113 地方特考四等 水利工程 流體力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查蓄水池孔口出流的流量計算，使用孔口流量公式：

其中：

• $Q$：排水流量，單位為 $\mathrm{m^3/s}$
• $C_d=0.65$：流量係數
• $A$：圓形出水口面積
• $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$：重力加速度
• $h=2.0\ \mathrm{m}$：水面至出水口圓心的水頭差

因蓄水池面積遠大於出水口面積，水面下降速度可忽略；水面與出水口均為大氣壓，因此壓力差相互抵消。

解題方法

出水口直徑為 $d=0.3\ \mathrm{m}$，其面積為：

孔口中心距離水面 $2.0\ \mathrm{m}$，故：

代入孔口流量公式：

核心觀念

本題利用泵浦能量方程式，將抽水機的有效水力功率轉換為水流克服高程差、沿程摩擦損失及出口速度水頭所需的能量。

泵浦有效功率為

其中 $P=100\ \mathrm{W}$、$\eta=0.7$，故

管內沿程水頭損失採 Darcy–Weisbach 公式：

解題方法

由圖可知，農田端管口約高於河流水面 $2.0\ \mathrm{m}$。河流水面與管口均為大氣壓，河流水面流速可視為零。出口為自由射流，因此需計入出口速度水頭。

能量方程式為

代入沿程損失：

已知

所以

管截面積為

流量為

泵浦有效功率關係式：

因此

核心觀念

本題考查因次分析及水力機械的功率相似律。

功率係數定義為

其中：

• $P$：發電功率，單位 $M L^2T^{-3}$
• $\rho$：水的密度，單位 $M L^{-3}$
• $\omega$：轉速，單位 $T^{-1}$
• $D$：發電機直徑，單位 $L$

因為

與功率的因次相同，因此

為無因次功率係數。

（一）求功率係數

水的密度取

模型資料為

因此

又

所以

故模型的無因次功率係數為

（二）求實體發電功率

模型與實體使用相同流體，且視為具有相同功率係數，因此

水的密度相同，可得

核心觀念

本題考查浮力、重力、流體阻力與繫繩平衡。矩形浮台受力包括：

1. 浮力：$F_B=\rho gV_{\text{排}}$
2. 浮台重量：$W=\rho_{\text{物體}}gV$
3. 水流阻力：$F_D=\dfrac{1}{2}C_D\rho U^2A$
4. 繫繩張力：$T$，方向如圖，與河床水平線夾角為 $\theta$。

取水的密度 $\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3}$、$g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$。

解題方法

一、計算浮力

浮台浸沒深度為 $0.9\ \mathrm{m}$，排水體積為

因此浮力為

二、計算浮台重量

浮台比重為 $0.8$，故其密度為

浮台總體積為

浮台重量為

浮力扣除重量後，繫繩必須提供向下的垂直分力：

三、計算水流阻力

水流方向水平，阻力投影面積為浮台迎水面的浸水面積：

水流阻力為

核心觀念

本題為非矩形明渠均勻流，使用：

1. 曼寧公式 $Q=\frac{1}{n}AR^{2/3}S^{1/2}$

2. 水力半徑 $R=\frac{A}{P}$

3. 福祿數 $Fr=\frac{V}{\sqrt{gD}}$

其中：

• $A$：過水斷面積
• $P$：濕周
• $R$：水力半徑
• $V=Q/A$：平均流速
• $D=A/T$：水力深度
• $T$：水面寬度

圖中左側為垂直坡面，右側坡面與水平底部夾角為 $60^\circ$。

解題方法

1. 求過水斷面積 $A$

水深：

$y=0.5\ \mathrm{m}$

右側坡面之水平寬度為：

因此，過水斷面為矩形加上右側三角形：

$A=by+\frac{1}{2}b_r y$

代入 $b=1.0\ \mathrm{m}$：

$A=(1.0)(0.5)+\frac{1}{2}(0.2887)(0.5)$

$A=0.5722\ \mathrm{m^2}$

2. 求濕周 $P$

濕周包括：

• 渠底：$1.0\ \mathrm{m}$
• 左側垂直面：$0.5\ \mathrm{m}$
• 右側斜坡長度：

所以：

$P=1.0+0.5+0.5774=2.0774\ \mathrm{m}$

3. 求水力半徑 $R$