109 地方特考四等 土木工程 測量學概要 考古題詳解

109 年・地方特考・四等・土木工程
試題代碼 測量學概要

第 一 題20 分

在高程測量中常用到地球表面、大地水準面及橢球面，請解釋三者之意義及其特性，並說明此三面與高程之關係。

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核心觀念

本題評量測量學中「高程基準面」與「高程系統」之基本理論。核心概念包含三種基準面之本質區別（物理表面、重力等位面、幾何數學面）、起算方向（鉛垂線 vs. 橢球法線）以及高程系統轉換之基本幾何關係式： h=H+Nh = H + N 其中 hh 為橢球高（幾何高）、HH 為正高（物理高/海拔高）、NN 為大地水準面差距（起伏）。

解題方法

本題屬標準申論題，作答時切入架構應層次分明：

  1. 分別闡述三面：從「定義（意義）」與「幾何/物理特性」切入，點出各自所扮演的角色與起算方向。
  2. 推導高程關係：以垂線方向與幾何法線之關係，定義正高、橢球高與大地水準面差距，並列出標準關係式。
  3. 補充精度考量：簡要提及垂線偏差在工程實務上一階近似的合理性，展現專業深度。

申論解析

一、地球表面、大地水準面及橢球面之意義與特性

參考面意義（定義）特性
地球表面<br>(Earth's Physical Surface)地球實際存在的固體物理表面，包含陸地起伏（山川、丘陵、平原）及海洋沉積物底部之實體邊界面。1. 極度不規則：起伏崎嶇，無法以封閉的幾何數學公式精確描述。<br>2. 作業場所：為所有地面測量儀器（水準儀、經緯儀、全測站儀、GNSS 接收機）實際架設與觀測之處。
大地水準面<br>(Geoid)假想將處於完全靜止平衡狀態之平均海水面（Mean Sea Level, MSL）延伸穿過陸地所形成之封閉連續曲面。1. 重力等位面：面內每一點之重力位能均相等，曲面上處處與重力方向（鉛垂線）正交。<br>2. 物理不規則面：受地殼密度與內部質量分佈不均勻影響，仍具微小凹凸起伏，無法以簡易數學式精準解析。<br>3. 傳統高程起算面：為傳統幾何水準測量所測得「正高（海拔高）」之起算基準面。
橢球面<br>(Reference Ellipsoid)為解決大地水準面無法進行精確數學計算之缺點，選定特定長半軸 aa 與扁率 ff，使旋轉橢球體在區域或全球尺度上最佳擬合大地水準面之幾何旋轉曲面。1. 規則數學面：可用嚴密的旋轉拋物曲面方程式精確表達，便於進行坐標計算、投影變換與大地幾何分析。<br>2. 幾何基準：曲面上之法線方向由幾何模型決定，通常與鉛垂線存在微小夾角（垂線偏差）。<br>3. 衛星測量基準：為 GNSS（如 GPS WGS84、台灣 TWD97）空間坐標系統計算「橢球高」之基準面。

二、三面與高程之關係

地面任一點 PP 在三面架構下，高程定義與幾何關係如下：

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第 二 題20 分

有一三角形如圖所示，其中 ABAB 為已知點，假設點位沒有誤差，其 E,NE,N 坐標分別為 A(1000.00 m,800.00 m)A(1000.00\,\mathrm{m},800.00\,\mathrm{m})、B(1250.00 m,1100.00 m)B(1250.00\,\mathrm{m},1100.00\,\mathrm{m})，觀測得夾角及中誤差為 ∠α=53∘18′24′′±20′′\angle\alpha=53^\circ18'24''\pm20''、∠β=49∘38′46′′±20′′\angle\beta=49^\circ38'46''\pm20''，請計算 ACAC 邊長及其中誤差。

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核心觀念

已知三角形的基線 ABAB 與內角 α,β\alpha,\beta，可先由正弦定理求 ACAC。計算其中誤差時，將 ACAC 視為 α,β\alpha,\beta 的函數，利用誤差傳播公式；題目給定的中誤差視為角度的標準差，且兩角觀測彼此獨立。

解題方法

由已知點坐標求基線長：

AB=(1250−1000)2+(1100−800)2=2502+3002=390.5125 mAB=\sqrt{(1250-1000)^2+(1100-800)^2} =\sqrt{250^2+300^2} =390.5125\ \mathrm{m}

