111 地方特考四等 測量製圖 測量學概要(包括地籍測量) 考古題詳解

核心觀念

1. 開展導線（Open Traverse）特性： 開展導線起於已知點，止於未知點，因缺乏後續已知控制點或閉合條件，無幾何條件可供檢核，亦無法進行閉合差平差。各未知點之方位角與坐標皆由起點逐一向前推進「正算」求得。
2. 導線折角（水平角）慣例： 在測量學與國家考試慣例中，測站觀測之水平角若無特殊說明（如偏角或左角），一律視為順時針水平角（即右角 $\beta$），即以照準後視測線為基準，順時針旋轉至前視測線之夾角。
3. 方位角推算公式（右角法）： $\phi_{前} = \phi_{後} \pm 180^\circ + \beta$

• 若算式結果 $\ge 360^\circ$，則減去 $360^\circ$。
• 若算式結果 $< 0^\circ$，則加上 $360^\circ$。
• （物理意義：$\phi_{後} \pm 180^\circ$ 即為後視反方位角，加上順時針旋轉角 $\beta$ 即得前視方向方位角）。

4. 坐標增量與坐標正算：

• 橫坐標增量：$\Delta E = D \cdot \sin\phi$
• 縱坐標增量：$\Delta N = D \cdot \cos\phi$
• 前點坐標： $E_{前} = E_{後} + \Delta E$ $N_{前} = N_{後} + \Delta N$ （$D$ 為水平距離，$\phi$ 為該測段之方位角）。

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解題方法

本題已知 $B$ 點坐標 $(E_B, N_B)$ 及起始邊方位角 $\phi_{AB}$，解題切入點為：

1. 以測站 $B$ 之水平角推算測段 $BC$ 之方位角 $\phi_{BC}$，結合水平距離 $D_{BC}$ 計算坐標增量，求得 $C$ 點坐標。
2. 以測站 $C$ 之水平角推算測段 $CD$ 之方位角 $\phi_{CD}$，結合水平距離 $D_{CD}$ 計算坐標增量，求得 $D$ 點坐標。

步驟一：推算測段 $BC$ 方位角與 $C$ 點坐標

1. 推算方位角 $\phi_{BC}$：

• 後視邊反方位角 $\phi_{BA} = \phi_{AB} + 180^\circ = 125^\circ 10' 35'' + 180^\circ = 305^\circ 10' 35''$
• 測站 $B$ 順時針轉角 $\beta_B = 64^\circ 20' 50''$ $\phi_{BC} = \phi_{BA} + \beta_B = 305^\circ 10' 35'' + 64^\circ 20' 50'' = 369^\circ 31' 25''$
• 扣除 $360^\circ$ 得： $\phi_{BC} = 9^\circ 31' 25''$

2. 計算測段 $BC$ 坐標增量（$D_{BC} = 89.047\,\mathrm{m}$）：

• $\Delta E_{BC} = D_{BC} \cdot \sin(\phi_{BC}) = 89.047 \times \sin(9^\circ 31' 25'') \approx +14.733\,\mathrm{m}$
• $\Delta N_{BC} = D_{BC} \cdot \cos(\phi_{BC}) = 89.047 \times \cos(9^\circ 31' 25'') \approx +87.820\,\mathrm{m}$

3. 計算 $C$ 點坐標：

• $E_C = E_B + \Delta E_{BC} = 235200.500 + 14.733 = 235215.233\,\mathrm{m}$
• $N_C = N_B + \Delta N_{BC} = 2760300.450 + 87.820 = 2760388.270\,\mathrm{m}$

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步驟二：推算測段 $CD$ 方位角與 $D$ 點坐標

1. 推算方位角 $\phi_{CD}$：

• 後視邊反方位角 $\phi_{CB} = \phi_{BC} + 180^\circ = 9^\circ 31' 25'' + 180^\circ = 189^\circ 31' 25''$

