111 地方特考四等 土木工程 靜力學概要與材料力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查鋼線的軸向變形相容與剛體平衡。鋼線的軸向力與伸長量關係為

其中 $E$、$A$ 為鋼線的彈性模數與截面積，$L$ 為原長，$\Delta L$ 為軸向伸長量。四根鋼線的 $E$、$A$ 相同，因此可依各線長度及伸長量比較軸向力。

解題方法

由圖形對稱，且 $P$ 作用於剛體中央，剛體向下平移而不轉動。令剛體向下位移為 $\delta$。

垂直鋼線 $A、B$ 的長度均為 $2\ \mathrm{m}$，其伸長量為 $\delta$，所以

斜線 $C、D$ 的水平距離為 $1.5\ \mathrm{m}$、垂直距離為 $2\ \mathrm{m}$，故斜線長度為

斜線與鉛直方向的方向餘弦為

剛體垂直下移 $\delta$ 時，斜線沿自身方向的伸長量為 $\delta\cos\theta=\frac45\delta$。因此

對剛體列垂直方向平衡。斜線軸力的垂直分量為 $\frac45N_C$，故

核心觀念

將斷面視為「完整等腰三角形減去底部矩形孔」，並分別對指定的 $x$ 軸、$y$ 軸計算面積慣性矩。計算時使用形心軸慣性矩公式，以及平行軸定理：

其中 $I_c$ 為形心軸的面積慣性矩，$A$ 為面積，$d$ 為兩軸距離。

解題方法

取三角形底部為高度基準，矩形孔置中，寬 $10\ \mathrm{cm}$、高 $5\ \mathrm{cm}$。

對方孔頂部的 $x$ 軸

此軸距三角形底部 $5\ \mathrm{cm}$。等腰三角形的形心距底部為高的三分之一，即 $15/3=5\ \mathrm{cm}$，所以 $x$ 軸恰好通過三角形形心。

三角形對形心水平軸的慣性矩為：

矩形孔形心距其頂部 $x$ 軸 $2.5\ \mathrm{cm}$。先算矩形對自身形心水平軸的慣性矩，再用平行軸定理移至 $x$ 軸：

因此，剩餘斷面對 $x$ 軸的慣性矩為：

核心觀念

鋼管與內填混凝土緊密結合，受軸壓時兩者的軸向變形相同，因此軸向應變相同：

依虎克定律 $\sigma=E\varepsilon$，兩種材料的應力會依彈性模數分配；再以截面力平衡使鋼管與混凝土承受的軸力總和等於外力 $P$。

解題方法

1. 計算兩種材料的截面積

鋼管外側為 $40\text{ cm}\times40\text{ cm}$，厚度為 $2\text{ cm}$，所以內側邊長為：

鋼管截面積：

混凝土截面積：

2. 由變形相容與力平衡求共同應變

兩者應變相同，分別有 $\sigma_s=E_s\varepsilon$、$\sigma_c=E_c\varepsilon$。軸力平衡為：

將 $P=400\text{ tf}=400{,}000\text{ kgf}$ 代入：

核心觀念

本題比較兩種實心斷面的最大彎曲應力與最大剪應力。彎曲應力由斷面係數 $Z=I/c$ 決定；最大剪應力則須使用各斷面的剪應力分布公式，不能直接以平均剪應力 $V/A$ 代替。

解題方法

一、相同彎矩、最大彎曲應力相同

彎曲應力公式為

兩斷面承受相同彎矩且最大彎曲應力相同，因此斷面係數相同。

圓形斷面：

方形斷面：

令兩者相等：

二、相同剪力、最大剪應力相同