111 地方特考四等 土木工程 結構學概要與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

【核心觀念】

以內鉸 $C$ 切開梁，先分析右側 $CDE$，求出 $D$ 點反力及鉸點傳力，再將鉸點力帶回左側 $AC$，求 $B$ 點內力。

令移動的單位向下荷載位置為 $x$，取 $A=0$、$B=3$、$C=6$、$D=9$、$E=11$ 公尺。彎矩以正彎矩（下凹）為正；剪力以左側梁段截面向下為正。

解題方法

荷載在 $C$ 右側時，對右側梁段取 $C$ 點力矩：

荷載在 $C$ 左側時，右側梁段沒有外力，故 $R_D=0$。荷載在 $C$ 右側時，右側梁段垂直力平衡得：

其中 $C_y$ 是鉸點對右側梁段的作用力；左側梁段所受鉸點力方向相反。

各影響線

1. $D$ 點支承反力 $R_D$

縱座標為 $A=0,\ B=0,\ C=0,\ D=1,\ E=\dfrac{5}{3}$，各點間以直線連接。

2. $B$ 點彎矩 $M_B$

荷載在 $B$ 左側時，$M_B=0$；在 $B$ 至 $C$ 間時，荷載對 $B$ 的力臂為 $x-3$；在 $C$ 右側時，左梁段受鉸點力 $C_y$，其對 $B$ 的力臂為 $3$ 公尺。

縱座標為 $A=0,\ B=0,\ C=-3,\ D=0,\ E=2$，各點間以直線連接。

3. $D$ 點彎矩 $M_D$

核心觀念

本題考查桁架的虛功法、支承沉陷與桿件製造誤差。取 $D$ 點向右為水平變位正方向，桿件軸力以拉力為正。

以 $D$ 點施加向右 $1\ \mathrm{tf}$ 的虛擬單位力，則實際荷載造成的水平變位可由

求得，其中 $N_i$ 是實際荷載下的桿力，$n_i$ 是單位力狀態下的桿力。

題目給定

解題方法與計算

（一）$D$ 點受 $6\ \mathrm{tf}$ 向下荷載

以整體平衡及接點法求得支承反力：

各桿件實際軸力如下，正值為拉力、負值為壓力：

接著在 $D$ 點施加向右 $1\ \mathrm{tf}$ 虛擬力。虛擬狀態下各桿力為

其餘桿件的 $n_i=0$。因此

負號表示 $D$ 點向左變位。

（二）$C$ 點支承向下沉陷 $5\ \mathrm{cm}$

核心觀念

本題以命題當年（民國 111 年）法規為準，依據內政部營建署《混凝土結構設計規範》（台內營字第 1100801841 號令）進行作答。（註：現行法規已於民國 112 年修正發布為《建築物混凝土結構設計規範》並自民國 113 年 1 月 1 日施行，但解題仍以命題當年為準）。

本題旨在測驗鋼筋混凝土矩形梁在彎矩作用下，縱向受拉鋼筋量之上、下限規定與力學原理：

1. 最小鋼筋量（$A_{s,\min}$）之目的與規範公式： 主要目的在於防止斷面混凝土受拉開裂瞬間，受拉鋼筋立即降伏甚至拉斷而產生無預警之脆性破壞（確保標稱開裂彎矩強度高於開裂彎矩，$M_n \ge 1.2 M_{cr}$）。依規範第 13.3.6 節規定，非預力受彎構材之縱向受拉鋼筋量不得小於下列兩式之較大值： $A_{s,\min} = \frac{0.8\sqrt{f'_c}}{f_y} b_w d \quad \text{且不得小於} \quad \frac{14}{f_y} b_w d$ 式中 $f'_c$ 與 $f_y$ 單位為 $\mathrm{kgf/cm^2}$，$b_w$ 為梁寬，$d$ 為有效深度。
2. 最大鋼筋量（$A_{s,\max}$）之目的與應變控制原則： 主要目的在於確保構件受彎破壞時具備足夠的韌性（延展性），避免受拉鋼筋尚未降伏前受壓混凝土即被壓碎（壓力控制破壞）。