核心觀念

1. 後方交會法（Resection）定義： 在未知點上架設儀器，觀測若干已知控制點之方向或角度，藉由幾何幾何條件推求未知點坐標之測量方法。本題已知點位於離島且無法架設儀器，僅能在未知點 $D$ 設站觀測，故必須採用後方交會法。
2. 三點後方交會法（Three-point Resection）之幾何條件： 平面坐標待定參數為 2 個（$E_D, N_D$），於未知點 $D$ 照準 3 個已知點，可測定 2 個獨立水平夾角。透過正弦定理、柯林斯法（Collins Method）或狄恩斯特拉公式（Tienstra's Formula）解算坐標。幾何限制為待定點 $D$ 不得位於 3 個已知點所構成之外接圓（即「危險圓」Dangerous Circle）上或其鄰近處，否則產生奇異解（無窮多解）。
3. 兩點後方交會之幾何不足性與漢森問題（Hansen's Problem）： 若僅剩 2 個已知點且已知點無法設站，在未知點 $D$ 僅能觀測 1 個水平夾角，幾何條件不足（1 個觀測量無法解 2 個未知數）。此時必須於測區島上增設 1 個輔助未知點，於兩未知點互視並各自照準兩已知點，構成經典之「漢森問題」（兩點後方交會法），或量測兩未知點間之輔助基線長度求解。

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解題方法

（一）三點後方交會之觀測角度與坐標計算

1. 應測定之角度 於未知點 $D$ 架設經緯儀，照準小島上的三個已知點 $A$、$B$、$C$，測定 2 個獨立之水平夾角：

• $\alpha = \angle ADB$（照準 $A$ 點與 $B$ 點之方向夾角）
• $\beta = \angle BDC$（照準 $B$ 點與 $C$ 點之方向夾角）

 A (Ea, Na) B (Eb, Nb) C (Ec, Nc)
 ▲ ▲ ▲
 \ / \ /
 \ / \ /
 \ / \ /
 \ / \ /
 \ / \ /
 \ α / \ β /
 \ / \ /
 \ / \ /
 ▼ ▼
 -------------------
 D (ED, ND)
 [儀器設站於本島未知點 D]

2. 坐標計算步驟（以柯林斯輔助圓法 Collins Method 為例）

• 步驟 1：建立輔助點 $P$（柯林斯點） 作通過已知點 $A$、$C$ 及未知點 $D$ 之輔助外接圓，射線 $DB$ 延伸交此圓於輔助點 $P$。
• 步驟 2：推求輔助點 $P$ 之外圍交角 由圓內接四邊形同弧所對之圓周角相等性質： $\angle ACP = \angle ADP = \alpha$ $\angle CAP = \angle CDP = \beta$
• 步驟 3：計算輔助點 $P$ 坐標 由已知點 $A(E_a,N_a)$、$C(E_c,N_c)$ 之坐標反算邊長 $S_{AC}$ 及方位角 $\phi_{AC}$，利用正弦定理於 $\triangle ACP$ 中計算邊長 $AP$ 或 $CP$，再由前方交會法計算出 $P(E_p, N_p)$ 之坐標。
• 步驟 4：計算射線方位角 由 $P$ 點與已知點 $B$ 之坐標計算直線 $PB$ 之方位角 $\phi_{PB}$。因 $P$、$B$、$D$ 三點共線，故： $\phi_{PD} = \phi_{PB}$
• 步驟 5：計算待定點 $D$ 坐標 在 $\triangle APD$ 中，已知方位角 $\phi_{PD}$ 及 $A$ 點坐標，配合交會角即可推求交點 $D(E_d, N_d)$ 之坐標。
• 幾何限制檢驗：若點 $B$ 恰好落在通過 $A, C, D$ 之輔助圓上，則 $P$ 點與 $B$ 點重合，$\phi_{PB}$ 無法定義，此圓即為「危險圓」（$A, B, C, D$ 四點共圓），測設時應確保 $D$ 點遠離此圓。