第三角為：

γ=180∘−α−β=180∘−53∘18′24′′−49∘38′46′′=77∘02′50′′\gamma=180^\circ-\alpha-\beta =180^\circ-53^\circ18'24''-49^\circ38'46'' =77^\circ02'50''

依正弦定理，ABAB 對應 γ\gamma，ACAC 對應 β\beta：

AC=ABsin⁡βsin⁡γ=390.5125sin⁡(49∘38′46′′)sin⁡(77∘02′50′′)≈305.36 mAC=AB\frac{\sin\beta}{\sin\gamma} =390.5125\frac{\sin(49^\circ38'46'')}{\sin(77^\circ02'50'')} \approx 305.36\ \mathrm{m}

令 L=ACL=AC。因 γ=π−α−β\gamma=\pi-\alpha-\beta，對 L=ABsin⁡β/sin⁡γL=AB\sin\beta/\sin\gamma 微分，可得：

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第 三 題20 分

已知 AA 點高程為 15.372 m15.372\,\mathrm{m}，現於 AA 點整置天頂距式垂直度盤之經緯儀觀測 BB 點之標尺，儀器高為 1.520 m1.520\,\mathrm{m}。

第一次觀測得標尺讀數為 2.362 m2.362\,\mathrm{m}，天頂距正鏡讀數為 81∘57′10′′81^\circ57'10''，倒鏡讀數為 278∘03′10′′278^\circ03'10''。

第二次觀測得標尺讀數為 0.835 m0.835\,\mathrm{m}，天頂距正鏡讀數為 83∘28′40′′83^\circ28'40''，倒鏡讀數為 276∘31′40′′276^\circ31'40''。

請問 ABAB 水平距離為何？BB 點高程值？

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核心觀念

本題屬於副三角高程測量中的標尺切線法（切線測距高程法），並結合了天頂距式垂直度盤的指標差消除。主要測驗以下三個核心觀念與幾何原理：

  1. 天頂距與指標差之消除：
  • 經緯儀天頂距垂直度盤以天頂（Zenith）為 0∘0^\circ，水平視線為 90∘90^\circ。
  • 若儀器存在垂直度盤指標差 xx，則正鏡（盤左）讀數 ZL=Z+xZ_L = Z + x，倒鏡（盤右）讀數 ZR=(360∘−Z)+xZ_R = (360^\circ - Z) + x。
  • 正倒鏡取平均即可消除指標差，正確天頂距為： Z=ZL+(360∘−ZR)2Z = \frac{Z_L + (360^\circ - Z_R)}{2}
  • 仰角（垂直角 α\alpha）與天頂距 ZZ 之幾何關係為： α=90∘−Z\alpha = 90^\circ - Z
  1. 標尺切線法測距原理：
  • 設儀器至直立標尺的水平距離為 DD。
  • 在同一個直立標尺上照準兩個不同高程位置（讀數分別為 S1S_1 與 S2S_2），對應的垂直角分別為 α1\alpha_1 與 α2\alpha_2。
  • 依據直角三角形切線關係： Dtan⁡α1−Dtan⁡α2=S1−S2  ⟹  D=S1−S2tan⁡α1−tan⁡α2D \tan\alpha_1 - D \tan\alpha_2 = S_1 - S_2 \implies D = \frac{S_1 - S_2}{\tan\alpha_1 - \tan\alpha_2}
  1. 三角高程測量基本公式：
  • 以測站 AA 為基準推算照準點 BB 之高程： HB=HA+i+Dtan⁡α−SH_B = H_A + i + D \tan\alpha - S 式中：HAH_A 為測站高程，ii 為儀器高，α\alpha 為垂直角，SS 為標尺讀數。

