓承載力：短柱標稱軸壓強度 $P_n = 0.85 f'_c (A_g - A_{st}) + f_y A_{st}$
• 混凝土抗剪貢獻：梁構件 $V_c = 0.53 \sqrt{f'_c} b_w d\text{ (kgf)}$（SI 制為 $\frac{1}{6} \sqrt{f'_c} b_w d\text{ (N)}$）
• 彈性模數：常重混凝土 $E_c = 12,000 \sqrt{f'_c}\text{ kgf/cm}^2$（SI 制為 $4,700 \sqrt{f'_c}\text{ MPa}$）
• 破裂模數（抗彎開裂強度）：$f_r = 2.0 \sqrt{f'_c}\text{ kgf/cm}^2$（SI 制為 $0.62 \sqrt{f'_c}\text{ MPa}$）
• 受拉鋼筋基本伸展長度：$l_d \propto \frac{1}{\sqrt{f'_c}}$

解題方法

本題為標準的觀念簡答題，作答應採取「法規條列化」與「力學公式化」雙向切入：

1. 第一問（強度要求）：區分「一般結構最低規定強度」、「耐震構件強度要求」、「環境耐久性要求」以及「計算強度上限限制」，展示對規範體系的全面掌握。
2. 第二問（提升優點）：從「承載力與構件尺寸」、「勁度與使用性控制」、「錨錠與鋼筋配置」、「材料耐久性」四大面向分點說明，並佐以規範對應公式進行理論背書，強化說服力。

選項分析

本題非選擇題，為申論問答題。針對題旨兩大設問，深入剖析如下：

一、鋼筋混凝土構件對結構混凝土的強度要求

1. 一般結構之最低抗壓強度要求： 依規範第 3.2 節，結構混凝土之規定抗壓強度 $f'_c$ 不得小於 $175\text{ kgf/cm}^2$（約 $17.5\text{ MPa}$）。輕質結構混凝土亦不得小於 $175\text{ kgf/cm}^2$。
2. 耐震設計之最低抗壓強度要求： 依規範第 15 章耐震設計特別規定，設計耐震特殊抗彎矩構架與特殊結構牆時，為確保構件在大變形反覆載重下具備足夠的圍束完整性與剪力傳遞能力，規定抗壓強度 $f'_c$ 不得小於 $210\text{ kgf/cm}^2$（約 $21\text{ MPa}$）。
3. 耐久性環境之強度要求： 依規範第 4 章環境暴露類別，若構件處於凍融環境、接觸硫酸鹽侵蝕環境或有低透水性要求者，依暴露等級要求其最大水膠比（水灰比）並訂有最低規定抗壓強度要求（通常介於 $280\text{ kgf/cm}^2$ 至 $350\text{ kgf/cm}^2$ 不等）。
4. 剪力與錨錠計算強度上限限制： 考量混凝土強度過高時，其抗拉、抗剪強度之增長幅度趨緩且破壞漸趨脆性，規範規定用於計算剪力強度（$V_c$）、扭力強度及鋼筋受拉伸展長度（$l_d$）時，除特定經試驗認可之條款外，$\sqrt{f'_c}$ 之值不得大於 $8.4\text{ kgf/cm}^2$（相當於 $f'_c \le 705\text{ kgf/cm}^2$ 或 SI 制之 $\sqrt{f'_c} \le 2.2\text{ MPa}$）。

二、提升混凝土抗壓強度（$f'_c$）之優點

1. 大幅提升受壓承載力，減小構件斷面尺寸： 由短柱承載力公式 $P_n = 0.85 f'_c (A_g - A_{st}) + f_y A_{st}$ 可知，$f'_c$ 提升直接提高混凝土軸壓分擔能力。特別是在高層建築之底層柱，可大幅減小柱斷面面積 $A_g$，減少自重並釋放更多室內有效使用空間。

核心觀念

本題考簡支梁在均布載重下的最大正彎矩，以及單筋矩形梁的最低與最大受拉鋼筋量。依圖示，跨距 $L=6\ \mathrm{m}$，載重標示為 $w_u=6\ \mathrm{tf/m}$，因此直接以設計載重計算，不再另乘載重係數。

鋼筋量依規範公式計算；本題以民國 109 年命題時採用的《混凝土結構設計規範》為準。

解題方法

一、梁中央設計彎矩

簡支梁承受全跨均布載重時，中央最大彎矩為：

換算為 $\mathrm{kgf\cdot cm}$：

二、最低鋼筋量

矩形梁最低受拉鋼筋量為：

代入 $f'_c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$、$f_y=4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$、$b_w=40\ \mathrm{cm}$、$d=53\ \mathrm{cm}$：

取較大值：

若以題給單支鋼筋面積 $A_b=6.47\ \mathrm{cm^2}$ 配筋，至少需：