110 地方特考四等 水利工程 水文學概要 考古題詳解

（一）入滲 $\Phi$ 指數（$\Phi$ index）

核心觀念

入滲 $\Phi$ 指數是指在一場降雨事件中，假設流域具有一個固定且均勻的降雨損失率 $\Phi$，使得「降雨超過此損失率所形成的有效雨量」恰好等於地表直接逕流深。

降雨損失主要包括入滲、截留、窪蓄及其他初期損失；在水文分析中，$\Phi$ 指數通常將這些損失概化為一個平均入滲率，單位常用 $\mathrm{mm/hr}$。

若降雨強度為 $i(t)$，則有效雨量為

$$P_e=\int_0^T \max[i(t)-\Phi,0]\,dt$$

並令

$$P_e=R_d$$

其中：

• $P_e$：有效雨量深；
• $R_d$：直接逕流深；
• $T$：降雨延時；
• $\Phi$：入滲 $\Phi$ 指數。

解題方法

解題時先由洪水歷線分離基流，取得直接逕流量，再換算為直接逕流深 $R_d$。接著在降雨歷線上假設一條水平線，其高度為 $\Phi$：

• 降雨強度低於 $\Phi$ 的時段，降雨全部視為損失，不產生有效雨量；
• 降雨強度高於 $\Phi$ 的時段，超過 $\Phi$ 的部分視為有效雨量；
• 調整 $\Phi$，使降雨強度曲線高於水平線的面積等於直接逕流深。

若為分段降雨資料，計算式為

$$R_d=\sum_i \max(P_i-\Phi\Delta t_i,0)$$

其中 $P_i$ 為第 $i$ 時段降雨量，$\Delta t_i$ 為時段長度。

解題技巧與常見陷阱

1. $\Phi$ 指數是「率」，不是雨量深，因此單位通常為 $\mathrm{mm/hr}$。
2. 不能將所有降雨量直接減去 $\Phi T$，因為降雨強度低於 $\Phi$ 的時段不會產生負的有效雨量。
3. 若題目給的是總逕流量，必須先扣除基流，才能與有效雨量相對應。
4. $\Phi$ 指數是暴雨事件的平均化參數，不等同於土壤在每一瞬間的實際入滲能力；實際入滲能力通常會隨時間降低。

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（二）河川密度（Stream density）

核心觀念

河川密度又稱排水密度（Drainage density），係指一個集水區內所有河川或排水渠道的總長度，除以該集水區面積，表示單位面積內所具有的河網長度。

其定義為

$$D_d=\frac{L}{A}$$

其中：

• $D_d$：河川密度；
• $L$：集水區內各級河川總長度；
• $A$：集水區面積。

常用單位為 $\mathrm{km/km^2}$ 或 $\mathrm{m/m^2}$。

解題方法

計算河川密度時，應將集水區內一、二、三級等各級河川的長度全部加總，再除以流域面積：

$$L=L_1+L_2+L_3+\cdots$$

因此

$$D_d=\frac{L_1+L_2+L_3+\cdots}{A}$$

河川密度較大的流域，通常具有較密集的河網，地表逕流較容易集中至河道，洪水集中時間較短，洪峰反應較快。河川密度較小則表示河網較疏，水流集中路徑較長，逕流集中速度通常較慢。

