110 地方特考四等 土木工程 測量學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查平面測量中「由已知點與觀測量，求未知點平面座標」的定位方法。基本資料可分為：

• 已知量：已知點座標、已知邊長、已知方位角或由已知點座標計算出的基準線資料。
• 觀測量：水平角、距離。
• 待定量：待定點的平面座標 $(X_P,Y_P)$。

已知兩點 $A、B$ 座標後，可計算基準線長度及方位角：

$$S_{AB}=\sqrt{(X_B-X_A)^2+(Y_B-Y_A)^2}$$

若方位角自北方向順時針量起，則：

$$\Delta X=S\sin\alpha,\qquad \Delta Y=S\cos\alpha$$

其中 $\alpha$ 為方位角。

以下選取五種定位方法說明。

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一、前方交會法

1. 幾何圖形

 × P（待定點）
 / \
 β / \ α
 / \
 Δ A-----Δ B
 已知基線 AB

2. 已知量

• 已知點 $A、B$ 的座標。
• 由 $A、B$ 座標可得基線 $AB$ 的長度與方位角。

3. 觀測量

• 在已知點 $A$ 觀測水平角 $\alpha=\angle BAP$。
• 在已知點 $B$ 觀測水平角 $\beta=\angle ABP$。

4. 待定量

• 待定點 $P$ 的座標 $(X_P,Y_P)$。

5. 解法說明

已知基線 $AB$，並由 $A、B$ 分別觀測指向 $P$ 的方向。由 $A$、$B$ 所引出的兩條方向線交會於 $P$，即可求得 $P$ 的位置。

三角形內角為：

$$\angle APB=180^\circ-\alpha-\beta$$

亦可利用正弦定理求得 $AP、BP$：

$$\frac{AP}{\sin\beta} = \frac{AB}{\sin(180^\circ-\alpha-\beta)}$$

求得距離後，再依方向角計算 $P$ 點座標。

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二、後方交會法

1. 幾何圖形

 Δ A Δ B Δ C
 \ | /
 \ | /
 \ α β | γ /
 \ | /
 \ × P
 待定測站

2. 已知量

• 三個已知點 $A、B、C$ 的座標。
• 已知點間的距離與方位關係，可由座標計算。

3. 觀測量

在待定點 $P$ 架設儀器，觀測已知點間的水平角，例如：

$$\alpha=\angle APB,\qquad \beta=\angle BPC$$

4. 待定量

• 待定測站 $P$ 的座標 $(X_P,Y_P)$。
• 必要時亦可求得測站方向定向資料。

5. 解法說明

後方交會的特點是：儀器架設於待定點，從待定點觀測多個已知點。由已知點 $A、B、C$ 的幾何位置，以及在 $P$ 觀測的角度，可建立三角形幾何關係，反算 $P$ 點位置。

實務上通常至少觀測三個已知點，以提高解算的唯一性及檢核能力。若僅觀測兩個已知點，通常會產生幾何上的多解或無法有效檢核。

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三、側方交會法

1. 幾何圖形

 × P（待定點）
 / \
 / β \ 
 / \
 Δ A-----Δ B
 α

其中：

$$\alpha=\angle BAP,\qquad \beta=\angle APB$$

2. 已知量

• 已知點 $A、B$ 的座標。
• 已知基線 $AB$ 的長度與方位角。

3. 觀測量

• 在已知點 $A$ 觀測水平角：

$$\alpha=\angle BAP$$

• 在待定點 $P$ 觀測水平角：

$$\beta=\angle APB$$

4. 待定量

• 待定點 $P$ 的座標 $(X_P,Y_P)$。

5. 解法說明

側方交會與前方交會的差別，在於觀測角度的位置不同：

• 前方交會：兩個角均在已知點觀測。
• 側方交會：一個角在已知點觀測，另一個角在待定點觀測。

已知三角形 $ABP$ 的基線 $AB$ 及兩個角 $\alpha、\beta$，第三角為：

$$\angle ABP=180^\circ-\alpha-\beta$$

依正弦定理：

$$\frac{AP}{\sin\beta} = \frac{AB}{\sin(180^\circ-\alpha-\beta)}$$

先求得 $AP$，再由已知點 $A$ 的方向及距離推算 $P$ 點座標。

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四、輻射法（極座標法）

1. 幾何圖形

核心觀念

本題考查水準測量的：

• 後視（BS）、前視（FS）與測站高差計算。
• 高差法： $\Delta h=\text{後視}-\text{前視}$
• 往返水準測量閉合差檢核。
• 水準測量容許閉合差： $f_{\max}=\pm 7\text{ mm}\sqrt{K}$ 其中 $K$ 為往返總距離，以公里計。
• BM5 高程以往測與返測結果取平均。

