111 地方特考四等 土木工程 測量學概要 考古題詳解

核心觀念

長圓形由兩段直線與兩個半圓組成；兩個半圓合併為一個完整圓。因此，若直線段長為 $L$、半圓半徑為 $r$，內沿周長為 $2L+2\pi r$，內場面積則為長方形面積加圓面積。

中誤差以誤差傳播定律計算。假設 $L$ 與 $r$ 的觀測誤差互不相關，對函數 $f(L,r)$ 有：

解題方法

標準跑道總長度

標準跑道沿內沿外擴 $0.3\ \mathrm{m}$，半圓半徑增加為 $r+0.3$；直線段長度不變。因此：

代入 $L=84.392\ \mathrm{m}$、$r=36.506\ \mathrm{m}$：

將 $0.3\ \mathrm{m}$ 視為題目給定的固定值，則：

其中 $\sigma_L=\sigma_r=0.005\ \mathrm{m}$，所以：

核心觀念

本題考核全測站儀（Total Station）於「三角高程測量」之綜合應用，涉及三大核心觀念：

1. 垂直度盤讀數與指標差（Index Error）改正： 全測站儀垂直度盤多以天頂為零度基準（天頂距 $Z$）。正鏡（盤左，Face Left, $Z_L$）與倒鏡（盤右，Face Right, $Z_R$）觀測時，若存在度盤指標差 $i$，其讀數滿足： $Z_L = Z + i$ $Z_R = 360^\circ - Z + i$ 指標差計算式為： $i = \frac{Z_L + Z_R - 360^\circ}{2}$ 消除指標差後之正確天頂距為： $Z = Z_L - i = \frac{Z_L + (360^\circ - Z_R)}{2}$ 若以仰角（垂直角 $\alpha$）表示，則 $\alpha = 90^\circ - Z$。

2. 三角高程測量公式： 自測站 $A$ 觀測照準點 $B$，短距離（$S < 300\ \mathrm{m}$ 且未給地球半徑與折光係數）情況下略去球氣差，高程計算公式為： $H_B = H_A + h_i + \Delta h - h_r$ 其中高差 $\Delta h$ 以斜距 $S$ 與天頂距 $Z$ 表示為 $\Delta h = S \cos Z$（若以仰角 $\alpha$ 表示則為 $\Delta h = S \sin \alpha$），故： $H_B = H_A + h_i + S \cos Z - h_r$

3. 誤差傳播定律（Law of Error Propagation）： 若各觀測量獨立不相關，函數 $H_B = f(H_A, h_i, h_r, S, Z)$ 之方差（中誤差平方）為： $\sigma_{H_B}^2 = \left(\frac{\partial H_B}{\partial H_A}\right)^2 \sigma_{H_A}^2 + \left(\frac{\partial H_B}{\partial h_i}\right)^2 \sigma_{h_i}^2 + \left(\frac{\partial H_B}{\partial h_r}\right)^2 \sigma_{h_r}^2 + \left(\frac{\partial H_B}{\partial S}\right)^2 \sigma_S^2 + \left(\frac{\partial H_B}{\partial Z}\right)^2 \sigma_Z^2$

• 測距中誤差按儀器先驗規格合成：$\sigma_S = \sqrt{a^2 + (b \cdot S)^2}$。
• 角度中誤差微分時必須轉換為弧度制（$\mathrm{rad}$）：$\sigma_Z\ (\mathrm{rad}) = \frac{\sigma_Z''}{\rho''}$，其中 $\rho'' \approx 206265''$。

解題方法

步驟一：計算指標差並估計縱角（天頂距與仰角）

由題給之正、倒鏡天頂距讀數：

• 正鏡讀數 $Z_L = 87^\circ 23' 32''$
• 倒鏡讀數 $Z_R = 272^\circ 36' 06''$

1. 計算指標差 $i$： $Z_L + Z_R = 87^\circ 23' 32'' + 272^\circ 36' 06'' = 359^\circ 59' 38''$ $i = \frac{359^\circ 59' 38'' - 360^\circ}{2} = \frac{-22''}{2} = -11''$

