110 地方特考四等 水利工程 土壤力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查統一土壤分類法（Unified Soil Classification System, USCS）的分類流程。分類時依序判斷：

1. 土壤屬於粗粒料或細粒料。
2. 細粒料屬於粉土（M）或黏土（C）。
3. 液性限度 $LL$ 屬低塑性或高塑性。
4. 是否含有機質，必要時判定為有機粉土（OL）或有機黏土（OH）。

依題意，通過 200 號篩之重量百分比超過 $50\%$，因此該土壤屬於「細粒土」，分類重點在阿太堡限度試驗結果及塑性圖，而非砂、礫料的級配名稱。

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解題方法

一、先判定粗粒土或細粒土

USCS 的基本判斷為：

• 通過 200 號篩（$\#200$，孔徑約 $0.075\text{ mm}$）之重量百分比小於 $50\%$：粗粒土。
• 通過 200 號篩之重量百分比大於或等於 $50\%$：細粒土。

本題已知：

$$P_{200}>50\%$$

故應進入細粒土分類程序，主要候選分類符號為：

• $M$：粉土（silt）
• $C$：黏土（clay）
• $O$：有機土（organic soil）
• $PT$：泥炭（peat）

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二、利用液性限度判斷塑性高低

由阿太堡限度試驗取得液性限度 $LL$ 與塑性指數 $PI$：

$$PI=LL-PL$$

其中：

• $LL$：液性限度
• $PL$：塑性限度
• $PI$：塑性指數

USCS 以 $LL=50$ 作為低塑性與高塑性的分界：

• $LL<50$：低塑性，符號第二碼為 $L$
• $LL\geq 50$：高塑性，符號第二碼為 $H$

因此：

• 低塑性粉土或黏土：$ML$、$CL$
• 高塑性粉土或黏土：$MH$、$CH$

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三、利用塑性圖上的 A 線判斷粉土或黏土

細粒土分類須將試驗結果 $(LL,PI)$ 標示於 Casagrande 塑性圖上，並與 A 線比較。

A 線方程式為：

$$PI=0.73(LL-20)$$

判斷原則如下：

• 試驗點位於 A 線上方：屬黏土，主符號為 $C$。
• 試驗點位於 A 線下方：屬粉土，主符號為 $M$。

再配合 $LL$ 是否大於等於 $50$，即可決定分類符號。

$LL<50$ 時

• A 線上方：$CL$，低塑性無機黏土。
• A 線下方：$ML$，低塑性無機粉土。
• $PI=4\sim7$ 且位於臨界區：$CL\text{-}ML$，粉土質黏土或黏土質粉土。

$LL\geq50$ 時

• A 線上方：$CH$，高塑性無機黏土。
• A 線下方：$MH$，高塑性無機粉土或具彈性粉土。

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四、判斷是否為有機土

若土壤含有明顯有機質，不能直接依無機土的 $ML$、$CL$、$MH$、$CH$ 分類，應判定其有機性。

常用判斷方法是比較天然狀態與烘乾後的液性限度。若烘乾後液性限度顯著降低，通常表示有機質對土壤塑性具有重要影響。常用判斷條件為：

$$LL_{\text{烘乾}}<0.75LL_{\text{天然}}$$

若符合有機土特徵：

• $LL<50$：$OL$，低塑性有機粉土或有機黏土。
• $LL\geq50$：$OH$，高塑性有機粉土或有機黏土。

若為高度分解的植物纖維土、泥炭或含大量纖維狀有機物，則分類為：

$$PT$$

即泥炭（peat）。

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細粒土分類流程

核心觀念

本題考查黏土的壓密歷史，以及其對基礎沉陷與承載行為的影響。判別重點是比較：

• 現地目前的有效上覆壓力 $\sigma'_{v0}$
• 土層過去曾經承受的最大有效應力，即先期壓密壓力 $\sigma'_p$

其基本指標為過壓密比：

$$OCR=\frac{\sigma'_p}{\sigma'_{v0}}$$

其中：

• $OCR=1$：正常壓密黏土（Normally Consolidated Clay, NC Clay）
• $OCR>1$：過壓密黏土（Overconsolidated Clay, OC Clay）
• $OCR<1$：現場尚未完成壓密，屬低壓密或欠壓密狀態

正常壓密黏土表示目前有效應力已接近其歷史最大有效應力；過壓密黏土表示黏土過去曾承受比目前更大的有效應力。

現地目前有效上覆壓力可依土層單位重及地下水位計算：

$$\sigma'_{v0}=\sigma_{v0}-u_0$$

其中 $\sigma_{v0}$ 為總上覆壓力，$u_0$ 為孔隙水壓。

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解題方法：以室內壓密試驗判別

一、取得具代表性的黏土試樣

於預定基礎底面以下取不擾動樣，並記錄：

• 取樣深度
• 地下水位
• 土層單位重
• 土層分布及地質歷史

取樣品質十分重要。若試樣受到擾動，$e-\log\sigma'$ 曲線的轉折會變得不明顯，先期壓密壓力也可能被低估。

二、進行一維壓密試驗

以固結儀施加逐級增加的垂直壓力，待各級荷重下的壓密變形大致完成後，繪製孔隙比與有效應力的關係曲線：

$$e-\log\sigma'$$

曲線通常可分為兩個區段：

1. 再壓密區段：應力尚未超過土層過去承受的最大有效應力，曲線斜率較小。
2. 原始壓密區段：應力超過歷史最大有效應力後，進入新的 virgin compression line，曲線斜率明顯增大。

