110 地方特考四等 土木工程 結構學概要與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查簡支梁之：

• 支承反力計算
• 剪力圖（SFD）
• 彎矩圖（BMD）
• 均佈載重作用下剪力呈線性變化、彎矩呈二次曲線變化
• 剪力為零處，彎矩達極值

梁長度為 $l$，其中 $BC=l/2$ 受均佈載重 $w$。

一、支承反力

將 $BC$ 段均佈載重等效為集中力：

其作用位置在 $BC$ 中點，距離 $A$ 點：

設 $A$ 點鉸支承反力為 $A_y$，$C$ 點滾支承反力為 $C_y$。

取 $A$ 點力矩平衡：

因此：

再由垂直力平衡：

水平方向無外力，因此：

二、剪力圖

1. $A$ 至 $B$ 段

$AB$ 段沒有分佈載重，因此剪力為常數：

所以由 $A$ 至 $B$，剪力圖為水平線。

在 $B$ 點：

2. $B$ 至 $C$ 段

取距離 $A$ 為 $x$ 的截面，其中 $\frac{l}{2}\leq x\leq l$。

截面左側包含 $A$ 點反力及 $B$ 至截面間的均佈載重，因此：

在 $C$ 點左側：

抵達 $C$ 點後，受到向上的支承反力 $C_y=3wl/8$，剪力跳升至零。

3. 剪力為零的位置

因此剪力圖特徵如下：

• $A$ 點跳升至 $\dfrac{wl}{8}$
• $AB$ 段維持 $\dfrac{wl}{8}$
• $BC$ 段由 $\dfrac{wl}{8}$ 線性下降至 $-\dfrac{3wl}{8}$
• $C$ 點跳升 $\dfrac{3wl}{8}$ 回到零
• 剪力零點位於 $x=\dfrac{5l}{8}$

示意如下：

V
↑
 wl/8 ─────────────● B
 \
 \
 ● V=0，x=5l/8
 \
 \
-3wl/8 ● C-
 │↑ 3wl/8
 └──── 0
A

三、彎矩圖

1. $A$ 至 $B$ 段

取距離 $A$ 為 $x$ 的截面，$0\leq x\leq l/2$：

因此：

核心觀念

本題考查桁架因溫度變化所產生之節點位移，採用單位力法：

其中：

• $N_i$：實際溫度變化所造成之桿件軸力。
• $n_i$：在 $A$ 點施加「單位垂直力」時，各桿件之軸力。
• $L_i$：桿件長度。
• $A、E$：各桿件斷面積與彈性模數。
• $\alpha \Delta T_i L_i$：桿件因溫度變化造成之自由伸縮量。

本桁架為靜定桁架，因此溫度變化只造成桿件變形與節點位移，不產生桿件溫度應力，故：

因此只需計算：

一、桁架幾何資料

由圖取節點座標：

各桿件長度為：

二、單位力系統

欲求 $A$ 點垂直位移，在 $A$ 點施加向上單位力 $1$。

1. 支承反力

由整體平衡：

以 $B$ 點取力矩：

再由水平力平衡：

2. 各桿件單位力 $n_i$

以下均採「拉力為正、壓力為負」。

$D$ 節點

$DC$ 桿方向餘弦為：

水平平衡：

垂直平衡：

$B$ 節點

水平平衡：

垂直平衡：

核心觀念

本題考查單筋矩形梁（或受拉鋼筋控制之梁）在達到標稱彎矩強度 $M_n$ 時的應變分布，以及下列三種破壞型態：

• 低鋼筋用量梁（under-reinforced beam）：受拉鋼筋先降伏，混凝土尚未壓碎。
• 平衡鋼筋梁（balanced beam）：混凝土壓應變達極限值 $\varepsilon_u=0.003$ 的同時，受拉鋼筋達降伏應變 $\varepsilon_y$。
• 高鋼筋用量梁（over-reinforced beam）：混凝土先壓碎，受拉鋼筋尚未降伏。

其中：

• $c$：中性軸深度。
• $c_b$：平衡狀態之中性軸深度。
• $\varepsilon_u=0.003$：混凝土極限壓應變。
• $\varepsilon_s$：受拉鋼筋應變。
• $\varepsilon_y$：受拉鋼筋降伏應變。

依應變相容及平截面假設，受拉鋼筋應變可表示為

其中 $d$ 為有效深度。

解題方法

判斷梁是否為低鋼筋用量梁，關鍵在於看受拉鋼筋與混凝土何者先達到極限：

• 若 $\varepsilon_s>\varepsilon_y$，表示受拉鋼筋已降伏，鋼筋先進入塑性階段，屬於低鋼筋用量梁。
• 若 $\varepsilon_s=\varepsilon_y$，表示鋼筋降伏與混凝土達極限同時發生，為平衡狀態。
• 若 $\varepsilon_s<\varepsilon_y$，表示混凝土已達極限，但鋼筋尚未降伏，屬於高鋼筋用量梁。

由於

當 $c$ 越小時，受拉鋼筋應變 $\varepsilon_s$ 越大。因此：

此即低鋼筋用量梁的判斷條件。

選項分析

（a）$c<c_b$，且 $\varepsilon_s>\varepsilon_y$

此時中性軸深度小於平衡狀態，受拉鋼筋應變大於降伏應變：

表示受拉鋼筋已先降伏，而混凝土壓應變才達到 $\varepsilon_u=0.003$。梁會先出現受拉鋼筋降伏及較大變形，再逐漸接近混凝土壓碎。

因此，（a）為低鋼筋用量梁。

（b）$c=c_b$，且 $\varepsilon_s=\varepsilon_y$

核心觀念

本題考查鋼筋混凝土梁之剪力設計，依民國 110 年命題當年法規：

其中

• $V_c$：混凝土所能承擔之剪力強度
• $V_s$：剪力鋼筋所承擔之剪力強度
• 剪力強度折減係數取 $\phi=0.75$
• 剪力計算應使用梁腹寬 $b_w=50\text{ cm}$，不可使用翼板寬 $100\text{ cm}$。

原圖未標示保護層及縱向鋼筋重心位置，依梁剪力設計常用近似值取：

兩件 U 形肋筋各有 2 支垂直肋筋，一件繫筋有 2 支垂直肋筋，因此有效剪力鋼筋總支數為：

解題計算

1. 剪力設計需求

所需 nominal shear strength 為：

2. 混凝土剪力強度 $V_c$

普通重混凝土梁可取：

代入 $f'_c=280\text{ kgf/cm}^2$、$b_w=50\text{ cm}$、$d=48\text{ cm}$：

即：

3. 剪力鋼筋所需強度

4. 剪力鋼筋面積

D13 單根面積為 $1.267\text{ cm}^2$，有效垂直肋筋共 6 支：

肋筋所提供之剪力強度為：

因此所需間距：

由強度需求單獨計算，間距不得大於約 $26.1\text{ cm}$。

最大肋筋間距限制