110 地方特考四等 水利工程 流體力學概要 考古題詳解

110 年・地方特考・四等・水利工程
試題代碼 流體力學概要

第 一 題20 分

【題組共用題幹】 下列各題中：水的密度 1000 kg/m31000\text{ kg/m}^3，運動黏滯係數 1.0×10−6 m2/s1.0\times 10^{-6}\text{ m}^2/\text{s}。空氣的密度 1.20 kg/m31.20\text{ kg/m}^3，運動黏滯係數 1.55×10−5 m2/s1.55\times 10^{-5}\text{ m}^2/\text{s}。

一條河流的水深為 H=4.0 mH=4.0\text{ m}，水平向流速之垂向分布（y-diry\text{-dir}）為： u(y)=Uo(yH)1/7u(y)=U_o\left(\frac{y}{H}\right)^{1/7} 流速 Uo=3.0 m/sU_o=3.0\text{ m/s}。河道中有一個圓柱形橋墩（直徑 2.0 m2.0\text{ m}），圓柱體的阻力係數為 1.101.10。試求： (一) 橋墩所受的水流衝擊力？（10分） (二) 橋墩基礎所受的總力矩？（10分）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查圓柱形橋墩受水流作用之阻力，以及非均勻垂向流速分布下的積分計算。

圓柱體微小水平帶狀面積為

dA=D dydA=D\,dy

局部水流阻力公式為

dF=12ρCDu(y)2 dAdF=\frac{1}{2}\rho C_D u(y)^2\,dA

其中：

  • ρ=1000 kg/m3\rho=1000\ \text{kg/m}^3
  • CD=1.10C_D=1.10
  • D=2.0 mD=2.0\ \text{m}
  • u(y)=Uo(yH)1/7u(y)=U_o\left(\dfrac{y}{H}\right)^{1/7}
  • Uo=3.0 m/sU_o=3.0\ \text{m/s}
  • H=4.0 mH=4.0\ \text{m}

由於題目已給定阻力係數 CDC_D，水與空氣的黏滯係數不需另行使用。

解題方法

取河床為 y=0y=0，水面為 y=Hy=H。將橋墩沿水深方向切成許多微小水平帶，分別計算各帶所受阻力，再對全水深積分。

假設橋墩完全浸沒，且阻力係數在各高度皆為常數，忽略自由液面及河床附近的局部效應。

（一）橋墩所受的水流衝擊力

微小帶狀面積為

dA=D dydA=D\,dy

因此微小阻力為

dF=12ρCDu(y)2D dydF=\frac{1}{2}\rho C_D u(y)^2D\,dy

代入速度分布：

u(y)2=Uo2(yH)2/7u(y)^2 = U_o^2\left(\frac{y}{H}\right)^{2/7}

全橋墩所受總阻力為

F=12ρCDDUo2∫0H(yH)2/7dyF = \frac{1}{2}\rho C_DDU_o^2 \int_0^H \left(\frac{y}{H}\right)^{2/7}dy

令 x=y/Hx=y/H，則

dy=H dxdy=H\,dx

所以

∫0H(yH)2/7dy=H∫01x2/7dx\int_0^H \left(\frac{y}{H}\right)^{2/7}dy = H\int_0^1x^{2/7}dx

而

∫01x2/7dx=[x9/79/7]01=79\int_0^1x^{2/7}dx = \left[\frac{x^{9/7}}{9/7}\right]_0^1 = \frac{7}{9}

故

F=12ρCDDUo2H(79)F = \frac{1}{2}\rho C_DDU_o^2H\left(\frac{7}{9}\right)

代入數值：

F=12(1000)(1.10)(2.0)(3.0)2(4.0)(79)F = \frac{1}{2}(1000)(1.10)(2.0)(3.0)^2(4.0) \left(\frac{7}{9}\right) F=3.08×104 N\boxed{F=3.08\times10^4\ \text{N}}

因此橋墩所受水流衝擊力為

F=30.8 kN\boxed{F=30.8\ \text{kN}}

方向為水流方向。

（二）橋墩基礎所受的總力矩

以橋墩基礎位置，即河床 y=0y=0，作為力矩中心。高度 yy 處的微小阻力對基礎產生的微小力矩為

dM=y dFdM=y\,dF

因此總力矩為

M=∫0Hy dFM = \int_0^H y\,dF

代入 dFdF：

M=12ρCDDUo2∫0Hy(yH)2/7dyM = \frac{1}{2}\rho C_DDU_o^2 \int_0^H y\left(\frac{y}{H}\right)^{2/7}dy

