109 地方特考四等 水利工程 土壤力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題測驗土壤物理性質之「三相圖基本關係（Three-Phase Relationships）」。解題關鍵在於掌握土壤骨架體積、孔隙體積、水與土粒重量之間的定義與代數轉換關係。涉及的核心定義與公式如下：

1. 基本物理量定義：

• 孔隙比（Void Ratio, $e$）：$e = \frac{V_v}{V_s}$（孔隙體積與土粒體積之比）。
• 土粒比重（Specific Gravity of Soil Solids, $G_s$）：$G_s = \frac{\gamma_s}{\gamma_w} = \frac{W_s}{V_s \gamma_w}$。
• 飽和度（Degree of Saturation, $S$）：$S = \frac{V_w}{V_v}$（水體積與孔隙體積之比）。
• 含水量（Water Content, $w$）：$w = \frac{W_w}{W_s} \times 100\%$（水重與土粒乾重之比）。
• 濕單位重／總單位重（Total Unit Weight, $\gamma$）：$\gamma = \frac{W}{V} = \frac{W_s + W_w}{V_s + V_v}$。

2. 核心推導公式：

• 基本恆等式： $S \cdot e = w \cdot G_s$
• 總單位重通式： $\gamma = \frac{G_s + S \cdot e}{1 + e}\gamma_w$ （其中 $\gamma_w$ 為水的單位重，常取 $9.81\text{ kN/m}^3$ 或 $1.0\text{ t/m}^3$ / $1.0\text{ g/cm}^3$）

解題方法

題目敘述「一飽和狀態下土壤之孔隙比 $0.7$，比重 $2.7$」，在土壤力學標準分析中，飽和度改變（如脫水至 $S = 75\%$）但未提及收縮或壓密變形時，視土粒骨架體積維持不變，即孔隙比固定為 $e = 0.7$、土粒比重固定為 $G_s = 2.7$。

步驟一：計算含水量（$w$）

利用土壤基本恆等式 $S \cdot e = w \cdot G_s$： $w = \frac{S \cdot e}{G_s}$

代入已知條件 $S = 75\% = 0.75$、$e = 0.7$、$G_s = 2.7$： $w = \frac{0.75 \times 0.7}{2.7} = \frac{0.525}{2.7} = \frac{7}{36} \approx 0.1944 = 19.44\%$

步驟二：計算單位重（$\gamma$）

利用總單位重公式： $\gamma = \frac{G_s + S \cdot e}{1 + e}\gamma_w$

代入已知數據：

核心觀念

本題考的是垂直有效應力，依有效應力原理：

$\sigma'_v=\sigma_v-u$

其中 $\sigma_v$ 為總垂直應力，$u$ 為孔隙水壓。地下水位以上以土壤單位重計算；地下水位以下，土層每增加一公尺的有效應力，按浮單位重 $\gamma'=\gamma_{\mathrm{sat}}-\gamma_w$ 增加。本題取水的單位重 $\gamma_w=9.81\ \mathrm{kN/m^3}$。

解題方法

由圖可讀出：地表至填土底部為 $5.0\ \mathrm m$；粉土質砂層厚 $3.0\ \mathrm m$，其中地下水位以上 $1.0\ \mathrm m$、以下 $2.0\ \mathrm m$；黏土厚 $12.0\ \mathrm m$。A 點位於黏土層頂面下 $4.8\ \mathrm m$，因此自地表深度為

$z_A=5.0+3.0+4.8=12.8\ \mathrm m$

地下水位在地表下 $6.0\ \mathrm m$。以地下水位以上各層的單位重計算應力，再加上地下水位以下各層的浮單位重：

其中填土單位重為 $19.5\ \mathrm{kN/m^3}$；粉土質砂地下水位以上、以下的單位重分別為 $18.7$、$19.0\ \mathrm{kN/m^3}$；

核心觀念

本題評量太沙基（Terzaghi）單向度壓密理論在工程實務沉陷歷時分析中的應用，主要包含以下核心觀念與公式：

1. 時間因子（Time Factor, $T_v$）： 壓密時間與黏土層厚度、排水邊界及土壤透水性之無因次關係式： $T_v = \frac{c_v \cdot t}{H_{dr}^2}$

