109 地方特考四等 土木工程 靜力學概要與材料力學概要 考古題詳解

109 年・地方特考・四等・土木工程
試題代碼 靜力學概要與材料力學概要

第 一 題30 分

如圖一所示，有一物塊 AA，質量為 10 kg10\ \mathrm{kg}，置放在斜面 BCBC 上，接觸面的最大靜摩擦係數為 μs=0.2\mu_s=0.2。斜面與水平面的夾角為 θ=30∘\theta=30^\circ。

物塊上緣的中央處 DD 有一繩索 DEDE，繩索繞過圓盤的定滑輪 FF；定滑輪在 FF 點以鉸支承（hinge support）支承。繩索在 EE 處受到一水平力 PP 作用，且繩索在 DD 處與斜面的夾角為 ϕ=45∘\phi=45^\circ。

忽略定滑輪的質量，且繩索與滑輪之間沒有摩擦。

本題用到的三角函數值如下： sin⁡30∘=0.5\sin30^\circ=0.5、cos⁡30∘=0.866\cos30^\circ=0.866、sin⁡45∘=cos⁡45∘=0.7071\sin45^\circ=\cos45^\circ=0.7071、sin⁡15∘=0.2588\sin15^\circ=0.2588、cos⁡15∘=0.9659\cos15^\circ=0.9659。

據此回答以下問題：

(一) 若要使物塊 AA 處於靜止狀態，請問此時水平力 PP 最少要為多大？（15 分）

(二) 承接(一)小題，在最小水平力 PP 之下，鉸支承 FF 的反力為何？請標示出反力的水平分量與垂直分量。（15 分）

圖一所示元件與標示：AA 為物塊，BCBC 為斜面，DD 為繩索連接處，EE 施加水平力 PP，FF 為定滑輪及鉸支承，斜面角為 θ\theta，繩索與斜面夾角為 ϕ\phi。

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核心觀念

本題考查斜面物體的靜力平衡、極限靜摩擦，以及理想定滑輪兩側繩索張力相等。

物塊有向下滑的趨勢，因此靜摩擦力沿斜面向上；要讓水平力 PP 最小，摩擦力須達到最大靜摩擦力：

fs=μsNf_s=\mu_s N

取重力加速度 g=9.81 m/s2g=9.81\ \mathrm{m/s^2}，物塊重量為 W=mg=98.1 NW=mg=98.1\ \mathrm N。理想繩索與定滑輪使繩索張力處處相等，因此 P=TP=T。

解題方法

令斜面向上方向為沿斜面正向。繩索張力與斜面夾角為 ϕ=45∘\phi=45^\circ，所以張力沿斜面向上的分量為 Tcos⁡ϕT\cos\phi，垂直斜面向外的分量為 Tsin⁡ϕT\sin\phi。

垂直斜面方向平衡：

N+Tsin⁡ϕ−Wcos⁡θ=0N+T\sin\phi-W\cos\theta=0

因此

N=Wcos⁡θ−Tsin⁡ϕN=W\cos\theta-T\sin\phi

要使 PP 最小，取沿斜面向上的極限靜摩擦力 fs=μsNf_s=\mu_sN。沿斜面方向平衡：

Tcos⁡ϕ+μsN−Wsin⁡θ=0T\cos\phi+\mu_sN-W\sin\theta=0

代入 N=Wcos⁡θ−Tsin⁡ϕN=W\cos\theta-T\sin\phi：

Tcos⁡ϕ+μs(Wcos⁡θ−Tsin⁡ϕ)=Wsin⁡θT\cos\phi+\mu_s(W\cos\theta-T\sin\phi)=W\sin\theta

整理得

T=W(sin⁡θ−μscos⁡θ)cos⁡ϕ−μssin⁡ϕT=\frac{W(\sin\theta-\mu_s\cos\theta)} {\cos\phi-\mu_s\sin\phi}

代入題目數值：

T=98.1(0.5−0.2×0.866)0.7071−0.2×0.7071≈56.67 NT= \frac{98.1(0.5-0.2\times0.866)} {0.7071-0.2\times0.7071} \approx56.67\ \mathrm N

因 P=TP=T，故最小水平力為 56.67 N56.67\ \mathrm N。

鉸支承 FF 的反力

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第 二 題25 分

如圖二所示，有一桁架系統，桿件之間都以插銷（pin）連接。

桁架在 AA 處為鉸支承（hinge support），在 FF 處為滾支承（roller support）。在 HH 節點處有一水平力 T=15 NT=15\ \mathrm{N}，在節點 DD 處有一垂直向下的力 V=10 NV=10\ \mathrm{N}。

