111 地方特考四等 水利工程 水文學概要 考古題詳解

核心觀念

1. S 曲線（S-hydrograph）之定義與平衡流量（Equilibrium Discharge, $Q_e$） S 曲線是由無限多個延時為 $D_1$、有效雨量為 $1\ \mathrm{cm}$ 之單位歷線，連續以間隔 $D_1$ 相繼發生並線性疊加而成的累積流況歷線。當時間達到基期（Time of Base, $T_b$）後，整個集水區皆已產生逕流反應，流量趨於穩定，該最大穩定流量即為「平衡流量」（$Q_e$）。 依水量平衡原理，平衡流量為有效降雨強度與集水區面積之乘積： $Q_e = i_e \times A = \frac{P_e}{D_1} \times A$ 式中，$P_e = 1\ \mathrm{cm} = 0.01\ \mathrm{m}$，$D_1 = 1\ \mathrm{hr} = 3600\ \mathrm{s}$。若集水區面積 $A$ 單位為 $\mathrm{km^2}$，平衡流量 $Q_e$ 單位為 $\mathrm{m^3/s}$（$\mathrm{cms}$），其換算關係為： $Q_e = \frac{A \times 10^6\ \mathrm{m^2} \times 0.01\ \mathrm{m}}{3600\ \mathrm{s}} = \frac{A}{0.36} \approx 2.778 \times A \implies A = 0.36 \times Q_e$

2. S 曲線法轉換單位歷線延時 若已知基底延時為 $D_1$ 之 S 曲線 $S(t)$，欲推求延時為 $D_2$、有效雨量為 $1\ \mathrm{cm}$ 之單位歷線 $U_{D_2}(t)$，可將原 S 曲線向後平移 $D_2$ 時間得到 $S(t - D_2)$，兩者相減代表 $D_2$ 時間內降雨強度為 $\frac{1\ \mathrm{cm}}{D_1}$ 所產生的逕流歷線。為調整有效雨量回歸 $1\ \mathrm{cm}$，須乘上降雨強度修正比 $\frac{D_1}{D_2}$： $U_{D_2}(t) = \frac{D_1}{D_2} \left[ S(t) - S(t - D_2) \right]$

3. 線性重疊原理（Linear Superposition Principle） 在單位歷線理論下，集水區系統具備線性比例性與時間不變性。多場連續降雨事件之直接逕流歷線 $Q(t)$，可由各降雨事件之有效雨量乘上對應時差之單位歷線後垂直疊加求得： $Q(t) = \sum_{j=1}^{n} P_{e,j} \times U_{D}(t - (j-1)D)$

解題方法

(一) 推算集水區面積 $A$（平方公里）

由題目給定之 S 曲線數值可知，當時間 $t \ge 7\ \mathrm{hr}$ 時，流量穩定於最大值： $Q_e = 120\ \mathrm{cms}$

已知此 S 曲線由延時 $D_1 = 1\ \mathrm{hr}$、有效雨量 $P_e = 1\ \mathrm{cm}$ 衍生而得，依平衡流量公式： $Q_e = \frac{A \times 10^6 \times 0.01}{3600} = \frac{10000}{3600} A = \frac{A}{0.36}$ 代入 $Q_e = 120\ \mathrm{cms}$： $A = 120 \times 0.36 = 43.2\ \mathrm{km^2}$

(二) 推算兩小時延時、一公分有效雨量之單位歷線

已知原延時 $D_1 = 1\ \mathrm{hr}$，新延時 $D_2 = 2\ \mathrm{hr}$。 轉換公式為： $U_2(t) = \frac{1}{2} \left[ S(t) - S(t - 2) \right] = 0.5 \times \Delta S(t)$

製作轉換計算表如下：

故兩小時單位歷線 $U_2$ 之基期為 $9\ \mathrm{hr}$，尖峰流量為 $27\ \mathrm{cms}$（發生於 $t = 4\ \mathrm{hr}$）。

(三) 推算該場暴雨之尖峰流量

核心觀念

本題考查**曼寧公式（Manning's Formula）與比降—面積法（Slope-Area Method）**推估河川流量之應用原理。

1. 曼寧公式： $Q = \frac{1}{n} A R^{2/3} S_f^{1/2}$ 其中：

• $Q$：河川流量（$\text{cms}$，即 $\text{m}^3/\text{s}$）
• $n$：曼寧糙率係數
• $A$：通水斷面積（$\text{m}^2$）
• $R$：水力半徑（$\text{m}$）
• $S_f$：摩擦坡降（能量坡降），在漸變流與平直河段中通常以水面比降 $S$ 近似

2. 輸水係數（Conveyance, $K$）： 將斷面幾何與粗糙度綜合表示為通水能力係數 $K = \frac{1}{n} A R^{2/3}$，公式可表為： $Q = K \sqrt{S}$ 當中游水位固定且河道斷面無變形時，$A$、$R$ 及 $n$ 均保持不變，即 $K$ 為常數，此時流量與水面比降之平方根成正比： $Q \propto \sqrt{S}$