2. 估計縱角（消除指標差）：

• 天頂距 $Z$： $Z = Z_L - i = 87^\circ 23' 32'' - (-11'') = 87^\circ 23' 43''$
• 仰角 $\alpha$（若以水平面為基準之垂直角）： $\alpha = 90^\circ - Z = 90^\circ - 87^\circ 23' 43'' = 2^\circ 36' 17''$

步驟二：計算 $B$ 點高程 $H_B$

將觀測值代入三角高程公式（距離 $S = 256.971\ \mathrm{m}$ 屬短距離，略去球差與氣差）： $H_B = H_A + h_i + S \cos Z - h_r$

1. 計算高差項 $\Delta h$： $\cos Z = \cos(87^\circ 23' 43'') = \cos(87.395278^\circ) \approx 0.0454455$ $\Delta h = S \cos Z = 256.971 \times 0.0454455 \approx 11.678\ \mathrm{m}$

2. 計算 $B$ 點高程： $H_B = 650.762 + 1.658 + 11.678 - 1.566 = 662.532\ \mathrm{m}$

步驟三：計算各觀測量之中誤差

1. 題給已知量之中誤差：

• $\sigma_{H_A} = \pm 0.020\ \mathrm{m}$
• $\sigma_{h_i} = \pm 0.005\ \mathrm{m}$
• $\sigma_{h_r} = \pm 0.005\ \mathrm{m}$

2. 測距先驗中誤差 $\sigma_S$： 儀器精度為 $\pm(3\ \mathrm{mm} + 10\ \mathrm{ppm})$，其中 $S = 256.971\ \mathrm{m}$： $10\ \mathrm{ppm} \times 256.971\ \mathrm{m} = 10 \times 10^{-6} \times 256.971 \times 10^3\ \mathrm{mm} \approx 2.57\ \mathrm{mm}$ 依隨機誤差合成： $\sigma_S = \sqrt{3^2 + 2.57^2} = \sqrt{15.605} \approx 3.95\ \mathrm{mm} \approx 0.00395\ \mathrm{m}$

核心觀念

本題屬於平面控制測量中的經緯儀角度觀測、三角形閉合差檢核及導線方位角推算綜合計算題，涵蓋以下核心觀念：

1. 單角法與正倒鏡觀測：經緯儀取正鏡（盤左）與倒鏡（盤右）讀數之平均值，可消除儀器之視準軸誤差（2c）與水平軸傾斜誤差（橫軸誤差）。
2. 順鐘向水平角定義：度盤刻劃順時針增加，測站照準兩目標點時，順鐘向水平角等於前視讀數減後視讀數（若為負值則加 $360^\circ$）。
3. 三角形內角與外角幾何關係：測站 $A$ 後視 $B$ 前視 $C$ 之順鐘向水平角若大於 $180^\circ$，為該頂點之外角（折角），其與三角形內角互為周角補角（內角 $= 360^\circ - \text{外角}$）。
4. 三角形角度閉合差：平面三角形內角和理論值為 $(3 - 2) \times 180^\circ = 180^\circ$。閉合差公式為： $w = \sum \beta_{\text{內}} - 180^\circ$
5. 坐標反算方位角：已知兩點坐標 $(E_A, N_A)$ 與 $(E_B, N_B)$，其邊長方位角 $\varphi_{AB}$ 由坐標差正切函數求得，並依坐標差正負號判斷所在象限： $\tan \alpha = \left|\frac{\Delta E_{AB}}{\Delta N_{AB}}\right| = \left|\frac{E_B - E_A}{N_B - N_A}\right|$
6. 方位角推算公式：沿測線前進方向，已知前一邊方位角與轉折角，推算下一邊之方位角： $\varphi_{\text{前}} = \varphi_{\text{後}} \pm 180^\circ + \beta_{\text{順鐘向轉角}}$