桿件 ABAB、BCBC、CDCD、DEDE、EFEF、JKJK、KLKL、LMLM、GJGJ、BGBG、HKHK、CHCH、EIEI、IMIM 長度均為 1 m1\ \mathrm{m}。

且角 ∠IEF\angle IEF、∠LMI\angle LMI、∠DEI\angle DEI、∠CDL\angle CDL、∠HKL\angle HKL、∠GJK\angle GJK、∠GBC\angle GBC 與 ∠ABG\angle ABG 均為直角。

圖二中，◎為各節點上之插銷，△為 AA 處的鉸支承，○為 FF 處的滾支承。

若有需要，可以使用： 2=1.4142\sqrt{2}=1.4142、5=2.2361\sqrt{5}=2.2361。

據此請求出桿件 CDCD 內所受到的軸力大小，並標示其為張力或是壓力。（25 分）

圖二桁架節點與桿件標示：上層節點為 JJ、KK、LL、MM；中層節點為 GG、HH、II；下層節點為 AA、BB、CC、DD、EE、FF。外力 TT 作用於 HH 點，外力 VV 作用於 DD 點。

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核心觀念

桁架桿件以插銷連接，且外力作用在節點，因此每根桿件可視為二力構件，桿力沿桿件軸線作用。取桿力為正表示張力，負值表示壓力。

解題使用整體平衡式求支承反力，再從桿件與外力較少的節點開始，依序使用節點平衡式：

∑Fx=0,∑Fy=0,∑M=0\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0

解題方法與計算

令 xx 軸向右、yy 軸向上，取逆時針力矩為正。AA 為鉸支承，反力分量為 Ax,AyA_x,A_y；FF 為滾支承，反力為 FyF_y。

1. 求支承反力

對整體桁架取 AA 點力矩。HH 相對於 AA 的位置為 (2,1) m(2,1)\ \mathrm{m}，水平力 T=15 NT=15\ \mathrm{N} 產生順時針力矩；DD 點的向下載重 V=10 NV=10\ \mathrm{N} 也產生順時針力矩：

∑MA=0:5Fy−15(1)−10(3)=0\sum M_A=0:\qquad 5F_y-15(1)-10(3)=0 Fy=9 NF_y=9\ \mathrm{N}

再由整體的水平與垂直力平衡：

∑Fx=0:Ax+15=0⟹Ax=−15 N\sum F_x=0:\qquad A_x+15=0 \quad\Longrightarrow\quad A_x=-15\ \mathrm{N} ∑Fy=0:Ay+9−10=0⟹Ay=1 N\sum F_y=0:\qquad A_y+9-10=0 \quad\Longrightarrow\quad A_y=1\ \mathrm{N}

2. 由節點 AA 求 ABAB 與斜桿 AJAJ

AJAJ 的水平、垂直投影比為 1:21:2，故其方向餘弦分別為 1/51/\sqrt{5} 與 2/52/\sqrt{5}。令桿力拉力為正：

∑Fy=0:1+25NAJ=0⟹NAJ=−52 N\sum F_y=0:\qquad 1+\frac{2}{\sqrt{5}}N_{AJ}=0 \quad\Longrightarrow\quad N_{AJ}=-\frac{\sqrt{5}}{2}\ \mathrm{N}
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第 三 題25 分

如圖三所示，有一剛性桿（rigid bar）BCDBCD，與三根相同的彈性短柱（①柱、②柱與③柱）相黏結。

三根短柱垂直立於地面上，高度為 LL，軸向剛度（axial rigidity）為 EAEA，其中 EE 為彈性模數，AA 為斷面積。

剛性桿在 CDCD 的中央處受到一垂直向下的側向載重 PP。求③柱斷面上所受到的軸力為多少，並且標示其軸力為壓力或是張力。（25 分）

圖三標示：剛性桿節點為 BB、CC、DD；下方依序設有①柱、②柱與③柱；③柱位置施加向下載重 PP。相鄰柱間距及相關尺寸標示為 a/2a/2、a/2a/2、aa、aa。