解題方法

步驟一：分析兩次觀測的水力幾何條件

• 第一次觀測：中游水位 $H_{M1} = 124.80\text{ m}$，推算流量 $Q_1 = 154\text{ cms}$。
• 第二次觀測：中游水位 $H_{M2} = 124.80\text{ m}$。

題旨敘明「河川斷面、水力條件亦無明顯變化」，且中間點兩次觀測的水位高程完全相同（均為 $124.80\text{ m}$），表示中游斷面的通水面積 $A_1 = A_2$、水力半徑 $R_1 = R_2$、曼寧糙率 $n_1 = n_2$。因此兩次觀測的輸水係數相等（$K_1 = K_2$）。

兩次流量之比值完全由水面比降（$S$）之比值決定： $\frac{Q_2}{Q_1} = \sqrt{\frac{S_2}{S_1}}$

步驟二：計算兩次觀測之水面落差與比降

上游與下游測站間的總距離為： $L = 150 + 150 = 300\text{ m}$

1. 第一次觀測之水面落差與比降：

• 上下游總水位落差： $\Delta H_1 = H_{U1} - H_{D1} = 125.31 - 124.10 = 1.21\text{ m}$
• 水面比降：

核心觀念

1. 退水曲線指數衰減公式（Baseflow Recession Curve） 暴雨洪水過後，逕流主要受地下水蓄水層補給支配，其退水歷線遵循指數消退模式（Barnes, 1939）： $Q_t = Q_0 \exp(-kt) = Q_0 e^{-kt}$ 其中 $Q_0$ 為起始流量（$\text{m}^3/\text{s}$，cms），$Q_t$ 為歷時 $t$ 天之流量（cms），$k$ 為退水衰減係數（$\text{day}^{-1}$）。
2. 對數線性轉換 將指數式兩端取自然對數可轉化為線性關係： $\ln Q_t = \ln Q_0 - kt \implies k = \frac{\ln Q_0 - \ln Q_t}{t}$
3. 退水總體積之積分定義（地下水潛在蓄水量） 逕流歷線下方的積分面積代表總逕流體積。自基準時間（$t=0$）起至無限長時間（$t \to \infty$），含水層可能流出的總水體積為： $V = \int_{0}^{\infty} Q_t \, dt = \int_{0}^{\infty} Q_0 e^{-kt} \, dt = \frac{Q_0}{k}$
4. 因次與單位一致性 流量單位為 $\text{m}^3/\text{s}$（cms），而衰減係數 $k$ 通常以 $\text{day}^{-1}$ 表示。在進行體積積分時，時間單位必須統一轉換為秒制（$1 \text{ day} = 86{,}400 \text{ s}$）。

解題方法

(一) 推算衰減係數 $k$（$1/\text{day}$）

1. 定義時間基準點 以退水起始日 10 月 1 日為時間原點 $t = 0 \text{ 天}$，對應流量 $Q_0 = 65 \text{ cms}$。 至 10 月 10 日觀測結束，歷經時間為： $t = 10 - 1 = 9 \text{ 天}$ 對應流量 $Q_9 = 33 \text{ cms}$。

2. 計算衰減係數 $k$ 由指數退水公式： $33 = 65 \cdot e^{-k \times 9}$ 兩邊取自然對數： $-9k = \ln\left(\frac{33}{65}\right) \implies 9k = \ln\left(\frac{65}{33}\right)$ 代入數值計算： $k = \frac{\ln(1.9697)}{9} \approx \frac{0.67788}{9} \approx 0.07532 \text{ day}^{-1}$

說明：若計算相鄰各日遞減率之算術平均值，因連續對數差形成望遠鏡級數（Telescoping sum）： $\bar{k} = \frac{1}{9}\sum_{i=0}^{8}\ln\left(\frac{Q_i}{Q_{i+1}}\right) = \frac{\ln Q_0 - \ln Q_9}{9}$ 其結果與首尾兩端點法完全等價，故取 $k \approx 0.0753 \text{ day}^{-1}$。

(二) 推算 10 月 15 日的流量（cms）

1. 計算歷經天數 10 月 15 日距基準日 10 月 1 日之歷時為： $t = 15 - 1 = 14 \text{ 天}$

2. 代入退水公式計算流量 $Q_{14} = Q_0 e^{-kt} = 65 \cdot \exp(-0.07532 \times 14)$ $Q_{14} = 65 \cdot \exp(-1.0545) \approx 65 \times 0.34836 \approx 22.64 \text{ cms}$

驗算（由 10 月 10 日起算 5 天）： $Q_{15} = Q_9 e^{-k \times 5} = 33 \cdot \exp(-0.07532 \times 5) = 33 \cdot \exp(-0.3766) \approx 33 \times 0.68619 \approx 22.64 \text{ cms}$ 兩種推算路徑結果完全吻合。

(三) 用積分法計算 10 月 1 日之後可能流出的總體積（立方公尺）

核心觀念

本題評量水文學中「降雨損失與有效降雨」的核心計算，涉及以下三項重要觀念與公式：

1. 直接逕流深（Direct Runoff Depth, $R_d$） 直接逕流體積（$V_d$）均勻分佈於整個集水區面積（$A$）所得的水深，亦即有效降雨深（$P_e$）： $R_d = \frac{V_d}{A}$