解題方法

步驟一：計算消除指標差後之天頂距與垂直角

  1. 第一次觀測：
  • 正鏡 ZL1=81∘57′10′′Z_{L1} = 81^\circ 57' 10''，倒鏡 ZR1=278∘03′10′′Z_{R1} = 278^\circ 03' 10''
  • 檢核指標差：ZL1+ZR1=360∘00′20′′Z_{L1} + Z_{R1} = 360^\circ 00' 20''（指標差 x=+10′′x = +10''）
  • 正確天頂距： Z1=81∘57′10′′+(360∘−278∘03′10′′)2=81∘57′10′′+81∘56′50′′2=81∘57′00′′Z_1 = \frac{81^\circ 57' 10'' + (360^\circ - 278^\circ 03' 10'')}{2} = \frac{81^\circ 57' 10'' + 81^\circ 56' 50''}{2} = 81^\circ 57' 00''
  • 對應之仰角： α1=90∘−Z1=90∘−81∘57′00′′=8∘03′00′′=8.0500∘\alpha_1 = 90^\circ - Z_1 = 90^\circ - 81^\circ 57' 00'' = 8^\circ 03' 00'' = 8.0500^\circ
  • 其正切值： tan⁡α1=tan⁡(8∘03′00′′)≈0.14141695\tan\alpha_1 = \tan(8^\circ 03' 00'') \approx 0.14141695
  1. 第二次觀測：
  • 正鏡 ZL2=83∘28′40′′Z_{L2} = 83^\circ 28' 40''，倒鏡 ZR2=276∘31′40′′Z_{R2} = 276^\circ 31' 40''
  • 檢核指標差：ZL2+ZR2=360∘00′20′′Z_{L2} + Z_{R2} = 360^\circ 00' 20''（指標差 x=+10′′x = +10''，與第一次觀測一致）
  • 正確天頂距： Z2=83∘28′40′′+(360∘−276∘31′40′′)2=83∘28′40′′+83∘28′20′′2=83∘28′30′′Z_2 = \frac{83^\circ 28' 40'' + (360^\circ - 276^\circ 31' 40'')}{2} = \frac{83^\circ 28' 40'' + 83^\circ 28' 20''}{2} = 83^\circ 28' 30''
  • 對應之仰角：
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第 四 題20 分

有一導線如圖所示，已知 ABAB 邊之方位角為 φAB=107∘06′10′′\varphi_{AB}=107^\circ06'10''，觀測得內角分別為：

∠A=89∘34′13′′\angle A=89^\circ34'13''、∠B=116∘42′43′′\angle B=116^\circ42'43''、∠C=83∘37′19′′\angle C=83^\circ37'19''、∠D=116∘50′54′′\angle D=116^\circ50'54''、∠E=133∘14′16′′\angle E=133^\circ14'16''。

距離分別為：

AB=27.671 mAB=27.671\,\mathrm{m}、BC=27.288 mBC=27.288\,\mathrm{m}、CD=24.962 mCD=24.962\,\mathrm{m}、DE=22.365 mDE=22.365\,\mathrm{m}、EA=17.852 mEA=17.852\,\mathrm{m}。

請計算該閉合導線之導線精度（導線閉合比數）。

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核心觀念

閉合導線的線性閉合差，是各邊東西分量與南北分量分別加總後的合成長度。導線閉合比數為：

閉合差 f=(ΣΔE)2+(ΣΔN)2,閉合比數=導線全長f\text{閉合差 } f=\sqrt{(\Sigma\Delta E)^2+(\Sigma\Delta N)^2}, \qquad \text{閉合比數}=\frac{\text{導線全長}}{f}

計算前先檢核內角總和，並將角度閉合差平均分配；再由已知方位角與改正後內角推算各邊方位角，計算各邊分量。

解題方法

五邊形內角和應為 540∘540^\circ。觀測角總和為：

89∘34′13′′+116∘42′43′′+83∘37′19′′+116∘50′54′′+133∘14′16′′=539∘59′25′′89^\circ34'13''+116^\circ42'43''+83^\circ37'19'' +116^\circ50'54''+133^\circ14'16'' =539^\circ59'25''

角度閉合差為 −35′′-35''，將其平均分配至五個內角，每角加 7′′7''。改正後內角依序為：

89∘34′20′′, 116∘42′50′′, 83∘37′26′′, 116∘51′01′′, 133∘14′23′′89^\circ34'20'',\ 116^\circ42'50'',\ 83^\circ37'26'',\ 116^\circ51'01'',\ 133^\circ14'23''

依圖示導線方向，逐邊用「前一邊方位角＋該點內角－180∘180^\circ」推算，並化為 0∘0^\circ 至 360∘360^\circ：

導線邊方位角
ABAB107∘06′10′′107^\circ06'10''（已知）
BCBC43∘49′00′′43^\circ49'00''
CDCD307∘26′26′′307^\circ26'26''
DEDE244∘17′27′′244^\circ17'27''
EAEA197∘31′50′′197^\circ31'50''

例如：

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第 五 題20 分

全球導航衛星系統（Global Navigation Satellite System, GNSS）之應用越來越廣泛，其中計算衛星至接收器間之距離為重要之關鍵，請列出在接收器端計算導航衛星至接收器間之距離有那些方法？並詳細說明其原理及應用。