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核心觀念

三根短柱的軸向剛度相同，皆為 k=EALk=\dfrac{EA}{L}。剛性桿保持直線，因此三柱頂端的垂直位移沿桿長呈線性變化；各柱軸力則由軸向變形計算：

Ni=kδi=EALδiN_i=k\delta_i=\frac{EA}{L}\delta_i

圖中 B、C、DB、C、D 三柱等間距，BC=CD=aBC=CD=a；載重 PP 作用於 CDCD 中點，距 BB 為 3a2\dfrac{3a}{2}。

解題方法

取 BB 點為座標原點，令剛性桿在 BB 處向下位移為 v0v_0，桿的轉角為 θ\theta。由剛性桿的位移相容條件：

δB=v0,δC=v0+aθ,δD=v0+2aθ\delta_B=v_0,\qquad \delta_C=v_0+a\theta,\qquad \delta_D=v_0+2a\theta

令三柱對剛性桿的向上反力分別為 RB、RC、RDR_B、R_C、R_D，則由柱的軸向剛度：

RB=kv0,RC=k(v0+aθ),RD=k(v0+2aθ)R_B=kv_0,\qquad R_C=k(v_0+a\theta),\qquad R_D=k(v_0+2a\theta)

對剛性桿列垂直力平衡及以 BB 點取力矩平衡：

RB+RC+RD=PR_B+R_C+R_D=P
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第 四 題20 分

有一外伸梁（overhanging beam）ABCABC，如圖四所示，ABAB 長度為 2L2L，BCBC 長度為 LL。

梁上受到一三角形的垂直向下分布載重，三角形分布載重的最大荷重密度在 AA 處，大小為 w0w_0。梁在 AA 處受到鉸支承，在 BB 處受到滾支承。

梁的彈性模數為 EE，對斷面中性軸（neutral axis）的轉動慣量為 II。若有需要，可以使用 2=1.4142\sqrt{2}=1.4142。

據此回答以下問題：

(一) 請問最大彎矩值出現在何處？彎矩值為多少？（10 分）

(二) 若梁的斷面為矩形斷面，梁高為 hh，梁寬為 bb，則梁的最大彎矩應力為多少？（10 分）

圖四標示：梁由 AA 經 BB 延伸至 CC，AB=2LAB=2L、BC=LBC=L；三角形分布載重最大值為 w0w_0，且最大荷重密度位於 AA 處。

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核心觀念

本題考外伸梁在三角形分布載重下的支承反力、剪力與彎矩。彎矩極值出現在剪力 V=0V=0 處；矩形斷面的最大彎曲應力則由彎曲公式 σmax⁡=Mc/I\sigma_{\max}=Mc/I 求得。

令 xx 自 A 點向右量。載重由 A 點的 w0w_0 線性遞減至 C 點的零，總長為 3L3L，因此

w(x)=w0(1−x3L)w(x)=w_0\left(1-\frac{x}{3L}\right)

解題方法

先將三角形分布載重換算為合力：

W=12(3L)w0=32w0LW=\frac{1}{2}(3L)w_0=\frac{3}{2}w_0L

合力作用於三角形由大端起算的 1/31/3 處，即距 A 點 LL。由整體平衡：

∑MA=0:RB(2L)−W(L)=0\sum M_A=0:\quad R_B(2L)-W(L)=0 RB=34w0L,RA=W−RB=34w0LR_B=\frac{3}{4}w_0L,\qquad R_A=W-R_B=\frac{3}{4}w_0L

在 0≤x≤2L0\le x\le 2L 的 AB 段，剪力為

V(x)=RA−∫0xw(s) ds=34w0L−w0(x−x26L)V(x)=R_A-\int_0^x w(s)\,ds =\frac{3}{4}w_0L-w_0\left(x-\frac{x^2}{6L}\right)

彎矩為

M(x)=RAx−∫0xw(s)(x−s) ds=w0(34Lx−x22+x318L)M(x)=R_Ax-\int_0^x w(s)(x-s)\,ds =w_0\left(\frac{3}{4}Lx-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{18L}\right)

令 V(x)=0V(x)=0，求 AB 段的彎矩極值位置：

34L−x+x26L=0\frac{3}{4}L-x+\frac{x^2}{6L}=0

令 u=x/Lu=x/L，得 u2−6u+92=0u^2-6u+\frac{9}{2}=0。落在 AB 段內的根為

xmax⁡=(3−32)L≈0.8787Lx_{\max}=\left(3-\frac{3}{\sqrt{2}}\right)L \approx 0.8787L

將此位置代入彎矩式，可得

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