解題技巧與常見陷阱

1. 分子是「河川總長度」，不是河川條數。
2. 「河川密度」不可與「河川頻率」混淆。河川頻率通常定義為單位面積內的河川條數：

$$F_s=\frac{N}{A}$$

其中 $N$ 為河川條數。 3. 河川密度受到地形坡度、地質、土壤滲透性、植被及降雨特性影響：

• 不透水地質、坡度大、植被少，河川密度通常較大；
• 透水性高、地形平緩、植被茂密，河川密度通常較小。

4. 量綱驗算為長度除以面積，因此結果仍具有「每單位面積長度」的意義。

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（三）基流量（Base flow）

核心觀念

基流量是指在無降雨期間，仍持續供給河川的流量，主要來源為地下水出流，也包括土壤中延遲排出的壤中流、湖泊或沼澤蓄水出流，以及其他具有延遲特性的流域蓄水出流。

核心觀念

$T=5$ 年重現期表示該洪水在單一年內發生（超越）的機率為

$$p=\frac{1}{T}=\frac{1}{5}$$

因此，單一年內不發生的機率為

$$q=1-p=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$$

本題採用各年度事件彼此獨立、年發生機率固定的重現期模型。

解題方法

一、未來 $20$ 年皆不發生

每一年不發生的機率為 $\frac{4}{5}$。連續 $20$ 年皆不發生，須將各年度不發生機率相乘：

$$P(\text{20年皆不發生}) =\left(\frac{4}{5}\right)^{20}$$

計算得

$$\left(\frac{4}{5}\right)^{20} \approx 0.011529$$

因此機率約為

$$1.1529\%$$

二、未來 $25$ 年會發生

「未來 $25$ 年會發生」是指至少發生一次，其相反事件為「$25$ 年皆不發生」。因此使用補事件：

$$P(\text{25年至少發生一次}) =1-P(\text{25年皆不發生})$$

而

$$P(\text{25年皆不發生}) =\left(\frac{4}{5}\right)^{25}$$

所以

核心觀念

本題考查「S 曲線法」轉換不同延時單位歷線。

設已知 $D_1=3$ 小時單位歷線為 $U_3(t)$，欲求 $D_2=2$ 小時單位歷線 $U_2(t)$。

3 小時單位歷線所形成的 S 曲線為

$$S(t)=U_3(t)+U_3(t-3)+U_3(t-6)+\cdots$$

兩條相差 $2$ 小時的 S 曲線，其差值代表持續 $2$ 小時有效降雨所產生的洪水歷線。由於該差值所對應的有效降雨量僅為原單位降雨量的 $\frac{2}{3}$，因此須乘上比例係數：

$$U_2(t)=\frac{3}{2}\left[S(t)-S(t-2)\right]$$

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解題方法

已知 3 小時單位歷線如下：

$t$（hr）	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
$U_3(t)$	0	75	180	280	220	220	140	60	30	15	5	0

依照 $3$ 小時延遲逐項相加：

$$S(t)=U_3(t)+U_3(t-3)+U_3(t-6)+\cdots$$

例如：

$$S(7)=U_3(7)+U_3(4)+U_3(1) =60+220+75=355$$ $$S(10)=U_3(10)+U_3(7)+U_3(4)+U_3(1) =5+60+220+75=360$$

所得 S 曲線如下：

$t$（hr）	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
$S(t)$	0	75	180	280	295	400	420	355	430	435	360	430	435	360	430

接著計算相差 $2$ 小時之 S 曲線差值：

$$\Delta S_2(t)=S(t)-S(t-2)$$

再乘以 $\frac{3}{2}$：

$$U_2(t)=\frac{3}{2}\Delta S_2(t)$$

計算結果如下：

| $t$（hr） | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |

核心觀念

Muskingum 法是河道洪水演算（streamflow routing）中，利用「連續方程」與「蓄量—流量關係」推導出的集總式演算方法。其基本假設是：河段蓄水量 $S$，可由入流量 $I$ 與出流量 $O$ 的線性組合表示：

$$S=K\left[XI+(1-X)O\right]$$

其中：

• $S$：河段蓄水量；
• $I$：入流量；
• $O$：出流量；
• $K$：蓄流時間常數，單位為時間；
• $X$：入流量與出流量對蓄水量的權重係數，無因次。

本題重點在於：

1. 由連續方程推導 Muskingum 演算公式；
2. 說明參數 $K$、$X$ 的物理意義與實務決定方法。

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解題方法一：建立基本方程式

河段的質量守恆，即連續方程為：

$$\frac{dS}{dt}=I-O$$

Muskingum 法另假設蓄水量與入、出流量呈線性關係：

$$S=K\left[XI+(1-X)O\right]$$

在時間 $t$ 與 $t+\Delta t$ 分別表示為：

$$S_t=K\left[XI_t+(1-X)O_t\right]$$ $$S_{t+\Delta t} =K\left[XI_{t+\Delta t}+(1-X)O_{t+\Delta t}\right]$$

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解題方法二：對連續方程進行時間積分

在一個演算時間間隔 $\Delta t$ 內，採用梯形法近似入、出流量：

$$S_{t+\Delta t}-S_t = \frac{\Delta t}{2} \left[ I_t+I_{t+\Delta t} -O_t-O_{t+\Delta t} \right]$$

將蓄量關係代入左側：

$$\begin{aligned} &S_{t+\Delta t}-S_t\\ ={}&KX\left(I_{t+\Delta t}-I_t\right) +K(1-X)\left(O_{t+\Delta t}-O_t\right) \end{aligned}$$

因此：

$$\begin{aligned} &KX(I_{t+\Delta t}-I_t) +K(1-X)(O_{t+\Delta t}-O_t)\\ ={}&\frac{\Delta t}{2} \left[ I_t+I_{t+\Delta t} -O_t-O_{t+\Delta t} \right] \end{aligned}$$

整理含有未知出流量 $O_{t+\Delta t}$ 的項：

$$\begin{aligned} \left[K(1-X)+\frac{\Delta t}{2}\right]O_{t+\Delta t} ={}& \left[\frac{\Delta t}{2}+KX\right]I_{t+\Delta t}\\ &+\left[\frac{\Delta t}{2}-KX\right]I_t\\ &+\left[K(1-X)-\frac{\Delta t}{2}\right]O_t \end{aligned}$$