2. 區間降雨量（時雨量, $\Delta P$）與降雨強度（$i$） 由累積雨量資料求得各時段之增量雨量： $\Delta P_t = P_t - P_{t-1}$ 當時間間隔 $\Delta t = 1\text{ hr}$ 時，時雨量數值即等於該時段之降雨強度（mm/hr）。

3. $\Phi$ 入滲指數（$\Phi$-index） $\Phi$ 指數係假設暴雨期間集水區的平均入滲與截留等消損率維持為一常數 $\Phi$（mm/hr）。只有降雨強度大於 $\Phi$ 的時段才會產生直接逕流，且所有產流時段超額雨量之總和恰等於直接逕流深： $R_d = \sum_{P_i > \Phi \Delta t} (P_i - \Phi \Delta t)$

解題方法

步驟一：計算直接逕流深 $R_d$

已知集水區面積 $A = 50\text{ km}^2 = 50 \times 10^6\text{ m}^2$，直接逕流體積 $V_d = 1,000,000\text{ m}^3 = 10^6\text{ m}^3$： $R_d = \frac{10^6\text{ m}^3}{50 \times 10^6\text{ m}^2} = 0.02\text{ m} = 20\text{ mm}$

步驟二：推求各時段之時雨量

根據觀測累積雨量，計算各 1 小時延時（$\Delta t = 1\text{ hr}$）之降雨量：

總降雨量為 $45\text{ mm}$。

步驟三：判定產流時段（決定有效降雨區間）

將各時段雨量由大至小排序：$13, 9, 8, 6, 3, 3, 2, 1$（mm/hr）。 檢驗不同降雨強度門檻下的超額降雨量：

• 若臨界值取 $\Phi = 6\text{ mm/hr}$，僅前 3 個時段產流：

核心觀念

本題評量**自由含水層（無壓含水層，Unconfined Aquifer）**在達到穩定流（Steady-state flow）時的井流理論與公式推導應用。

1. 基本假設（杜畢假設，Dupuit Assumptions）：

• 地下水流向為以抽水井為中心之輻射水平流（忽略垂直速度分量）。
• 水力坡降（Hydraulic gradient）近似等於水頭變化率 $\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}r}$。
• 具有水平之不透水基盤底層。

2. 杜畢公式（Dupuit-Forchheimer Equation）： 依據達西定律（Darcy's Law）與連續方程式，通過半徑 $r$ 柱狀斷面的流量 $Q$ 為： $Q = A \cdot v = (2\pi r h) \cdot \left( K \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}r} \right)$ 經由分離變數積分： $\int_{r_1}^{r_2} \frac{\mathrm{d}r}{r} = \frac{2\pi K}{Q} \int_{h_1}^{h_2} h\,\mathrm{d}h \implies \ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right) = \frac{\pi K}{Q} (h_2^2 - h_1^2)$ 整理後可得水力傳導係數 $K$ 之計算式： $K = \frac{Q \ln(R_2 / R_1)}{\pi (h_2^2 - h_1^2)}$

3. 影響範圍（Radius of Influence, $R_\infty$）之定義： 抽水所造成的降水漏斗擴展至極限時之半徑稱為影響半徑 $R_\infty$。在 $r = R_\infty$ 處，地下水位洩降 $\Delta h = 0$，亦即水頭高度回復至未抽水前之原始厚度 $h = H = 30\text{ m}$。

解題方法

1. 已知數據整理

• 原始未受擾動之含水層厚度（水頭）：$H = 30\text{ m}$
• 穩定抽水流量：$Q = 0.02\text{ cms} = 0.02\text{ m}^3/\text{s}$
• 觀測井 1：距抽水井 $R_1 = 100\text{ m}$，洩降 $\Delta h_1 = 1.2\text{ m}$ $h_1 = H - \Delta h_1 = 30 - 1.2 = 28.8\text{ m}$
• 觀測井 2：距抽水井 $R_2 = 200\text{ m}$，洩降 $\Delta h_2 = 0.8\text{ m}$ $h_2 = H - \Delta h_2 = 30 - 0.8 = 29.2\text{ m}$

2. 第一小題：推估水力傳導係數 $K$

計算兩觀測井處之水頭平方差： $h_2^2 - h_1^2 = (29.2)^2 - (28.8)^2 = (29.2 - 28.8)(29.2 + 28.8) = (0.4)(58.0) = 23.2\text{ m}^2$

代入自由含水層穩定井流公式： $K = \frac{Q \ln(R_2 / R_1)}{\pi (h_2^2 - h_1^2)}$

代入數值： $K = \frac{0.02 \times \ln(200 / 100)}{\pi \times 23.2} = \frac{0.02 \times \ln(2)}{23.2\pi}$ $K = \frac{0.02 \times 0.69315}{72.8849} \approx 1.902 \times 10^{-4}\text{ m/s}$

3. 第二小題：推估影響範圍 $R_\infty$

當 $r = R_\infty$ 時，水位未受抽水影響，即水頭高度 $h = H = 30\text{ m}$。