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（一）水準觀測紀錄表及路線成果簡圖

1. 水準路線成果簡圖

$$\text{BM33}\xrightarrow[\ 1.337\ ]{\ 1.106\ }\text{TP1} \xrightarrow[\ 1.270\ ]{\ 1.363\ }\text{TP2} \xrightarrow[\ 1.532\ ]{\ 1.153\ }\text{TP3} \xrightarrow[\ 1.775\ ]{\ 1.223\ }\text{BM5}$$

返測方向：

$$\text{BM5}\xrightarrow[\ 1.247\ ]{\ 1.815\ }\text{TP4} \xrightarrow[\ 1.197\ ]{\ 1.697\ }\text{TP5} \xrightarrow[\ 1.636\ ]{\ 1.629\ }\text{BM33}$$

圖中上方數值為後視或返測方向之後視，下方數值為前視。

2. 往測紀錄表

採用視線高法：

$$\text{視線高}=\text{已知點高程}+\text{後視}$$

測站	後視 BS（m）	前視 FS（m）	視線高（m）	點高程（m）
BM33	1.106	—	11.231	10.125
TP1	1.363	1.337	11.257	9.894
TP2	1.153	1.270	11.140	9.987
TP3	1.223	1.532	10.831	9.608
BM5	—	1.775	—	9.056

往測高程差為：

$$\Delta H_{\text{往}}= \sum BS-\sum FS$$ $$\sum BS=1.106+1.363+1.153+1.223=4.845\text{ m}$$ $$\sum FS=1.337+1.270+1.532+1.775=5.914\text{ m}$$ $$\Delta H_{\text{往}}=4.845-5.914=-1.069\text{ m}$$

