110 地方特考四等 土木工程 靜力學概要與材料力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題利用複合面積法求形心及慣性矩：

$$\bar y=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i},\qquad \bar z=\frac{\sum A_i z_i}{\sum A_i}$$

並使用矩形對自身形心軸的慣性矩：

$$I_y=\frac{h w^3}{12},\qquad I_z=\frac{w h^3}{12}$$

若矩形形心軸與所求軸線不重合，使用平行軸定理：

$$I=I_c+Ad^2$$

依圖示，斷面關於 $y$ 軸左右對稱，因此 $\bar z=0$ 自動成立，只需令 $\bar y=0$。

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一、求 $a$ 與 $b$

由圖中垂直方向尺寸：

$$a=20+20=40\text{ cm}$$

將斷面分解為：

1. 外部大矩形：$60\times60$
2. 上方矩形凸出部：寬度為 $2b$、高度 $20$
3. 中央開孔：$20\times20$，須扣除

取 $z$ 軸為 $y=0$，各部分形心位置如下：

部分	面積 $A$	形心座標 $y$
大矩形	$60(60)=3600$	$-10$
上方凸出矩形	$20(2b)=40b$	$30$
開孔	$-20(20)=-400$	$-10$

令斷面形心位於 $O$：

$$\sum Ay=0$$

因此

$$3600(-10)+(40b)(30)+(-400)(-10)=0$$ $$-36000+1200b+4000=0$$ $$1200b=32000$$ $$\boxed{b=\frac{80}{3}=26.67\text{ cm}}$$

所以

$$\boxed{a=40\text{ cm}},\qquad \boxed{b=26.67\text{ cm}}$$

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二、求對 $y$ 軸的慣性矩 $I_y$

因各矩形形心皆位於 $y$ 軸上，不需作水平平行軸移動。

大矩形

$$I_{y1}=\frac{60(60)^3}{12}=1,080,000\text{ cm}^4$$

上方凸出矩形

其寬度為 $2b$，高度為 $20$：

$$I_{y2}=\frac{20(2b)^3}{12} =\frac{40}{3}b^3$$

代入 $b=80/3$：

$$I_{y2} =\frac{40}{3}\left(\frac{80}{3}\right)^3 =252,839.51\text{ cm}^4$$

開孔

$$I_{y3}=\frac{20(20)^3}{12} =13,333.33\text{ cm}^4$$

開孔須扣除，因此

$$I_y=I_{y1}+I_{y2}-I_{y3}$$

核心觀念

本題考查三維力系的：

1. 力的向量表示。
2. 力對定點之力矩： $\mathbf{M}_A=\mathbf{r}_{AC}\times\mathbf{P}$
3. 力對某一軸之力矩，即力矩向量在該軸單位向量上的投影： $M_{AB}=\mathbf{u}_{AB}\cdot\mathbf{M}_A$

依圖中尺寸建立座標：

$$A=(7,0,0),\quad B=(2,9,7),\quad C=(2,9,9),\quad D=(8,0,9)$$

其中力 $P$ 的方向為由 $C$ 指向 $D$。

解題方法

一、求力向量 $\mathbf{P}$

由 $C$ 至 $D$：

$$\overrightarrow{CD}=D-C=(6,-9,0)$$

其長度為：

$$|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{6^2+(-9)^2}=3\sqrt{13}$$

因此，力向量為：

$$\mathbf{P} =P\frac{\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|} =P\frac{(6,-9,0)}{3\sqrt{13}} =\frac{P}{\sqrt{13}}(2,-3,0)$$

即：

$$\mathbf{P} =\frac{P}{\sqrt{13}}(2\mathbf{i}-3\mathbf{j})$$

二、求 $P$ 對 $A$ 點之力矩

位置向量：

$$\overrightarrow{AC}=C-A=(-5,9,9)$$

因此：

$$\mathbf{M}_A =\overrightarrow{AC}\times\mathbf{P}$$ $$\mathbf{M}_A = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ -5&9&9\\ \dfrac{2P}{\sqrt{13}}&-\dfrac{3P}{\sqrt{13}}&0 \end{vmatrix}$$

計算得：

$$\boxed{ \mathbf{M}_A =\frac{P}{\sqrt{13}} (27\mathbf{i}+18\mathbf{j}-3\mathbf{k}) }$$

單位為 $\text{N}\cdot\text{m}$。

三、求 $P$ 對 $AB$ 軸之力矩

先求 $AB$ 方向向量：

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(-5,9,7)$$

其長度：

$$|\overrightarrow{AB}| =\sqrt{(-5)^2+9^2+7^2} =\sqrt{155}$$

故 $AB$ 軸單位向量為：

$$\mathbf{u}_{AB} =\frac{1}{\sqrt{155}}(-5,9,7)$$

力矩對 $AB$ 軸之標量為：

核心觀念

本題考查軸向受力桿件的：

• 軸向應力：$\sigma=\dfrac{N}{A}$
• 軸向應變：$\varepsilon=\dfrac{\sigma}{E}$
• 應力—應變關係：$\sigma=E\varepsilon$
• 軸向伸長量：$\delta=\varepsilon L$