解題方法

一、各測站方向值化簡與水平角計算

單角法中，各目標點之方向值 $\bar{R}$ 為正鏡讀數與倒鏡讀數（減去或加上 $180^\circ$）之平均值；水平角為前視方向值減後視方向值。

1. 測站 $A$（觀測點 $B$ 與 $C$）

• 觀測點 $B$ 方向值： $\bar{R}_B = \frac{123^\circ45'52'' + (303^\circ45'32'' - 180^\circ)}{2} = \frac{123^\circ45'52'' + 123^\circ45'32''}{2} = 123^\circ45'42.0''$
• 觀測點 $C$ 方向值： $\bar{R}_C = \frac{42^\circ59'35'' + (222^\circ58'52'' - 180^\circ)}{2} = \frac{42^\circ59'35'' + 42^\circ58'52''}{2} = 42^\circ59'13.5''$
• 順鐘向水平角 $\theta_{BAC}$（後視 $B$、前視 $C$ 之順時針旋轉角）： $\theta_{BAC} = \bar{R}_C - \bar{R}_B + 360^\circ = 42^\circ59'13.5'' - 123^\circ45'42.0'' + 360^\circ = 279^\circ13'31.5''$ 對應之三角形內角 $\angle A$（由 $C$ 順時針至 $B$）： $\angle A = 360^\circ - \theta_{BAC} = \bar{R}_B - \bar{R}_C = 80^\circ46'28.5''$

2. 測站 $B$（觀測點 $A$ 與 $C$）

• 觀測點 $A$ 方向值： $\bar{R}_A = \frac{56^\circ25'56'' + (236^\circ26'12'' - 180^\circ)}{2} = \frac{56^\circ25'56'' + 56^\circ26'12''}{2} = 56^\circ26'04.0''$
• 觀測點 $C$ 方向值： $\bar{R}_C = \frac{100^\circ59'35'' + (281^\circ00'12'' - 180^\circ)}{2} = \frac{100^\circ59'35'' + 101^\circ00'12''}{2} = 100^\circ59'53.5''$
• 順鐘向水平角 $\theta_{ABC}$（後視 $A$、前視 $C$）： $\theta_{ABC} = \bar{R}_C - \bar{R}_A = 100^\circ59'53.5'' - 56^\circ26'04.0'' = 44^\circ33'49.5''$ （此角即為三角形內角 $\angle B = 44^\circ33'49.5''$）

3. 測站 $C$（觀測點 $B$ 與 $A$）

• 觀測點 $B$ 方向值： $\bar{R}_B = \frac{183^\circ27'50'' + (3^\circ28'05'' + 180^\circ)}{2} = \frac{183^\circ27'50'' + 183^\circ28'05''}{2} = 183^\circ27'57.5''$
• 觀測點 $A$ 方向值： $\bar{R}_A = \frac{238^\circ07'15'' + (58^\circ07'12'' + 180^\circ)}{2} = \frac{238^\circ07'15'' + 238^\circ07'12''}{2} = 238^\circ07'13.5''$
• 順鐘向水平角 $\theta_{BCA}$（後視 $B$、前視 $A$）： $\theta_{BCA} = \bar{R}_A - \bar{R}_B = 238^\circ07'13.5'' - 183^\circ27'57.5'' = 54^\circ39'16.0''$ （此角即為三角形內角 $\angle C = 54^\circ39'16.0''$）

二、點位及角度關係簡圖

依坐標反算結果，$B$ 點位於 $A$ 點之東南方；$C$ 點位於 $B$ 點之北北東方、$A$ 點之東北方。三角形三頂點頂點順序為逆時針環繞（$A \to B \to C \to A$）：

 N
 ↑
 
 C
 / \
 / \
 / \
 ∠A = 80°46'29" \ ∠C = 54°39'16"
 / \
 / \
 / \
 A \
 \ \
 \ \
 φ_AB = 143°10'47" \
 \ \
 \ \
 \ ∠B = 44°33'50" \
 ---------------> B

• 頂點 $A$：內角 $\angle A = 80^\circ46'28.5''$，外角 $\theta_{BAC} = 279^\circ13'31.5''$
• 頂點 $B$：內角 $\angle B = \theta_{ABC} = 44^\circ33'49.5''$
• 頂點 $C$：內角 $\angle C = \theta_{BCA} = 54^\circ39'16.0''$

三、計算三角形閉合差

三角形實測內角和： $\sum \beta = \angle A + \angle B + \angle C = 80^\circ46'28.5'' + 44^\circ33'49.5'' + 54^\circ39'16.0'' = 179^\circ59'34.0''$

