108 地方特考四等 土木工程 靜力學概要與材料力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查三維力系的平衡，以及纜索只能受拉、其拉力方向沿纜索的性質。球窩支承可提供三個方向的反力分量，但不提供力偶矩。因此使用：

先對 $A$ 點取矩，可消去 $A$ 點的支承反力；求得纜索拉力後，再用力平衡求支承反力。

解題方法

依圖中尺寸取 $A$ 為原點，$x,y,z$ 軸方向依圖示。桿沿 $y$ 軸，因此：

牆面位於 $xz$ 平面；兩錨點距 $z$ 軸各 $6\ \mathrm{m}$，且高度均為 $6\ \mathrm{m}$。依圖示 $x$ 軸方向：

兩條纜索長度相同：

故由 $B$ 指向 $D$、$E$ 的單位向量分別為：

令兩纜索拉力為 $T_{BD}$、$T_{BE}$，則其作用力為 $T_{BD}\mathbf{u}_{BD}$ 與 $T_{BE}\mathbf{u}_{BE}$。

（一）纜索拉力

對 $A$ 點取矩。$B$ 點位置向量為 $\mathbf{r}_B=7\mathbf{j}$，$C$ 點的向下荷重為 $-8.4\mathbf{k}\ \mathrm{kN}$，因此：

由 $\sum\mathbf{M}_A=\mathbf{0}$，分別列出 $x$、$z$ 方向的力矩平衡：

核心觀念

本題考查平面桁架的節點法與整體平衡。桁架各桿件視為二力構件，桿力沿桿件軸線作用；先假設桿件受拉，計算結果為正表示張力，為負表示壓力。

圖示幾何可取各節點座標為 $A(0,0)$、$B(2.25,1)$、$C(3,0)$、$D(4.5,2)$、$E(6,0)$、$G(9,0)$，單位為公尺。計算時使用：

解題方法

先對整座桁架求支承反力，再依序取 $A$、$B$、$C$ 節點列平衡方程式。這個順序能讓每個節點只含兩個未知桿力。

（一）支承反力

$A$ 點為鉸支承，反力為 $A_x、A_y$；$G$ 點為滾支承，反力為 $G_y$。全桁架的水平外力為零，因此：

以 $A$ 點取矩，逆時針為正：

再由鉛直力平衡：

（二）桿件 $BC、BD、CD、CE$ 軸力

先取 $A$ 節點。 $A$ 點向上的反力為 $8\ \mathrm{kN}$，同點向下荷重為 $3\ \mathrm{kN}$，所以節點的淨向上力為 $5\ \mathrm{kN}$。

桿件 $AB$ 的方向比為水平 $2.25$、鉛直 $1$，長度為 $\sqrt{97}/4$，方向餘弦為 $9/\sqrt{97}$、$4/\sqrt{97}$。假設 $AB、AC$ 受拉，列式：

因此 $AB$ 受壓。再由水平平衡：

再取 $B$ 節點。 桿件 $BC$ 的方向餘弦為 $3/5、-4/5$；桿件 $BD$ 的方向餘弦為 $9/\sqrt{97}、4/\sqrt{97}$。

核心觀念

本題考一維軸向變形與位移相容。桿件各段的軸向變形為

其中拉力取正、壓力取負。以圖示常見的命題解讀，視 $Q$ 作用於 $B$ 點；原圖未標出 $Q$ 在 $BC$ 段內的距離，若將其解讀為段內其他位置，計算 $Q$ 還需要該位置尺寸。

解題方法

令向上為正。$AB$ 段受 $P=4\ \mathrm{kN}$ 拉力；$BC$ 段的軸力為 $P-Q$。已知 $A$ 點垂直位移為零，而 $C$ 固定，因此從 $C$ 到 $A$ 的總軸向變形必須為零：

兩段截面積為

長度換成毫米後，$L_{AB}=400\ \mathrm{mm}$、$L_{BC}=500\ \mathrm{mm}$。代入相容條件：

核心觀念

本題考簡支梁的平衡反力，以及剪力圖、彎矩圖的建立。取左端為 $x=0$，向右為正；剪力採正剪力向上，彎矩採正彎矩為下凹（正彎矩）。集中力會使剪力跳躍，集中偶矩會使彎矩跳躍，但不會使剪力跳躍。

由圖示，$T=15\ \mathrm{kN\cdot m}$ 為逆時針偶矩。各位置為：左端荷載 $x=0$、支承 $A$ 在 $x=1$、兩個 $40\ \mathrm{kN}$ 荷載分別在 $x=2$、$3.5$、偶矩作用點 $B$ 在 $x=5$、支承 $C$ 在 $x=6$，右端荷載在 $x=7$，單位均為公尺。

（一）支承反力

設 $A$、$C$ 的向上反力分別為 $R_A$、$R_C$。垂直力平衡：

以 $A$ 點取矩，逆時針為正：

因此

兩支承反力皆向上。

（二）剪力圖與彎矩圖

由左向右累加垂直力，可得剪力：

各跳躍處為：$x=0$ 受 $60\ \mathrm{kN}$ 向下力，剪力由 $0$ 降至 $-60$；$A$ 點反力使剪力由 $-60$ 升至 $+55$；$x=2$、$x=3.5$ 各因 $40\ \mathrm{kN}$ 向下力而依序降至 $+15$、$-25$；$C$ 點反力使剪力升至 $+60$；右端 $x=7$ 的 $60\ \mathrm{kN}$ 向下力使剪力回到 $0$。$B$ 點的偶矩不改變剪力。

由 $dM/dx=V$，且左端彎矩為 $0$，沿梁積分可得：