因此：

$$H_{\text{BM5,往}}=10.125-1.069=9.056\text{ m}$$

3. 返測紀錄表

核心觀念

本題考查：

1. 長方體體積計算。
2. 單位換算與有效位數。
3. 量測誤差傳播定律。
4. 多次獨立、不相關觀測取平均後，標準差縮減為原來的 $1/\sqrt{n}$。

捲尺率定精度為：

$$m=1\text{ cm}+20\text{ ppm}\times L$$

其中 $20\text{ ppm}=20\times10^{-6}$，$L$ 為該次量測距離，$m$ 為該距離的中誤差。

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解題方法

設游泳池長、寬、深分別為 $L、W、D$，容量為：

$$V=LWD$$

已知：

$$L=50.00\text{ m},\qquad W=25.00\text{ m},\qquad D=2.20\text{ m}$$

（一）游泳池容量

先計算體積：

$$V=50.00\times25.00\times2.20 =2750\text{ m}^3$$

由於：

$$1\text{ m}^3=1000\text{ L}$$

所以：

$$2750\text{ m}^3=2,750,000\text{ L}$$

換算為加侖：

$$V=2,750,000\times0.264172 =726,473\text{ gal}$$

深度 $2.20\text{ m}$ 只有 3 位有效位數，因此答案應取 3 位有效位數：

$$\boxed{V\approx7.26\times10^5\text{ gal}}$$

亦即約：

$$\boxed{726,000\text{ 加侖}}$$

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（二）容量中誤差

1. 各邊長的中誤差

長邊：

$$m_L=0.010+20\times10^{-6}\times50.00 =0.011000\text{ m}$$

寬邊：

$$m_W=0.010+20\times10^{-6}\times25.00 =0.010500\text{ m}$$

深度：

$$m_D=0.010+20\times10^{-6}\times2.20 =0.010044\text{ m}$$

2. 體積誤差傳播

對於：

$$V=LWD$$

其微分為：

$$dV=WD\,dL+LD\,dW+LW\,dD$$

若三個量的誤差彼此獨立、不相關，則容量中誤差為：

$$m_V= \sqrt{ (WD\,m_L)^2+ (LD\,m_W)^2+ (LW\,m_D)^2 }$$

代入各數值：

$$WD=25.00\times2.20=55.00$$ $$LD=50.00\times2.20=110.00$$

核心觀念

本題考查全測站經緯儀之：

1. 方向組法與盤面變換。
2. 正、倒鏡觀測之平均。
3. 天頂距與高程差計算。
4. 指標差（Index Error）。
5. 經緯儀四條主軸及視準軸誤差。

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（一）第二測回起始正鏡讀數設定為 $90^\circ00'00''$ 的原因

方向組法進行多測回觀測時，各測回的起始方向讀數應錯開，通常相鄰測回相差 $90^\circ$。

第一測回起始讀數為 $0^\circ00'00''$，第二測回設定為 $90^\circ00'00''$，其目的為：

• 使各測回使用不同的度盤刻劃位置。
• 分散水平度盤分劃誤差、偏心誤差及局部刻劃誤差。
• 避免各測回受到相同度盤位置誤差的影響。
• 取各測回平均值後，可提高水平角觀測成果的可靠度。

倒鏡時讀數約為正鏡讀數加 $180^\circ$，故第二測回倒鏡讀數約為 $270^\circ00'00''$。

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（二）計算水平角 $\angle G_{21}G_{01}G_{66}$

1. 第一測回

倒鏡讀數須先減去 $180^\circ$，再與正鏡讀數平均。

觀測 G21

正鏡：

$$R_{21,F}=0^\circ00'00''$$

倒鏡化為正鏡方向：

$$R_{21,B}=179^\circ59'59''-180^\circ =359^\circ59'59''$$

平均方向為：

$$R_{21,1}=359^\circ59'59.5''$$

觀測 G66

正鏡：

$$R_{66,F}=87^\circ35'57''$$

倒鏡化為正鏡方向：

$$R_{66,B}=267^\circ36'14''-180^\circ =87^\circ36'14''$$

平均方向為：

$$R_{66,1}=87^\circ36'15.5''$$

因此第一測回水平角為：

$$\theta_1 =87^\circ36'15.5'' -359^\circ59'59.5''$$

跨越 $0^\circ$ 計算得：

$$\boxed{\theta_1=87^\circ36'16''}$$

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2. 第二測回

觀測 G21

正鏡：

$$R_{21,F}=90^\circ00'00''$$

倒鏡化為正鏡方向：

$$R_{21,B}=270^\circ00'12''-180^\circ =90^\circ00'12''$$

平均方向為：

$$R_{21,2}=90^\circ00'06''$$

觀測 G66

正鏡：

$$R_{66,F}=177^\circ36'29''$$

倒鏡化為正鏡方向：

$$R_{66,B}=357^\circ36'10''-180^\circ =177^\circ36'10''$$

平均方向為：

$$R_{66,2}=177^\circ36'19.5''$$

因此第二測回水平角為：

$$\theta_2 =177^\circ36'19.5'' -90^\circ00'06''$$ $$\boxed{\theta_2=87^\circ36'13.5''}$$

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3. 兩測回平均水平角

$$\bar{\theta} =\frac{\theta_1+\theta_2}{2}$$ $$\bar{\theta} =\frac{87^\circ36'16''+87^\circ36'13.5''}{2} =87^\circ36'14.75''$$

依觀測精度取至整秒：

$$\boxed{\angle G_{21}G_{01}G_{66} =87^\circ36'15''}$$

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（三）計算點位 G66 的高程

1. G66 天頂距平均值

第一測回天頂距：

正鏡：

$$Z_F=82^\circ36'34''$$

倒鏡化為正鏡天頂距：

$$Z_B=360^\circ-277^\circ23'30'' =82^\circ36'30''$$

平均天頂距：

$$\bar Z =\frac{82^\circ36'34''+82^\circ36'30''}{2} =82^\circ36'32''$$

2. 計算垂直距

表中斜距：