核心觀念

本題測驗地形測量中「等高線（Contour Line）」的基礎性質與地貌判讀能力，涉及以下核心定義與原理：

1. 等高線種類：地形圖中依功能劃分之曲線體系，包含首曲線（Intermediate Contour）與計曲線（Index Contour）的線型規範（線寬、實線與斷線）與標註目的。
2. 等高線間距（Contour Interval, $h$）：相鄰兩條基本等高線間的垂直高差，決定地表高程採樣的垂直解析度。
3. 比例尺與間距之匹配：圖面最小辨識距離（人眼辨識極限約 $0.1 \sim 0.2\text{ mm}$）對等高線水平平距的限制，以及圖幅用途對垂直精度的要求。
4. 地形特徵線之幾何特徵：山脊線（分水線）與山谷線（合水線／集水線）在等高線彎曲方向與高程遞變方向的幾何表現。

解題方法

本題為標準的申論型觀念題，採層次分明的四段式架構切入：

1. 子題一（曲線類型）：開門見山點出「首曲線」與「計曲線」，並以製圖標準（線寬對比、高程文字標註）說明兩者在「地貌塑形」與「計數判讀」上的功能分工。
2. 子題二（等高線間距）：嚴格區分「等高線間距（垂直高差）」與「等高線平距（水平距離）」，並由垂直採樣頻率的角度說明其對微地形表達的詳細程度與圖面清晰度之權衡。
3. 子題三（比例尺關聯）：由幾何製圖極限切入，建立「比例尺愈大 $\rightarrow$ 圖面空間愈充裕 $\rightarrow$ 等高線間距愈小」之對應邏輯。
4. 子題四（山脊與山谷）：運用「V 字形／U 字形頂點指向」與「高程增減方向」的相對幾何關係進行精確對比描述。

選項分析

本題為公務人員特考四等之申論題，非選擇題，故無選項。各子題評分核心在於專有名詞的定義準確性、圖學規範數值與地貌判讀指向之明確性。

解題技巧

1. 專有名詞英文對照加分法：作答時附上英文（如首曲線 Intermediate contour、計曲線 Index contour、等高線間距 Contour interval），可突顯專業度。
2. 地形判讀速記口訣：

• 「脊凸低」：山脊等高線彎曲凸向標高較低處。
• 「谷凸高」：山谷等高線彎曲凸向標高較高處（指向河流上游／源頭）。

3. 圖學數值答題亮點：計曲線通常為首曲線間距的 $5$ 倍；首曲線多繪為細實線（約 $0.15\text{ mm}$），計曲線繪為加粗實線（約 $0.3\text{ mm} \sim 0.4\text{ mm}$）。
4. 常見陷阱防範：

• 切勿將「等高線間距（Contour interval，垂直高差）」與「等高線平距（Contour horizontal distance，水平距離）」混淆。
• 等高線間距並非「愈小愈好」，間距過小會導致陡坡處線條重疊黏結，破壞可讀性。

【答案】

一、地形圖最主要之兩種等高線類型、用途及線型

1. 首曲線（Intermediate Contour，基本等高線）

• 用途：按規定的基本等高線間距描繪之連續閉合曲線，為地形圖上表現地貌起伏形態最主要的基準線條。
• 線型：採用細實線繪製（線寬約為 $0.15\text{ mm}$），線條連續均勻，原則上不在線上註記高程數值。

核心觀念

本題評量 GNSS（全球導航衛星系統）相對定位中「基線向量」（Baseline Vector）的物理與幾何定義，以及空間坐標系統轉換的程序。主要核心觀念與數學公式如下：

1. 地心地固空間直角坐標系（ECEF, Earth-Centered Earth-Fixed）： GNSS 衛星軌道與定位計算均建構於 ECEF 坐標系（如 WGS-84 或 TWD97 之幾何基準）。

• 原點 $O$：地球質心（Center of Mass）。
• $Z$ 軸：指向國際時間局（BIH）定義的協議地球極（CTP）或 IERS 參考極（北極方向）。
• $X$ 軸：通過格林威治本初子午面與地球赤道面之交點。
• $Y$ 軸：在赤道面上，垂直於 $X$ 軸並指向東經 $90^\circ$ 方向，與 $X, Z$ 軸構成右手直角坐標系。