• $c_v$：壓密係數（$\mathrm{cm^2/s}$ 或 $\mathrm{m^2/year}$）。
• $t$：壓密經歷時間（$\mathrm{s}$ 或 $\mathrm{year}$）。
• $H_{dr}$：最長排水路徑（Drainage Path Length）。雙向排水時 $H_{dr} = H/2$；單向排水時 $H_{dr} = H$（$H$ 為黏土層總厚度）。

2. 時間因子與平均壓密度（Degree of Consolidation, $U$）之關係：

• 當 $U \le 60\%$（初中期）： $T_v = \frac{\pi}{4}\left(\frac{U\%}{100}\right)^2$ 臨界點 $U = 60\%$ 時，$T_{v, 60\%} = \frac{\pi}{4}(0.6)^2 \approx 0.283$。
• 當 $U > 60\%$（後期）： $T_v = 1.781 - 0.933 \log(100 - U\%)$ （式中 $\log$ 為以 $10$ 為底之常用對數 $\log_{10}$）。

3. 任一時間之壓密沉陷量（Settlement at Time $t$, $S_t$）： $S_t = U \cdot S_f$

• $S_f$：最終主要壓密沉陷量（本題為 $1.2\ \mathrm{m}$）。

解題方法

步驟一：判定排水邊界條件與最長排水路徑 $H_{dr}$

現場為厚度 $12\ \mathrm{m}$ 之黏土層，其頂部為地表面（未鋪設不透水面，屬自由排水邊界），底部為砂土層（透水性遠大於黏土，屬透水邊界）。 因此，本題屬於雙向排水（Double Drainage）： $H_{dr} = \frac{H}{2} = \frac{12\ \mathrm{m}}{2} = 6\ \mathrm{m} = 600\ \mathrm{cm}$

步驟二：統一單位並計算時間因子 $T_v$

• 壓密係數：$c_v = 1 \times 10^{-3}\ \mathrm{cm^2/s}$
• 加載經歷時間： $t = 5\ \text{年} = 5 \times 365 \times 24 \times 3600\ \mathrm{s} = 157{,}680{,}000\ \mathrm{s} = 1.5768 \times 10^8\ \mathrm{s}$
• 代入時間因子公式：

核心觀念

1. 正常壓密土壤（Normally Consolidated Soil, NC）之強度參數： 正常壓密土壤未受過大於現今有效應力的前期預壓，其有效凝聚力截距 $c' = 0$。題目給定莫爾－庫倫（Mohr-Coulomb）破壞包絡線為 $\tau_f = \sigma' \tan 30^\circ$，顯示：

• 有效凝聚力 $c' = 0$
• 有效內摩擦角 $\phi' = 30^\circ$

2. 三軸壓密排水試驗（CD Test）之應力狀態： 在三軸壓密排水試驗中，剪切過程以極慢速率進行並保持排水閥開啟，試體內不產生超額孔隙水壓（$\Delta u = 0$）。因此，剪切破壞時之有效主應力等於總主應力： $\sigma_3' = \sigma_3 = 69\ \mathrm{kPa}$

3. 破壞時主應力關係（Mohr-Coulomb 準則）： 當土樣剪切至破壞時，大有效主應力 $\sigma_1'$ 與小有效主應力 $\sigma_3'$ 符合下列理論關係： $\sigma_1' = \sigma_3' \tan^2\left(45^\circ + \frac{\phi'}{2}\right) + 2c'\tan\left(45^\circ + \frac{\phi'}{2}\right)$ 定義流動值（應力比）$N_\phi = \tan^2\left(45^\circ + \frac{\phi'}{2}\right) = \frac{1 + \sin\phi'}{1 - \sin\phi'}$。

4. 軸差應力（Deviator Stress, $\Delta\sigma_d$）之定義： 三軸試驗加載時，由活塞施加之垂直外加應力即為軸差應力（又稱偏應力）： $\Delta\sigma_d = \sigma_1 - \sigma_3 = \sigma_1' - \sigma_3'$

解題方法

本題為三軸壓密排水試驗（CD 試驗）之數值計算題，求解步驟如下：

第一步：求流動值 $N_\phi$ 將 $\phi' = 30^\circ$ 代入流動值公式： $N_\phi = \tan^2\left(45^\circ + \frac{30^\circ}{2}\right) = \tan^2(60^\circ) = (\sqrt{3})^2 = 3$ 亦可以正弦公式驗算：