圖中兩端的集中力 $P$ 方向相反且向外，因此 AB、BC 皆承受拉力，內力大小均為 $P$。

解題方法與計算

一、BC 段伸長量

已知：

$$\varepsilon_{BC}=1\times10^{-5},\qquad L=1\text{ m}$$

因此：

$$\delta_{BC}=\varepsilon_{BC}L =(1\times10^{-5})(1) =1\times10^{-5}\text{ m}$$

換算為毫米：

$$\delta_{BC}=0.01\text{ mm}$$

二、BC 段軸向應力

由虎克定律：

$$\sigma_{BC}=E\varepsilon_{BC}$$

代入 $E=200\text{ GPa}$：

$$\sigma_{BC} =(200\times10^9)(1\times10^{-5}) =2\times10^6\text{ Pa}$$

所以：

$$\boxed{\sigma_{BC}=2\text{ MPa}}$$

三、集中力 $P$

BC 段面積為：

$$A_{BC}=4\text{ cm}^2=4\times10^{-4}\text{ m}^2$$

由軸向應力公式：

$$P=N_{BC}=\sigma_{BC}A_{BC}$$ $$P=(2\times10^6)(4\times10^{-4}) =800\text{ N}$$

因此：

$$\boxed{P=800\text{ N}}$$

四、AB 段軸向應力

AB、BC 為串聯桿件，且中間沒有其他軸向外力，因此兩段內力皆為 $P=800\text{ N}$。

AB 段面積：

$$A_{AB}=9\text{ cm}^2=9\times10^{-4}\text{ m}^2$$

故：

核心觀念

本題考查：

• 鉸支撐與滾支撐的反力分解。
• 均佈載重以合力取代： $R_q=qL=100(1)=100\text{ N}$ 合力作用於均佈區段中央。
• 梁的平衡方程式： $\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0$
• 剪力圖由集中力及均佈載重造成跳躍或斜率變化。
• 彎矩圖斜率等於剪力： $\frac{dM}{dx}=V$
• $Q$ 作用於距梁軸線 $0.5\text{ m}$ 處，會對梁產生集中力矩： $M_Q=Q(0.5)=200(0.5)=100\text{ N}\cdot\text{m}$

取逆時針為正，彎矩正號採下凹彎矩為正。

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一、支承反力

令：

• A 點鉸支撐反力為 $A_x,A_y$
• C 點滾支撐反力為 $C_y$

兩段均佈載重各自為 $100\text{ N}$：

• A-B 段合力作用於 $x=0.5\text{ m}$
• D-E 段合力作用於 $x=3.5\text{ m}$

1. 水平方向平衡

$Q=200\text{ N}$ 向左，因此：

$$\sum F_x=0$$ $$A_x-200=0$$ $$\boxed{A_x=200\text{ N，向右}}$$

2. 垂直方向平衡

向上為正：

$$\sum F_y=0$$ $$A_y+C_y-100-100-100=0$$ $$A_y+C_y=300 \tag{1}$$

其中垂直向下的 $100\text{ N}$ 包括：

• 左側均佈載重合力 $100\text{ N}$
• 集中力 $P=100\text{ N}$
• 右側均佈載重合力 $100\text{ N}$

3. 取 A 點力矩

$Q$ 造成的力矩為逆時針：

$$M_Q=200(0.5)=100\text{ N}\cdot\text{m}$$

取 A 點逆時針為正：

$$\sum M_A=0$$ $$2C_y-100(0.5)-100(2)-100(3.5)+100=0$$ $$2C_y-50-200-350+100=0$$ $$2C_y=500$$ $$\boxed{C_y=250\text{ N，向上}}$$

代入式 $(1)$：

$$A_y+250=300$$ $$\boxed{A_y=50\text{ N，向上}}$$

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二、A 點反力大小與方向

A 點反力合力為：

$$R_A=\sqrt{A_x^2+A_y^2}$$ $$R_A=\sqrt{200^2+50^2} =\sqrt{42500} \approx 206.2\text{ N}$$

其與水平向右方向之夾角：

$$\tan\theta=\frac{A_y}{A_x} =\frac{50}{200}=0.25$$ $$\theta=\tan^{-1}(0.25)\approx 14.0^\circ$$

因此：

$$\boxed{R_A\approx206.2\text{ N}}$$

方向為：

$$\boxed{\text{向右上方，與水平夾角約 }14.0^\circ}$$

C 點僅能提供垂直反力，因此：

$$\boxed{R_C=250\text{ N，垂直向上}}$$

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三、剪力圖

令 $x$ 自 A 點向右量，單位為公尺。

A-B 段：$0\leq x\leq1$

A 點反力使剪力立即上升至 $50\text{ N}$，均佈載重使剪力線性下降：

$$V(x)=50-100x$$

重要位置：

$$V_A=50\text{ N}$$ $$V_B=50-100=-50\text{ N}$$

B-C 段：$1\leq x<2$

此段無分布載重：

$$\boxed{V=-50\text{ N}}$$

C 點

C 點有向上反力 $250\text{ N}$，同時有向下集中力 $P=100\text{ N}$，故剪力總跳升：

$$250-100=150\text{ N}$$

因此：

$$V_{C^+}=-50+150=100\text{ N}$$

C-D 段：$2<x<3$

$$\boxed{V=100\text{ N}}$$

D-E 段：$3\leq x\leq4$

右側均佈載重使剪力下降：

$$V(x)=100-100(x-3)$$

因此：

$$V_D=100\text{ N}$$ $$V_E=0$$

剪力圖主要縱座標為：

位置	剪力
$A^+$	$+50\text{ N}$
$B$	$-50\text{ N}$
$C^-$	$-50\text{ N}$