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核心觀念 全球導航衛星系統（GNSS）接收器計算其與衛星間距離的基本物理基礎為電磁波測距原理（測量電磁波由衛星發射至接收器接收之傳播時間，再乘以光速）。然而，由於衛星鐘與接收器鐘無法完全同步，且電磁波穿透大氣層時會受折射延遲影響，實際測得之距離並非純粹的幾何距離，必須透過特定觀測量與數學模式求解。 在接收器端，測量衛星與接收器間距離的方法主要分為兩大類：

  1. 測距碼觀測法（Code Pseudorange Measurement，或稱偽距觀測法）
  2. 載波相位觀測法（Carrier Phase Measurement）

涉及之基本定義與觀測方程式如下：

  • 真實幾何距離：ρ=(Xs−Xr)2+(Ys−Yr)2+(Zs−Zr)2\rho = \sqrt{(X^s - X_r)^2 + (Y^s - Y_r)^2 + (Z^s - Z_r)^2}
  • 光速：c≈2.99792458×108 m/sc \approx 2.99792458 \times 10^8 \text{ m/s}
  • 傳播時間延遲：Δt=tr−ts\Delta t = t_r - t^s

解題方法

一、測距碼觀測法（虛擬距離／偽距觀測法，Code Pseudorange Measurement）

1. 測量原理

  • 信號結構：衛星發射之微波訊號上調變了偽隨機噪聲碼（Pseudo-Random Noise Code, PRN Code），包含民用粗／獲取碼（C/A Code，時脈頻率 1.023 MHz1.023\text{ MHz}，碼片寬度約 293 m293\text{ m}）及精密碼（P-code 或解密後的 Y 碼，時脈頻率 10.23 MHz10.23\text{ MHz}，碼片寬度約 29.3 m29.3\text{ m}）。
  • 時間量測機制：接收器內部時脈產生一組與衛星端完全相同的複製碼（Replica Code）。透過延遲鎖相迴路（Delay Lock Loop, DLL）的「自相關比對技術（Auto-correlation）」，平移內部複製碼使其與接收到的衛星信號完全重合，平移的時間差即為電磁波傳播時間 Δt\Delta t。
  • 偽距形成：因接收器石英鐘存在鐘差 dtrdt_r、衛星原子鐘存在鐘差 dtsdt^s，且訊號穿經大氣層受電離層延遲 II 與對流層延遲 TT 影響，實際測得的距離稱為「偽距（PP）」。
  • 數學模式： P=ρ+c⋅(dtr−dts)+I+T+εPP = \rho + c \cdot (dt_r - dt^s) + I + T + \varepsilon_P 其中 εP\varepsilon_P 包含多路徑效應及量測雜訊。

2. 主要應用與特性

  • 定位特性：無需處理整數未知數，單一曆元（Epoch）即可直接測得距離並進行絕對定位（Point Positioning），抗周波跳合能力強。
  • 精度等級：單點定位精度約 3∼10 m3 \sim 10\text{ m}；採用差分技術（DGPS）可消除大部分鐘差與大氣誤差，精度可提升至次米級（Sub-meter）。
  • 工程應用：
  1. 民航機與船舶之航海導航。
  2. 車用導航系統、智慧型手機行動定位服務（LBS）。
  3. 車隊管理、GIS 空間資訊數據初階採集。
  4. 無人機（UAV）初階飛控與粗略航線導引。

二、載波相位觀測法（Carrier Phase Measurement）

1. 測量原理

  • 信號結構：直接利用調變測距碼的微波載波本身作為測距信號（例如 GPS 的 L1L_1 頻率 1575.42 MHz1575.42\text{ MHz}，波長 λ1≈19.03 cm\lambda_1 \approx 19.03\text{ cm}；L2L_2 頻率 1227.60 MHz1227.60\text{ MHz}，波長 λ2≈24.42 cm\lambda_2 \approx 24.42\text{ cm}）。
  • 相位量測機制：
  1. 接收器透過鎖相迴路（Phase Lock Loop, PLL）比對接收到的載波信號與內部震盪器產生的參考載波，精確測出信號抵達瞬間不足一週的「小數相位差 Δϕ\Delta \phi」。
  2. 自鎖定衛星信號之起始曆元起，接收器內建計數器連續記錄載波轉動的整週累積數量（Doppler Count, ΔΦ\Delta \Phi）。
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