整理積分式：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 二 題20 分

【題組共用題幹】 下列各題中：水的密度 1000 kg/m31000\text{ kg/m}^3，運動黏滯係數 1.0×10−6 m2/s1.0\times 10^{-6}\text{ m}^2/\text{s}。空氣的密度 1.20 kg/m31.20\text{ kg/m}^3，運動黏滯係數 1.55×10−5 m2/s1.55\times 10^{-5}\text{ m}^2/\text{s}。

一個大型蓄水池的水面位於高程 50 m50\text{ m} 處，池底接一條長度 100 m100\text{ m} 的圓管，管線出水口的高程為 30 m30\text{ m}。光滑圓管的摩擦係數為： f=0.317Re1/4f=\frac{0.317}{Re^{1/4}} ReRe 為雷諾數。管線可選擇採用直徑 8 cm8\text{ cm} 或 9 cm9\text{ cm} 光滑圓管，試問那一條管的流量較大？（5分）其流量各為何？（15分）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查大型蓄水池至管線出口間的能量方程式、圓管摩擦損失、雷諾數與光滑管摩擦係數。

由於蓄水池很大，水面流速可視為 00；水面與出水口均與大氣相通，壓力水頭相同；題目未提供局部損失係數，因此只計算沿程摩擦損失。

使用達西–魏斯巴赫公式：

hf=fLDV22gh_f=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}

其中：

  • hfh_f：沿程摩擦損失
  • ff：達西摩擦係數
  • LL：管長
  • DD：管徑
  • VV：管內平均流速

光滑圓管摩擦係數為：

f=0.317Re1/4f=\frac{0.317}{Re^{1/4}}

雷諾數為：

Re=VDνRe=\frac{VD}{\nu}

流量則為：

Q=AV=πD24VQ=AV=\frac{\pi D^2}{4}V

解題方法

取蓄水池水面為點 11，管線出口為點 22，套用能量方程式：

z1+p1γ+V122g=z2+p2γ+V22g+hfz_1+\frac{p_1}{\gamma}+\frac{V_1^2}{2g} = z_2+\frac{p_2}{\gamma}+\frac{V^2}{2g}+h_f

因為：

p1=p2,V1≈0p_1=p_2,\qquad V_1\approx 0

故：

z1−z2=(1+fLD)V22gz_1-z_2=\left(1+f\frac{L}{D}\right)\frac{V^2}{2g}

高程差為：

Δz=50−30=20 m\Delta z=50-30=20\text{ m}

因此：

20=(1+f100D)V22(9.81)20=\left(1+f\frac{100}{D}\right)\frac{V^2}{2(9.81)}

即：

20=(1+f100D)V219.6220=\left(1+f\frac{100}{D}\right)\frac{V^2}{19.62}

由於 ff 又與 VV 有關，需配合

f=0.317(VD/ν)1/4f=\frac{0.317}{\left(VD/\nu\right)^{1/4}}

聯立求解。

一、直徑 8 cm8\text{ cm} 管線

1. 求平均流速

管徑：

D=0.08 mD=0.08\text{ m}

雷諾數：

Re=V(0.08)1.0×10−6=80000VRe=\frac{V(0.08)}{1.0\times10^{-6}} =80000V

摩擦係數：

f=0.317(80000V)1/4f=\frac{0.317}{(80000V)^{1/4}}

代入能量方程式：

20=(1+f1000.08)V219.6220= \left(1+f\frac{100}{0.08}\right)\frac{V^2}{19.62}

迭代求得：

V≈13.25 m/sV\approx 13.25\text{ m/s}

此時：

Re=80000(13.25)≈1.06×106Re=80000(13.25) \approx 1.06\times10^6 f=0.317(1.06×106)1/4≈0.00988f=\frac{0.317}{(1.06\times10^6)^{1/4}} \approx 0.00988

驗算：

(1+0.009881000.08)(13.25)219.62≈20.0 m\left(1+0.00988\frac{100}{0.08}\right) \frac{(13.25)^2}{19.62} \approx 20.0\text{ m}

