109 地方特考四等 水利工程 流體力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查控制體積的體積守恆與重量流量、比重的關係。槽體為剛性，槽內水與汽油皆不可壓縮，因此流入水所占的體積，必須由等體積的汽油流出來維持槽內總體積不變。

重量流量與體積流量的關係為

其中 $\dot W$ 為重量流量，$\gamma$ 為流體單位重，$Q$ 為體積流量。汽油比重為 $0.6$，表示汽油的單位重為水的 $0.6$ 倍：

解題方法

由槽內體積守恆，水的流入體積流量等於汽油的流出體積流量：

水的重量流量為 $10\ \mathrm{N/s}$，所以

核心觀念

本題考流體的伯努力方程與停滯點。忽略黏滯損失時，水槽自由液面到停滯點的總水頭守恆；在停滯點，流速為零，速度水頭轉為壓力水頭。

圖示未註明 $P$ 為表壓或絕對壓力，依題意「水槽上方受壓空氣」及本題的命題慣例，採 $P=202\ \mathrm{kPa}$ 為表壓計算。

解題方法

取圖中下方基準面為 $z=0$，則右側水槽自由液面高程為 $8\ \mathrm{m}$，點 $A$ 高程為 $20\ \mathrm{m}$。

從上方開放水槽自由液面到停滯點 $A$ 套用伯努力方程。自由液面與停滯點的流速皆為零，且自由液面表壓為零，因此：

其中 $p_A$ 為點 $A$ 的表壓，$\gamma=\rho g$ 為水的單位重。

核心觀念

本題旨在評量流體力學中的因次分析（Dimensional Analysis）與水力機械相似律（Pump/Turbine Similarity Laws）。核心學理依據為白金漢 $\pi$ 定理（Buckingham $\pi$ theorem）：

1. 白金漢 $\pi$ 定理： 若一個物理現象涉及 $n$ 個物理變數，且這些變數共包含 $m$ 個基本因次（在力學領域通常為質量 $M$、長度 $L$、時間 $T$ 三個基本因次，即 $m = 3$），則此物理問題可化簡為由 $k = n - m$ 個獨立的無因次 $\pi$ 項（無因次群）所組成的函數關係。
2. 因次齊次性原理（Principle of Dimensional Homogeneity）： 任何具備物理意義的方程式，等號兩邊各項以及無因次 $\pi$ 項的基本因次指數均必須為零（即因次為 $M^0 L^0 T^0$）。
3. 重複變數（Repeating Variables）選取原則： 選取 $m$ 個變數作為重複變數，必須滿足：

• 數量恰等於基本因次個數 $m$。
• 共同涵蓋所有的基本因次（$M, L, T$）。
• 彼此互相獨立，不可自行組成無因次參數（因次矩陣的秩為 $m$）。
• 避免選取待求的應變數（如輸出功率 $P$）。

解題方法

步驟一：列出相關物理量與其基本因次（$MLT$ 系統）

依題意，輸出功率 $P$ 為葉輪直徑 $D$、旋轉速度 $\omega$、體積流量 $Q$、流體密度 $\rho$ 及流體動力黏滯度 $\mu$ 的函數，關係式可表示為： $P = f_1(D, \omega, Q, \rho, \mu)$

各物理量之因次如下：

• 輸出功率（Power output, $P$）：$[P] = [F \cdot L / T] = [M L^2 T^{-3}]$
• 葉輪直徑（Impeller diameter, $D$）：$[D] = [L]$
• 旋轉速度（Rotation rate, $\omega$ 或 $N$）：$[\omega] = [T^{-1}]$
• 體積流量（Volume flow, $Q$）：$[Q] = [L^3 T^{-1}]$
• 流體密度（Density, $\rho$）：$[\rho] = [M L^{-3}]$
• 動力黏滯度（Dynamic viscosity, $\mu$）：$[\mu] = [M L^{-1} T^{-1}]$

總物理量個數 $n = 6$（$P, D, \omega, Q, \rho, \mu$）。 所含基本因次個數 $m = 3$（$M, L, T$）。 無因次 $\pi$ 項數目： $k = n - m = 6 - 3 = 3 \text{ 個}$

步驟二：選取重複變數

選取 $m = 3$ 個重複變數，依照流體機械慣例，包含幾何尺寸、運動特徵與流體物性：

• 幾何特徵：葉輪直徑 $D$（因次 $[L]$）
• 運動特徵：旋轉速度 $\omega$（因次 $[T^{-1}]$）
• 物性特徵：流體密度 $\rho$（因次 $[M L^{-3}]$）