• 規範容許之最大鋼筋量（極限最大鋼筋量 $A_{s,\max}$，$\epsilon_t = 0.004$）： 依規範第 3.3.3 節規定，非預力受彎構材在標稱強度狀態下，最外層受拉鋼筋淨拉應變不得小於 $0.004$（即 $\epsilon_t \ge 0.004$），此為規範容許構件之絕對最大鋼筋量門檻。
• 拉力控制最大鋼筋量（經濟最大鋼筋量 $A_{s,tc}$，$\epsilon_t = 0.005$）： 若欲使斷面滿足「拉力控制斷面」並享有最大強度折減因數 $\phi = 0.90$，最外層拉力筋淨拉應變須達 $\epsilon_t \ge 0.005$。

解題方法

一、設計參數整理

• 梁寬 $b = b_w = 35\ \mathrm{cm}$
• 有效深度 $d = 50\ \mathrm{cm}$（假設為單排主筋配置，最外層鋼筋中心深度 $d_t = d = 50\ \mathrm{cm}$）
• 混凝土規定抗壓強度 $f'_c = 280\ \mathrm{kgf/cm^2}$
• 應力塊深度因數：因 $f'_c \le 280\ \mathrm{kgf/cm^2}$，故 $\beta_1 = 0.85$
• 受拉主筋降伏強度：選用主筋級別（$D25$、$D29$、$D32$），取 $f_y = 4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$

二、最小鋼筋量（$A_{s,\min}$）計算

依規範公式檢核兩項限制：

1. 第一式： $A_{s1} = \frac{0.8\sqrt{f'_c}}{f_y} b_w d = \frac{0.8\sqrt{280}}{4200} \times 35 \times 50$ $\sqrt{280} \approx 16.733\ \mathrm{kgf/cm^2}$ $A_{s1} = \frac{0.8 \times 16.733}{4200} \times 1750 = \frac{13.387}{4200} \times 1750 \approx 5.58\ \mathrm{cm^2}$

2. 第二式： $A_{s2} = \frac{14}{f_y} b_w d = \frac{14}{4200} \times 35 \times 50 = \frac{1}{300} \times 1750 \approx 5.83\ \mathrm{cm^2}$

3. 取二者之較大值： 因 $A_{s2} = 5.83\ \mathrm{cm^2} > A_{s1} = 5.58\ \mathrm{cm^2}$，由第二式控制： $A_{s,\min} = 5.83\ \mathrm{cm^2}$

三、最大鋼筋量（$A_{s,\max}$）計算

在極限受彎狀態下，受壓側最外緣混凝土極限壓應變 $\epsilon_{cu} = 0.003$。

1. 規範許可之極限最大鋼筋量（取淨拉應變限制 $\epsilon_t = 0.004$）

由平截面假定（應變線性分佈）： $\frac{c}{d_t} = \frac{\epsilon_{cu}}{\epsilon_{cu} + \epsilon_t} = \frac{0.003}{0.003 + 0.004} = \frac{3}{7}$ $c = \frac{3}{7} \times 50 \approx 21.43\ \mathrm{cm}$

等效矩形應力塊深度 $a$： $a = \beta_1 c = 0.85 \times \left(\frac{3}{7} \times 50\right) = 18.214\ \mathrm{cm}$

由斷面水平力平衡條件 $C_c = T$（$0.85 f'_c a b = A_s f_y$）： $A_{s,\max} = \frac{0.85 f'_c a b}{f_y} = \frac{0.85 \times 280 \times 18.214 \times 35}{4200} = 36.13\ \mathrm{cm^2}$

本題依命題當年（民國 111 年）適用之內政部營建署《混凝土結構設計規範》（110 年 3 月 2 日令頒）為準進行設計。本題題文承接第三題，因題目未附前題斷面尺寸，依原試題第三題條件採用矩形梁尺寸為梁寬 $b = 30\ \mathrm{cm}$、梁全深 $h = 60\ \mathrm{cm}$、有效深度 $d = 53\ \mathrm{cm}$。

