111 地方特考四等 水利工程 土壤力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查土壤力學基礎「土壤三相關係（Soil Phase Relations）」，主要運用以下三個核心定義與互換公式：

1. 乾土單位重（Dry Unit Weight, $\gamma_d$）與濕土單位重（Total/Moist Unit Weight, $\gamma_m$）之關係： $\gamma_d = \frac{\gamma_m}{1 + \omega}$ 其中 $\omega$ 為土壤含水量（Water Content）。

2. 乾土單位重與孔隙比（Void Ratio, $e$）之關係： $\gamma_d = \frac{G_s \gamma_w}{1 + e}$ 其中 $G_s$ 為土壤顆粒比重（Specific Gravity），$\gamma_w$ 為水的單位重（常溫下公制標準取值 $\gamma_w = 9.81\ \mathrm{kN/m^3}$）。

3. 三相指標基本恆等式： $S \cdot e = \omega \cdot G_s$ 其中 $S$ 為飽和度（Degree of Saturation）。

解題方法

本題已知條件為：

• 土粒比重 $G_s = 2.7$
• 濕土單位重 $\gamma_m = 20.7\ \mathrm{kN/m^3}$
• 含水量 $\omega = 15\% = 0.15$
• 水的單位重依國考慣例取 $\gamma_w = 9.81\ \mathrm{kN/m^3}$

依邏輯順序逐步推導計算如下：

步驟一：計算乾土單位重 $\gamma_d$

利用濕土單位重與含水量的關係式： $\gamma_d = \frac{\gamma_m}{1 + \omega} = \frac{20.7}{1 + 0.15} = \frac{20.7}{1.15} = 18.0\ \mathrm{kN/m^3}$

步驟二：計算孔隙比 $e$

將 $\gamma_d$ 公式移項求解孔隙比 $e$： $1 + e = \frac{G_s \gamma_w}{\gamma_d}$ $e = \frac{G_s \gamma_w}{\gamma_d} - 1 = \frac{2.7 \times 9.81}{18.0} - 1 = \frac{26.487}{18.0} - 1 = 1.4715 - 1 = 0.4715 \approx 0.472$

核心觀念

本題考查總應力、孔隙水壓與有效應力的關係：

$\sigma'_v=\sigma_v-u$

其中，$\sigma_v$ 為垂直總應力，$u$ 為孔隙水壓，$\sigma'_v$ 為垂直有效應力。開挖會減少覆蓋土重；當承壓含水層的水壓足以抵銷剩餘覆土重量時，黏土底部有效應力降為零，達到隆起或上舉的極限狀態。

解題方法

（一）A 點原有有效應力

A 點位於地表下 $10\ \mathrm{m}$，上方為飽和黏土，因此：

$\sigma_v=10(19.5)=195\ \mathrm{kN/m^2}$

已知砂土層承壓水壓 $u=60\ \mathrm{kN/m^2}$，故：

$\sigma'_v=195-60=\boxed{135\ \mathrm{kN/m^2}}$

（二）容許最大開挖深度

開挖深度為 $H$ 時，A 點上方剩餘黏土厚度為 $10-H$，其覆土總應力為：

$\sigma_v(H)=19.5(10-H)\ \mathrm{kN/m^2}$

核心觀念

直接剪力試驗量得不同正向應力 $\sigma$ 下的破壞剪應力 $\tau$。依摩爾庫倫破壞準則：

將 $\tau$ 對 $\sigma$ 作圖，資料點應近似一條直線；直線截距為凝聚力 $c$，斜率為 $\tan\phi$。

解題方法

將三組試驗資料標在橫軸 $\sigma$、縱軸 $\tau$ 上：

關係圖示意如下：

破壞剪應力 τ（kg/cm²）
1.05 | ●
 | ／
0.71 | ● ／
 | ／
0.35 | ● ／
 | ／
0.00 |●＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 正向應力 σ（kg/cm²）
 0 0.5 1.0 1.5

用首末兩點求直線斜率：

核心觀念

1. 三相比例關係（濕土單位重與乾土單位重之轉換）： 土體由土粒、水與空氣三相組成。乾土單位重（Dry unit weight, $\gamma_d$）代表單位體積中固體土粒的重量，可由總（濕）土單位重 $\gamma_m$ 與含水量 $\omega$ 推導計算： $\gamma_d = \frac{\gamma_m}{1 + \omega}$ 其中含水量 $\omega$ 需以小數形式代入（即 $\omega = 15\% = 0.15$）。

2. 相對夯實度（Relative Compaction, $R_c$）之定義： 現場施工品質管制常以相對夯實度衡量，其定義為「工地現場乾土單位重」與「實驗室標準試驗求得之最大乾土單位重」之百分比： $R_c = \frac{\gamma_{d,\text{field}}}{\gamma_{d\max}} \times 100\%$ 式中：

• $\gamma_{d,\text{field}}$：工地現場夯實後之乾土單位重。
• $\gamma_{d\max}$：實驗室夯實試驗（標準或改良普氏夯實試驗）所得之最大乾土單位重。

3. 施工品質合格判定標準： 將計算所得之工地現場相對夯實度 $R_c$ 與工程施工規範之門檻值進行比對：若 $R_c \ge R_{c,\text{spec}}$，則判定為合格。

解題方法

第一子題：計算現場之相對夯實度（$R_c$）

1. 計算工地現場乾土單位重（$\gamma_{d,\text{field}}$）： 已知現場濕土單位重 $\gamma_m = 20.42\ \mathrm{kN/m^3}$，現場含水量 $\omega = 15\% = 0.15$。 代入乾土單位重公式： $\gamma_{d,\text{field}} = \frac{\gamma_m}{1 + \omega} = \frac{20.42}{1 + 0.15} = \frac{20.42}{1.15} \approx 17.757\ \mathrm{kN/m^3}$

2. 計算現場相對夯實度（$R_c$）： 已知實驗室最大乾土單位重 $\gamma_{d\max} = 18.64\ \mathrm{kN/m^3}$。