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（二）僅剩兩點時之測量與計算方法

因已知點 $A$、$B$ 上無法設站，若僅在 $D$ 點觀測，只能測得夾角 $\angle ADB$（1 個條件），無法求解未知點的 2 個坐標（$E_d, N_d$）。在無衛星定位儀情況下，標準作業方式為增設輔助未知點進行兩點後方交會（漢森法，Hansen's Problem）。

1. 外業測量作業

• 於本島選定一輔助控制點 $P$，使 $D$ 點與 $P$ 點相互通視，且兩點皆能清晰照準 $A$ 與 $B$。
• 於 $D$ 點設站：照準 $A$、$B$、$P$ 三點，測定水平角： $\alpha_1 = \angle PDA, \quad \alpha_2 = \angle ADB$
• 於 $P$ 點設站：照準 $D$、$A$、$B$ 三點，測定水平角：

核心觀念

本題測驗「國家坐標系統」之幾何定義與數學架構，屬《測量學概要》與《地籍測量》必考的基礎法規與理論題型。法規依據以命題當年（民國 111 年）之**《基本測量實施規則》**（內政部令發布）為準，核心觀念包含：

1. 二度分帶橫麥卡托投影（TM2）：屬正形投影（Conformal Projection），臺灣本島以東經 $121^\circ$ 為中央子午線，投影面尺度比率為 $k_0 = 0.9999$。平面坐標軸定義與假偏移值（False Easting）設定目的為避免負值。
2. $TWD97$ 三維地心坐標系統：採用國際地球參考框架（ITRF94，歷元 1997.0）及 GRS80 參考橢球，建立之空間三維地心直角坐標系（Geocentric Cartesian Coordinate System, $X, Y, Z$），符合右手直角坐標系規則。

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解題方法

本題為申論問答題，評分標準在於「術語精確性」與「要素完整性」，切入點應涵蓋幾何方位、物理意義、常數設定及法源定義：

1. 第（一）小題：依《基本測量實施規則》第 6 條，拆解為「坐標原點位置」、「縱軸（$Y$ 軸）方向」、「橫軸（$X$ 軸）方向」以及「人為原點坐標值（False Easting / Northing）與尺度比率」。
2. 第（二）小題：依《基本測量實施規則》第 5 條及大地測量定義，拆解為「原點（地球質心）」、「$Z$ 軸（地球平均自轉軸）」、「$X$ 軸（零子午面與赤道交線）」、「$Y$ 軸（東經 $90^\circ$ 赤道方向）」及「空間右手系幾何關係」。

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選項分析

本題為申論問答題，無單選題選項。閱卷評分重點如下：

• 第（一）小題評分關鍵（10 分）：
• 坐標原點：必須明確寫出「東經 $121^\circ$ 與赤道之交點」（2 分）。
• 橫軸（$X$ 軸）：垂直於中央子午線、向東為正，橫坐標西移 $250,000\text{ m}$（3 分）。
• 縱軸（$Y$ 軸）：以中央子午線投影後之直線、向北為正，縱坐標起算值為 $0\text{ m}$（3 分）。
• 補充參數：尺度比率 $0.9999$、GRS80 橢球（2 分）。
• 第（二）小題評分關鍵（10 分）：
• 原點：必須指明「地球質心（Center of Mass）」（2.5 分）。
• $Z$ 軸：指向 IERS 參考極（IRP）或 BIH 1984.0 定義之協議地球極（CTP/CIO）（2.5 分）。
• $X$ 軸：指向 IERS 參考子午面（IRM）與赤道面之交點（零度經線方向）（2.5 分）。
• $Y$ 軸：在赤道面上垂直於 $X$ 與 $Z$ 軸，指向東經 $90^\circ$，形成右手直角坐標系（2.5 分）。

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解題技巧

1. 坐標軸代號防混淆： 在一般數學與臺灣現行法定 TM 投影中，$X$ 軸為橫軸（東向 Easting, $E$），$Y$ 軸為縱軸（北向 Northing, $N$）。