核心觀念

1. 單筋矩形梁之彎矩強度設計： 依據《混凝土結構設計規範》，斷面極限彎矩設計原則為設計彎矩強度須大於或等於因數化彎矩： $\phi M_n \ge M_u$ 式中 $\phi$ 為強度折減係數。
2. 拉力控制斷面與強度折減係數 $\phi$： 當最外層受拉鋼筋之淨拉應變 $\epsilon_t \ge 0.005$ 時，斷面屬於「拉力控制斷面」，強度折減係數取 $\phi = 0.90$。對於矩形斷面，拉力控制上限的中性軸深度比為 $c / d_t \le 0.375$。
3. 等價矩形應力塊（Whitney 應力塊）： 混凝土壓應力分佈簡化為平均應力 $0.85 f'_c$，應力塊深度為 $a = \beta_1 c$。 當 $f'_c \le 280\ \mathrm{kgf/cm^2}$ 時，$\beta_1 = 0.85$。
4. 最小鋼筋量規定： 為防止構件發生脆性破壞，受彎構件之最小拉力鋼筋量 $A_{s,\min}$ 規定為： $A_{s,\min} = \max\left( \frac{0.8\sqrt{f'_c}}{f_y} b d,\ \frac{14}{f_y} b d \right)$
5. 鋼筋間距與保護層規定： 梁構件之受拉主筋淨距不得小於 $2.5\ \mathrm{cm}$ 且不得小於主筋直徑 $d_b$；梁構件暴露於大氣時之最外層鋼筋保護層厚度一般規定為 $4.0\ \mathrm{cm}$。

解題方法

步驟一：判別梁斷面類型（單筋梁或雙筋梁）

計算斷面在維持拉力控制下（$\epsilon_t = 0.005$，$c = 0.375 d$）之最大設計彎矩強度 $\phi M_{n,\max}$： $c_{\max} = 0.375 d = 0.375 \times 53 = 19.875\ \mathrm{cm}$ $a_{\max} = \beta_1 c_{\max} = 0.85 \times 19.875 = 16.894\ \mathrm{cm}$ $A_{s,\max} = \frac{0.85 f'_c b a_{\max}}{f_y} = \frac{0.85 \times 280 \times 30 \times 16.894}{4200} = 28.72\ \mathrm{cm^2}$ $\phi M_{n,\max} = \phi A_{s,\max} f_y \left( d - \frac{a_{\max}}{2} \right)$ $\phi M_{n,\max} = 0.90 \times 28.72 \times 4200 \times \left( 53 - \frac{16.894}{2} \right) = 4,836,750\ \mathrm{kgf\cdot cm} = 48.37\ \mathrm{tf\cdot m}$ 外力因數化彎矩 $M_u = 20\ \mathrm{tf\cdot m}$，因 $M_u \le \phi M_{n,\max} = 48.37\ \mathrm{tf\cdot m}$，故此梁可設計為「單筋矩形梁」，且斷面受拉控制（取 $\phi = 0.90$）。

步驟二：計算所需拉力鋼筋量 $A_s$

名義彎矩需求： $M_n = \frac{M_u}{\phi} = \frac{20 \times 10^5\ \mathrm{kgf\cdot cm}}{0.90} = 2,222,222\ \mathrm{kgf\cdot cm}$ 依力平衡方程式 $C = T$： $0.85 f'_c b a = A_s f_y \implies a = \frac{A_s f_y}{0.85 f'_c b} = \frac{A_s \times 4200}{0.85 \times 280 \times 30} = \frac{A_s}{1.7} \approx 0.5882 A_s$ 代入彎矩平衡式 $M_n = A_s f_y \left( d - \frac{a}{2} \right)$： $2,222,222 = A_s \times 4200 \times \left( 53 - \frac{0.5882 A_s}{2} \right) = 222,600 A_s - 1,235.29 A_s^2$ 整理得一元二次方程式： $1,235.29 A_s^2 - 222,600 A_s + 2,222,222 = 0 \implies A_s^2 - 180.20 A_s + 1,798.95 = 0$ 解二次方程式取合理根： $A_s = \frac{180.20 - \sqrt{180.20^2 - 4 \times 1,798.95}}{2} = 10.61\ \mathrm{cm^2}$