2. 求流量

管截面積：

A=π(0.08)24=0.0050265 m2A=\frac{\pi(0.08)^2}{4} =0.0050265\text{ m}^2

因此：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 三 題20 分

【題組共用題幹】 下列各題中：水的密度 1000 kg/m31000\text{ kg/m}^3，運動黏滯係數 1.0×10−6 m2/s1.0\times 10^{-6}\text{ m}^2/\text{s}。空氣的密度 1.20 kg/m31.20\text{ kg/m}^3，運動黏滯係數 1.55×10−5 m2/s1.55\times 10^{-5}\text{ m}^2/\text{s}。

一個噴嘴的設計如下圖，噴嘴直徑 0.08 m0.08\text{ m}，水噴出後與空氣接觸。後端管線直徑 0.2 m0.2\text{ m}，壓力 P1=50 kPaP_1=50\text{ kPa}，流量 Q1=0.06 m3/sQ_1=0.06\text{ m}^3/\text{s}。重力在 zz 方向，試求此段管線在 xx 和 yy 方向所受之力及其方向？（20分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題利用定常流動的線性動量方程式，對噴嘴及彎曲管線內的水取控制體積，計算水流速度方向與大小改變所造成的作用力。

採用表壓計算，因為噴嘴出口與空氣接觸，出口壓力為大氣壓；若題目所給 P1=50 kPaP_1=50\text{ kPa} 視為絕對壓力，則應將其換成表壓 P1−PatmP_1-P_{\mathrm{atm}}。

由圖可知：

  • xx 軸向右；
  • 水由右向左流動，因此入口、出口速度皆為 −x-x 方向；
  • 重力在 zz 方向，故在 xx、yy 方向沒有重力項；
  • 流量穩定，且不可壓縮，因此 Q1=Q2=0.06 m3/sQ_1=Q_2=0.06\text{ m}^3/\text{s}。

解題方法

1. 計算入口與出口流速

入口管徑：

D1=0.2 mD_1=0.2\text{ m} A1=πD124=π(0.2)24=0.031416 m2A_1=\frac{\pi D_1^2}{4} =\frac{\pi(0.2)^2}{4} =0.031416\text{ m}^2

因此入口速度為

V1=QA1=0.060.031416=1.910 m/sV_1=\frac{Q}{A_1} =\frac{0.06}{0.031416} =1.910\text{ m/s}

方向向左，所以

V⃗1=−1.910 i\vec V_1=-1.910\,\boldsymbol{i}

噴嘴出口直徑：

D2=0.08 mD_2=0.08\text{ m} A2=πD224=π(0.08)24=0.005027 m2A_2=\frac{\pi D_2^2}{4} =\frac{\pi(0.08)^2}{4} =0.005027\text{ m}^2

出口速度為

V2=QA2=0.060.005027=11.94 m/sV_2=\frac{Q}{A_2} =\frac{0.06}{0.005027} =11.94\text{ m/s}

方向同樣向左，因此

V⃗2=−11.94 i\vec V_2=-11.94\,\boldsymbol{i}

水的質量流率為

m˙=ρQ=1000(0.06)=60 kg/s\dot m=\rho Q =1000(0.06) =60\text{ kg/s}

2. 對水流使用線性動量方程式

令 R⃗\vec R 為管壁及噴嘴對水流所施之力。

定常流動下：

∑F⃗=m˙(V⃗2−V⃗1)\sum \vec F = \dot m(\vec V_2-\vec V_1)
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 四 題20 分

【題組共用題幹】 下列各題中：水的密度 1000 kg/m31000\text{ kg/m}^3，運動黏滯係數 1.0×10−6 m2/s1.0\times 10^{-6}\text{ m}^2/\text{s}。空氣的密度 1.20 kg/m31.20\text{ kg/m}^3，運動黏滯係數 1.55×10−5 m2/s1.55\times 10^{-5}\text{ m}^2/\text{s}。

一個矩形滯洪池（長度 6.0 m6.0\text{ m}，寬度 6.0 m6.0\text{ m}，高度 3.0 m3.0\text{ m}）如下圖。在靠近池底 0.3 m0.3\text{ m} 處設置一方形斷面之孔口堰（高度、寬度 0.4 m0.4\text{ m}），孔口堰的流量係數為 0.650.65。暴雨來時，滯洪池中水深達 2.5 m2.5\text{ m}。若無入流，試問多久之後水深會降至離底部 0.70 m0.70\text{ m} 處？（20分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查滯洪池放水時的非定常流量。由於水深逐漸降低，孔口水頭與流量均隨時間改變，須結合：