核心觀念

1. 水準儀主要軸線之幾何關係 水準儀進行精密高程測量時，必須滿足三條主要軸線的幾何條件：

• 圓水準器軸（或垂直軸）應垂直於水準管水準軸。
• 十字絲橫絲應垂直於儀器旋轉軸（垂直軸）。
• 視準軸（Line of Collimation, $CC$）應平行於水準管水準軸（Axis of Bubble Tube, $LL$）。 若 $CC$ 與 $LL$ 不平行，兩者之夾角稱為視準軸誤差（或稱傾斜角、角誤差、$i$ 角）。當水準管居中（水準軸水平）時，視線會向上或向下傾斜，導致水準尺讀數產生誤差。

2. 檢驗基本原理：定樁法（Two-Peg Test）

• 對稱觀測消除誤差：將水準儀架設於兩尺等距離中央，視準軸誤差在兩尺上的影響量相同，兩者相減即可精確求得兩點間的「真實高程差」。
• 非對稱觀測檢出誤差：將儀器移至偏離中央處（如靠近其中一尺之外側），此時儀器至兩尺之距離不等，視準軸誤差無法抵消，將其觀測高差與真實高差比較，即可檢驗兩軸是否平行，並精確計算傾斜角。

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解題方法

本題標準檢驗程序採用定樁法（Two-Peg Test），分為兩次架儀觀測與計算：

一、檢驗步驟與示意圖

【測站 1：中央置鏡（等距觀測）】

 視準軸 (傾斜角 α)
 . - - - - - - - - - - - - - .
 / I₁ \
 / ▲ \ 水準管水準軸 (水平基準)
 ----*----------------|----------------*----
 | |
 | a₁ | b₁
 | |
 === ===
 A <---------- D/2 -----------> I₁ <---------- D/2 -----------> B
 |<--------------------------- D ---------------------------->|

【測站 2：端點外側偏置置鏡（非等距觀測）】

 視準軸 (傾斜角 α)
 . - - - - - - - - - - - - - - - - - .
 / \ I₂
 / \ ▲ 水準管水準軸 (水平基準)
 ----*-----------------------------------------*-|--
 | | |
 | a₂ | | b₂
 | | |
 === ===
 A <------------------- D ----------------> B <--- d ---> I₂
 |<------------------------- D + d --------------------->|

步驟 1：測站 1 中央置鏡（求真實高差）

1. 在平坦地面選定相距 $D$（通常為 $50 \sim 60\text{ m}$）之 $A$、$B$ 兩點，分別垂直豎立水準尺。
2. 將水準儀架設於 $A$、$B$ 兩點中央點 $I_1$，使儀器至兩尺之距離皆為 $\frac{D}{2}$。
3. 精確使水準管氣泡居中（水準軸呈水平），分別讀取 $A$ 尺讀數 $a_1$ 與 $B$ 尺讀數 $b_1$。
4. 設傾斜角為 $\alpha$（仰角為正），兩尺受誤差影響之讀數分別為： $a_1 = a'_1 + \frac{D}{2}\tan\alpha$ $b_1 = b'_1 + \frac{D}{2}\tan\alpha$ 式中 $a'_1, b'_1$ 為正確水平讀數。兩點之真實高差 $\Delta h_{AB}$ 為： $\Delta h_{AB} = a'_1 - b'_1 = \left(a_1 - \frac{D}{2}\tan\alpha\right) - \left(b_1 - \frac{D}{2}\tan\alpha\right) = a_1 - b_1$ 因距離相等，視準軸誤差完全抵消，故 $a_1 - b_1$ 即為 $A$、$B$ 兩點之真實高差。