步驟三：檢核最小鋼筋量 $A_{s,\min}$

$A_{s,\min,1} = \frac{0.8\sqrt{f'_c}}{f_y} b d = \frac{0.8\sqrt{280}}{4200} \times 30 \times 53 = 5.07\ \mathrm{cm^2}$ $A_{s,\min,2} = \frac{14}{f_y} b d = \frac{14}{4200} \times 30 \times 53 = 5.30\ \mathrm{cm^2}$ $A_{s,\min} = \max(5.07,\ 5.30) = 5.30\ \mathrm{cm^2}$

核心觀念

本題旨在測驗考生對混凝土材料「時間依存變形」（Time-dependent deformation）之微觀物理機制及其於鋼筋混凝土（RC）構件宏觀力學行為影響之整合能力。相關規範與理論基礎以命題當年（民國 111 年）內政部頒布之《混凝土結構設計規範》（對應 ACI 318）為準：

1. 潛變（Creep）：

• 定義：混凝土在**持續載重（長期外力）**作用下，隨時間持續增加之應變現象。
• 物理機制：受載重時，水化水泥漿體（C-S-H 膠體）內層間微孔隙水之遷移、吸附水擠出，以及固體骨架在微觀剪應力下的分子滑移與局部微裂縫擴展。

2. 乾縮（Shrinkage）：

• 定義：混凝土在硬化過程與硬化後，無須任何外加載重，純粹因內部水分向外蒸發散失所引起之體積收縮變形。
• 物理機制：內部毛細管水散失產生表面張力（毛細負壓），引發水泥漿體體積收縮；若未受外力約束，僅表現為自由應變。

3. 時間依存之構件行為與規範公式：

• 長期撓度放大效應：長期撓度乘數 $\lambda_\Delta$ 表示為： $\lambda_\Delta = \frac{\xi}{1 + 50\rho'}$ 其中 $\xi$ 為時間依存係數（持續 5 年以上取 2.0），$\rho' = \frac{A_s'}{bd}$ 為受壓鋼筋比。
• 斷面應力重分配、束制拉應力裂縫、預力構件有效預力損失。

解題方法

本題為申論問答題，解題切入點採「雙維度展開架構」：

1. 定義與物理機制辨析：以「外力驅動（潛變）」對比「水分蒸發（乾縮）」，分別闡明其力學本質、時效特性（隨時間遞增但變形速率遞減）與不可逆性。
2. 構件行為影響之層次化剖析：從「局部斷面力學」延伸至「整體構件性能」，分為梁/版受彎構件、柱受壓構件、板牆體系及預力構件四大面向論述。

選項分析（命題面向深入剖析）

本題為非選擇題（申論題），閱卷重點在於觀念的完整度與工程對應性，考生應就以下四個核心面向逐一精確作答：

1. 潛變的本質與關鍵特徵：

• 必須強調「持續外加應力」為觸發條件。
• 應力水準在彈性範圍內（約小於 $0.4\sim0.5 f_c'$）時，潛變應變與應力呈線性正比（線彈性潛變）。卸載時僅有部分彈性與非彈性應變可恢復，大部分潛變為永久不可逆變形。

2. 乾縮的本質與關鍵特徵：

• 必須強調「無外力作用」，主因環境相對濕度低於混凝土內部濕度導致水分蒸發。
• 構件體表比（體積與表面積之比值 $V/S$）越小，乾縮速度與總量越大。

3. 對受彎與受壓構件的直接力學影響：

• 長期撓度顯著增大：梁受壓區混凝土因潛變持續壓縮，加上乾縮受底部拉力鋼筋束制產生非對稱彎曲，使構件長態撓度可達初時彈性撓度的 2 至 3 倍。
• 應力重分配（柱鋼筋超載）：柱中混凝土因潛變與乾縮縮短，使剛度較大且不變形的受壓鋼筋承擔更多軸力，鋼筋應力顯著上升甚至提早降伏，混凝土應力則相對釋放。

4. 耐候性、裂縫與預力之副作用：

• 乾縮拘束裂縫：構件受端部基礎或邊界條件束制時，乾縮受阻引發拉應力，超過混凝土抗拉強度（$f_{ct} \approx 0.56\sqrt{f_c'}$ MPa）即開裂。
• 預力損失：在預力混凝土中，混凝土縱向縮短直接造成預力鋼鍵回彈伸長量減少，引發顯著的長期預力損失。

解題技巧