2. 基線向量 $(\Delta X, \Delta Y, \Delta Z)$： 兩部接收儀同步觀測相同衛星群，經載波相位雙差（Double Difference）解算後，所得兩站於 ECEF 坐標系下之空間坐標差向量。
3. 坐標轉換與幾何量計算：

• 三度空間距離（弦長）：利用三維歐幾里得距離公式直接求解。
• 橢球高差與平面距離：ECEF 直角坐標軸並不貼合地表水平面與垂直線，不可直接以 $\Delta Z$ 為高差或 $\sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2}$ 為水平距；必須透過參考橢球幾何參數將 ECEF 坐標轉換為「大地坐標系 $(\phi, \lambda, h)$」或「站心地平坐標系 $(e, n, u)$」，方能求得橢球高差及平面距離。

解題方法

一、基線分量之定義與示意圖

1. 文字描述定義

設測站 $A$ 與測站 $B$ 於 ECEF 地心地固直角坐標系中之絕對位置向量分別為 $\mathbf{R}_A = [X_A, Y_A, Z_A]^T$ 與 $\mathbf{R}_B = [X_B, Y_B, Z_B]^T$。 由 $A$ 點至 $B$ 點之基線分量 $(\Delta X, \Delta Y, \Delta Z)$ 定義為兩測站位置向量之空間差值：

$\begin{bmatrix} \Delta X \\ \Delta Y \\ \Delta Z \end{bmatrix} = \mathbf{R}_B - \mathbf{R}_A = \begin{bmatrix} X_B - X_A \\ Y_B - Y_A \\ Z_B - Z_A \end{bmatrix}$

此向量代表在以地球質心為原點之空間直角坐標系統中，$B$ 點相對於 $A$ 點在 $X$ 軸、$Y$ 軸及 $Z$ 軸方向之坐標增量（坐標差）。

2. 空間幾何示意圖

 Z (指向協議地極 / 北極)
 ^
 |
 | B (XB, YB, ZB)
 | /|
 | / |
 | ΔX_AB / |
 | / |
 | A |
 | / |
 | R_A / | R_B
 | / |
 | / |
 | / |
 | / |
 + /___________+------------> Y (赤道面，東經 90°)
 / O (地球質心)
 /
 /
 v
 X (赤道面與本初子午面交點)

二、從基線分量求算各幾何量之計算方法與程序

題目給定兩點相距不到一公里（短基線），計算程序分為直接幾何解算與坐標轉換兩部分：

1. 三度空間距離（3D 空間距離 $S$）

三度空間距離即為連接 $A, B$ 兩測站空間位置之直線弦長（Chord Distance），可直接由三維歐幾里得距離公式求得：

$S = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2 + \Delta Z^2}$

2. 橢球高差（$\Delta h$）之計算程序

由於 $\Delta Z$ 並非沿地表法線方向之高程差，必須經過橢球坐標轉換求得大地坐標 $(\phi, \lambda, h)$：

• 步驟一：確立兩站 ECEF 空間坐標 若已知起始站 $A$ 之絕對坐標 $(X_A, Y_A, Z_A)$（可由單點定位精密解或已知控制點獲得），則推求 $B$ 點坐標： $X_B = X_A + \Delta X,\quad Y_B = Y_A + \Delta Y,\quad Z_B = Z_A + \Delta Z$

• 步驟二：直角坐標轉換為大地坐標 利用參考橢球幾何參數（長半軸 $a$、第一偏心率平方 $e^2$），將 $A, B$ 兩點之 $(X, Y, Z)$ 依迭代法或封閉解（如 Bowring 公式）化算為大地坐標 $(\phi_A, \lambda_A, h_A)$ 與 $(\phi_B, \lambda_B, h_B)$： $\lambda = \arctan\left(\frac{Y}{X}\right)$ $\phi = \arctan\left(\frac{Z + e^2 N \sin\phi}{\sqrt{X^2 + Y^2}}\right) \quad (\text{其中卯酉圈曲率半徑 } N = \frac{a}{\sqrt{1 - e^2 \sin^2\phi}})$ $h = \frac{\sqrt{X^2 + Y^2}}{\cos\phi} - N$