步驟 2：測站 2 偏置置鏡（檢出誤差）

1. 將儀器搬移至 $B$ 點外側直線延長線上之 $I_2$ 處，距離 $B$ 點為 $d$（通常取 $2 \sim 5\text{ m}$），至 $A$ 點之距離為 $D + d$。
2. 再次精確整平儀器，分別讀取 $A$ 尺讀數 $a_2$ 與 $B$ 尺讀數 $b_2$。
3. 此時兩尺讀數分別包含不同大小之視準軸誤差影響： $a_2 = a'_2 + (D + d)\tan\alpha$ $b_2 = b'_2 + d\tan\alpha$ 將兩者相減，可得測站 2 之觀測高差： $a_2 - b_2 = (a'_2 - b'_2) + \left[(D + d)\tan\alpha - d\tan\alpha\right] = \Delta h_{AB} + D\tan\alpha = (a_1 - b_1) + D\tan\alpha$

核心觀念

經緯儀整置（Instrument Setup）為角度觀測與導線測量之基本前置作業，主要包含「定心」與「定平」兩大要件：

1. 定心（Centering）：使經緯儀之垂直軸（豎軸）鉛垂線精確通過地面測站標石之中心點符號。
2. 定平（Leveling）：使經緯儀之垂直軸（豎軸）與鉛垂線重合，亦即水平度盤之旋轉平面與水平面平行。
3. 光學定心器整置原理：傳統利用垂球定心易受風力干擾；光學定心器視線折向鉛垂方向，整置時須掌握「伸縮腳架調粗平（圓水準器），踵定螺旋調精平（水準管），平移基座做精定心」之解耦配合原則，以避免定心與定平互相干擾而陷入無限循環。

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解題方法

本題為標準操作程序題，作答時切忌雜亂敘述，應以「標準作業程序（SOP）」之條列架構撰寫，並將題目指定之五大關鍵名詞（標石、三腳架、圓水準器、水準管、踵定螺旋）依邏輯順序自然串接。

標準操作程序：

[步驟一：目視粗設] → [步驟二：光學初定心] → [步驟三：架腿粗定平]
 ↓
[步驟四：管水準精定平] ⇄ [步驟五：平移精定心] → [步驟六：最終檢核]

1. 架設三腳架與概略安置（粗估就位）

• 將三腳架三腳張開，跨度適中，架頭大致維持水平，且架頭中心大致位於地面標石中心正上方約 1 公尺處。
• 踩緊其中一腳架尖（或穩固於地面），將經緯儀自儀器箱取出置於三腳架頭，旋緊中心固定螺旋。

2. 光學定心器初步對準標石（初步定心）

• 調節光學定心器之目鏡至刻劃圈清晰，再調焦距使地面標石中心清晰。
• 旋轉基座上的三個踵定螺旋，使光學定心器之中心十字絲（或同心圓心）精準對準地面標石中心。

3. 伸縮三腳架粗平（粗定平）

• 觀察儀器基座上之圓水準器氣泡。
• 雙手分別握住未踩死之兩支三腳架腳管，鬆開腳架制動螺旋，以升降腳架長度之方式，使圓水準器氣泡居中（切勿在此階段轉動踵定螺旋，否則初定心將大幅偏移）。
• 氣泡居中後鎖緊腳架制動螺旋，並將三腳架各腳尖確實踩實踏入地面。

4. 利用水準管與踵定螺旋進行精密定平（精密定平）

• 旋轉照準儀，使水準管（管水準器）軸平行於任意兩踵定螺旋（設為 $A$、$B$）之連線。雙手同時向內或向外旋轉此兩螺旋，使水準管氣泡居中。
• 將照準儀轉動 $90^\circ$，使水準管軸垂直於原連線（即指向第三個踵定螺旋 $C$），旋轉螺旋 $C$ 使氣泡居中。
• 將照準儀再旋轉 $90^\circ$（即與原方向呈 $180^\circ$）檢驗：若氣泡仍居中，表示水準管軸與豎軸垂直；若有微偏，依「半半改正法」將偏差之一半以螺旋調整居中。
• 旋轉照準儀至任意方向，氣泡皆能維持居中，即完成精密定平。

5. 平移基座精密對準標石（精密定心）

• 檢視光學定心器：因精密定平後豎軸轉正，定心點常會產生微量位移。