故 Muskingum 演算方程式為：

$$O_{t+\Delta t} =C_0 I_{t+\Delta t} +C_1 I_t +C_2 O_t$$

其中：

$$C_0= \frac{\frac{\Delta t}{2}+KX} {K(1-X)+\frac{\Delta t}{2}}$$ $$C_1= \frac{\frac{\Delta t}{2}-KX} {K(1-X)+\frac{\Delta t}{2}}$$ $$C_2= \frac{K(1-X)-\frac{\Delta t}{2}} {K(1-X)+\frac{\Delta t}{2}}$$

因此，已知目前時間的入流量 $I_t$、下一時間的入流量 $I_{t+\Delta t}$，以及目前時間的出流量 $O_t$，即可計算下一時間的出流量 $O_{t+\Delta t}$。

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係數的基本檢核

三個演算係數之和應為 1：

$$C_0+C_1+C_2=1$$

此性質可確保在流量為定值時，演算結果仍維持相同流量，亦可作為推導後的快速驗算方法。

為使演算係數通常保持非負，常採用下列時間間隔條件：

$$2KX\leq \Delta t\leq 2K(1-X)$$

若時間間隔選擇不當，可能造成係數為負，導致演算結果產生不合理的振盪或數值誤差。

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參數 $K$ 的意義與決定方法

$K$ 是 Muskingum 蓄量關係中的時間尺度，具有時間單位，代表洪水波通過河段所需的特徵時間。其物理意義通常接近洪峰傳遞時間、河段滯洪時間或流量波的平均傳遞時間。

實務上可依下列方法決定：

1. 依洪水波傳遞時間估計

由觀測入流與出流歷線，估計洪水波、洪峰或特定流量通過河段的時間差，作為 $K$ 的初估值：

$$K\approx \text{洪水波通過河段的特徵時間}$$

核心觀念

本題考查河川流量量測中的「垂線平均流速」估算方法。河川斷面測流時，通常將水面至河床的水深分成若干垂線，在各垂線上量測流速，再估算該垂線的平均流速。

當水深大於約 $0.6\text{ m}$ 時，常採用「兩點法」（two-point method）：

• 水面下 $0.2D$ 處量測流速，記為 $v_{0.2}$；
• 水面下 $0.8D$ 處量測流速，記為 $v_{0.8}$；

其中 $D$ 為該垂線的水深。垂線平均流速以兩點流速的算術平均估計：

$$\bar{v}=\frac{v_{0.2}+v_{0.8}}{2}$$

兩點位置均由水面向下量測。若以河床為基準，兩點位置分別為距河床 $0.8D$ 與 $0.2D$。

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解題方法

一、確定兩點位置

設某測流垂線水深為 $D$，則：

$$z_{0.2}=0.2D$$ $$z_{0.8}=0.8D$$

其中 $z$ 表示自水面向下的深度。

例如水深為 $2.0\text{ m}$ 時：

$$z_{0.2}=0.2(2.0)=0.4\text{ m}$$ $$z_{0.8}=0.8(2.0)=1.6\text{ m}$$

因此應在水面下 $0.4\text{ m}$ 與 $1.6\text{ m}$ 處量測流速。

二、計算垂線平均流速

量得兩點流速後，直接取算術平均：

$$\bar{v}=\frac{v_{0.2}+v_{0.8}}{2}$$

例如：

$$v_{0.2}=1.20\text{ m/s},\qquad v_{0.8}=0.80\text{ m/s}$$

則：

$$\bar{v} =\frac{1.20+0.80}{2} =1.00\text{ m/s}$$

此 $\bar{v}$ 即作為該垂線的平均流速，後續可配合該垂線所代表的面積計算流量。

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為何兩點平均可以代表垂線平均流速

一、河川垂線上的流速並非均勻分布

河川水流受河床摩擦、黏滯作用及水面邊界條件影響，流速沿水深方向通常具有下列特性：

• 靠近水面時，流速通常較大；
• 靠近河床時，受河床摩擦影響，流速逐漸減小；
• 河床附近流速接近零；
• 最大流速通常位於水面下方，而非恰好在水面。

因此，單一深度的流速不能在所有情況下精確代表整條垂線的平均流速。

二、$0.2D$ 與 $0.8D$ 兩點具有代表性

在一般河川流況下，垂線流速剖面由水面至河床呈平滑變化。位於水面下 $0.2D$ 的流速通常偏大，位於水面下 $0.8D$ 的流速通常偏小。

兩點分別位於垂線上、下部，對流速分布具有互補效果。將兩者平均後，可抵銷單點流速偏大或偏小的影響，使結果接近整條垂線的深度平均流速。