  1. 孔口出流公式 Q=CdAo2gHQ=C_d A_o\sqrt{2gH}

  2. 連續方程式 ATdzdt=−QA_T\frac{dz}{dt}=-Q

其中：

  • 滯洪池水平面積：AT=6×6=36 m2A_T=6\times6=36\text{ m}^2
  • 方形孔口面積：Ao=0.4×0.4=0.16 m2A_o=0.4\times0.4=0.16\text{ m}^2
  • 流量係數：Cd=0.65C_d=0.65
  • 孔口底部高程為 0.3 m0.3\text{ m}，孔口高度為 0.4 m0.4\text{ m}
  • 孔口中心高程：

zc=0.3+0.42=0.5 mz_c=0.3+\frac{0.4}{2}=0.5\text{ m}

因此，水面高程為 zz 時，孔口中心至水面的水頭為：

H=z−0.5H=z-0.5

解題方法

以水面距池底高度 zz 為變數。孔口流量為：

Q=0.65(0.16)2(9.81)(z−0.5)Q=0.65(0.16)\sqrt{2(9.81)(z-0.5)}

由連續方程式：

36dzdt=−0.65(0.16)2(9.81)(z−0.5)36\frac{dz}{dt}=-0.65(0.16)\sqrt{2(9.81)(z-0.5)}

整理得：

dt=−360.65(0.16)2(9.81)dzz−0.5dt=-\frac{36}{0.65(0.16)\sqrt{2(9.81)}}\frac{dz}{\sqrt{z-0.5}}

初始水深為 2.5 m2.5\text{ m}，最後水深為 0.70 m0.70\text{ m}，故放水時間為：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 五 題20 分

【題組共用題幹】 下列各題中：水的密度 1000 kg/m31000\text{ kg/m}^3，運動黏滯係數 1.0×10−6 m2/s1.0\times 10^{-6}\text{ m}^2/\text{s}。空氣的密度 1.20 kg/m31.20\text{ kg/m}^3，運動黏滯係數 1.55×10−5 m2/s1.55\times 10^{-5}\text{ m}^2/\text{s}。

一個水箱水平向的斷面積為 1.0 m21.0\text{ m}^2，水箱底部裝有輪子，內部水深為 2.0 m2.0\text{ m}，如下圖。水箱底部壁面有一小孔，斷面積為 0.01 m20.01\text{ m}^2，流量係數為 0.650.65。當小孔開口突然打開，忽略輪子、空水箱的質量，以及輪子與地面之間的摩擦阻力，求水箱移動的加速度？（20分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查小孔出流的流量公式、射流動量所造成的反作用力，以及牛頓第二定律。

水箱本身與輪子質量忽略，因此水箱的運動質量只取箱內的水：

m=ρAhm=\rho Ah

小孔流量為

Q=Cda2ghQ=C_d a\sqrt{2gh}

其中：

  • Cd=0.65C_d=0.65：流量係數
  • a=0.01 m2a=0.01\ \text{m}^2：小孔面積
  • A=1.0 m2A=1.0\ \text{m}^2：水箱水平斷面積
  • h=2.0 mh=2.0\ \text{m}：水深

射流速度取為

V=Cd2ghV=C_d\sqrt{2gh}

水流向外噴出時，水箱受到反向的動量反作用力。

解題方法

以水箱及箱內水作為運動系統。小孔出流造成的質量流率為

m˙=ρQ\dot m=\rho Q

射流的動量流率為

F=m˙V=ρQVF=\dot m V=\rho QV

代入 QQ 與 VV：

F=ρ(Cda2gh)(Cd2gh)F=\rho\left(C_da\sqrt{2gh}\right) \left(C_d\sqrt{2gh}\right)

因此

F=2ρCd2aghF=2\rho C_d^2 agh

箱內水的質量為

m=ρAhm=\rho Ah

依牛頓第二定律：

atank=Fma_{\text{tank}}=\frac{F}{m}

故

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

水利工程《流體力學概要》其他年度

113111109