檢驗其因次行列式：

三者互相獨立且涵蓋 $M, L, T$，符合選取條件。

步驟三：推導各 $\pi$ 項

1. 第一個無因次項 $\Pi_1$（結合應變數 $P$）

設 $\Pi_1 = P \cdot \rho^a \cdot \omega^b \cdot D^c$，其因次方程式為： $[M^0 L^0 T^0] = [M L^2 T^{-3}] [M L^{-3}]^a [T^{-1}]^b [L]^c = M^{1+a} L^{2-3a+c} T^{-3-b}$

依因次齊次性，各因次指數必須為零：

• $M: 1 + a = 0 \implies a = -1$
• $T: -3 - b = 0 \implies b = -3$
• $L: 2 - 3a + c = 0 \implies 2 - 3(-1) + c = 0 \implies c = -5$

核心觀念

本題考查圓管內不可壓縮黏性流體之完全發展流（Fully Developed Flow），核心理論為哈根－泊肅葉定律（Hagen-Poiseuille Law）與管流能量方程式（Energy Equation）：

1. 流況判定（雷諾數 $Re$）： 在圓管流中，判斷流況為層流（Laminar Flow）或紊流（Turbulent Flow）依據臨界雷諾數 $Re_c \approx 2000 \sim 2300$。 $Re = \frac{\rho V D}{\mu} = \frac{4\rho Q}{\pi \mu D}$ 若 $Re < 2000$，為層流，方能適用哈根－泊肅葉公式。

2. 水平圓管層流水頭損失與壓差公式（Hagen-Poiseuille Law）： 水平圓管內完全發展層流的壓差 $\Delta P$ 與流量 $Q$ 呈正比，公式為： $\Delta P = P_A - P_B = \frac{128 \mu L Q}{\pi D^4}$ 以達西摩擦因子（Darcy Friction Factor）$f = \frac{64}{Re}$ 及達西－威斯巴哈方程式（Darcy-Weisbach Equation）亦可推得相同結果： $h_f = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} = \frac{\Delta P}{\rho g}$

3. 傾斜管流之能量方程式： 取點 $A$（上游）與點 $B$（下游）列延伸伯努力方程式（能量方程式）： $\frac{P_A}{\gamma} + \frac{V_A^2}{2g} + z_A = \frac{P_B}{\gamma} + \frac{V_B^2}{2g} + z_B + h_f$ 若管徑均勻（$V_A = V_B$）且兩點間無壓差（$P_A = P_B$），則流動所需的能量損失完全由重力位能差提供： $z_A - z_B = h_f = L \sin\theta$ 式中 $\theta$ 為管路相對於水平線向下傾斜的角度。

解題方法

基本幾何與流體參數整理

• 動力黏滯度：$\mu = 0.5\ \mathrm{N\cdot s/m^2} = 0.5\ \mathrm{Pa\cdot s}$
• 流體密度：$\rho = 800\ \mathrm{kg/m^3}$
• 管徑：$D = 3\ \mathrm{cm} = 0.03\ \mathrm{m}$
• 管截面積：$A = \frac{\pi}{4} D^2 = \frac{\pi}{4}(0.03)^2 = 2.25\pi \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2} \approx 7.069 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$
• 管長：$L = 10\ \mathrm{m}$
• 體積流量：$Q = 4 \times 10^{-5}\ \mathrm{m^3/s}$

步驟零：檢驗流況（雷諾數）

計算管內平均流速 $V$： $V = \frac{Q}{A} = \frac{4 \times 10^{-5}}{2.25\pi \times 10^{-4}} = \frac{16}{90\pi} \approx 0.0566\ \mathrm{m/s}$

計算雷諾數 $Re$： $Re = \frac{\rho V D}{\mu} = \frac{800 \times 0.0566 \times 0.03}{0.5} \approx 2.72$ 因為 $Re \approx 2.72 \ll 2000$，流況為極低速之層流（Laminar Flow），適用哈根－泊肅葉定律。

（一）計算水平管兩點間之壓差 $\Delta P$（15分）

由哈根－泊肅葉定律，水平圓管之壓降公式為： $\Delta P = P_A - P_B = \frac{128 \mu L Q}{\pi D^4}$

將已知數值代入：

• 分子：$128 \times \mu \times L \times Q = 128 \times 0.5 \times 10 \times (4 \times 10^{-5}) = 0.0256\ \mathrm{N\cdot m}$