三、求出先期壓密壓力 $\sigma'_p$

可採 Casagrande 圖解法：

1. 找出壓密曲線曲率最大的點。
2. 在該點作水平線。
3. 作該點的切線。
4. 取水平線與切線夾角的角平分線。
5. 將壓密曲線的直線段向前延伸，與角平分線相交。
6. 由交點向橫軸投影，即得先期壓密壓力 $\sigma'_p$。

實務上亦可採用 $\log\sigma'$ 曲線、CRS 壓密試驗、卸載—再載入曲線及現地試驗結果加以判定。

四、計算過壓密比並分類

將試驗所得的 $\sigma'_p$ 與現地有效上覆壓力 $\sigma'_{v0}$ 比較：

$$OCR=\frac{\sigma'_p}{\sigma'_{v0}}$$

判定如下：

判定結果	土壤分類	意義
$\sigma'_p\approx\sigma'_{v0}$，$OCR\approx1$	正常壓密黏土	目前仍處於其歷史最大有效應力附近
$\sigma'_p>\sigma'_{v0}$，$OCR>1$	過壓密黏土	過去承受過較大的有效應力
$\sigma'_p<\sigma'_{v0}$，$OCR<1$	欠壓密黏土	現地壓密尚未完成，仍可能持續沉陷

例如試驗求得：

$$\sigma'_p=180\ \text{kPa}$$

現地計算得：

$$\sigma'_{v0}=120\ \text{kPa}$$

則：

$$OCR=\frac{180}{120}=1.5$$

因 $OCR>1$，判定為過壓密黏土。

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由地質歷史輔助判斷

壓密試驗是主要判定方法，地質歷史則可作為合理性檢核。黏土形成過壓密狀態的常見原因包括：

• 上覆土層、冰層或沉積物後來被侵蝕移除
• 地下水位下降，使有效應力增加
• 土層曾承受臨時堆載或建築荷重
• 長期乾燥、蒸發造成吸力及表面硬殼
• 土體經歷長時間老化、膠結或結構性作用
• 河流改道、海退、地形抬升等地質環境變化

因此，不能只依表面土質、標準貫入試驗擊數或土壤顏色判定。這些資料可作輔助，但仍應以有效應力與先期壓密壓力的比較為準。

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判別結果的工程目的與用途

一、估算基礎沉陷量

基礎施工後，土層有效應力增加：

$$\Delta\sigma'$$

若加載後的應力仍未超過 $\sigma'_p$，過壓密黏土主要發生再壓密，壓縮量通常較小。

核心觀念

本題比較土壤剪力強度分析中的兩種基本方法：

1. 總應力分析法（total stress analysis） 直接以土體所承受的總應力作為破壞面上的法向應力，不另行計算孔隙水壓。

2. 有效應力分析法（effective stress analysis） 先將總應力扣除孔隙水壓，求得由土骨架承擔的有效應力，再以有效應力判斷土壤剪力強度。

土壤力學最重要的有效應力原理為：

$$\sigma'=\sigma-u$$

其中：

• $\sigma$：總應力；
• $u$：孔隙水壓；
• $\sigma'$：有效應力。

土壤的剪力強度主要由土粒間摩擦及黏結力所提供，因此在一般莫耳－庫倫破壞準則下：

$$\tau_f=c+\sigma_n\tan\phi$$

但所使用的應力及強度參數，會隨分析方法而不同。

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一、總應力分析法

1. 分析概念

總應力分析法直接使用總應力計算剪力強度：

$$\tau_f=c_u+\sigma_n\tan\phi_u$$

其中：

• $c_u$：總應力黏聚力；
• $\phi_u$：總應力摩擦角；
• $\sigma_n$：破壞面上的總法向應力。

此方法不將孔隙水壓 $u$ 個別列入計算，而是將孔隙水壓對土壤強度的影響，反映在試驗所得的總應力強度參數 $c_u$、$\phi_u$ 中。

2. 適用情況

總應力分析法主要用於：

• 黏土的短期穩定分析；
• 加載速度快，土壤來不及排水的情況；
• 不排水剪力強度分析；
• 施工期間的邊坡、基礎或擋土結構穩定分析。

以飽和黏土為例，若採用不排水試驗，在不排水條件下常有：

$$\phi_u=0$$

因此剪力強度式可簡化為：

$$\tau_f=c_u=s_u$$

其中 $s_u$ 為不排水剪力強度。此時破壞剪應力與總法向應力無關，對應於 $\phi_u=0$ 的水平破壞包絡線。

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二、有效應力分析法

1. 分析概念

有效應力分析法先由總應力扣除孔隙水壓：

$$\sigma_n'=\sigma_n-u$$

再以有效應力強度參數計算剪力強度：

$$\tau_f=c'+\sigma_n'\tan\phi'$$

代入有效應力關係後：

$$\tau_f=c'+(\sigma_n-u)\tan\phi'$$

其中：

• $c'$：有效應力黏聚力；
• $\phi'$：有效應力摩擦角；
• $\sigma_n'$：破壞面上的有效法向應力。

有效應力參數反映土骨架本身的抗剪特性，與孔隙水壓分開處理，因此可用於不同排水條件及不同應力路徑的分析。

2. 適用情況

有效應力分析法主要用於：

• 長期穩定分析；
• 排水完成後的黏土穩定問題；
• 砂土排水剪力分析；
• 需要考慮孔隙水壓變化的問題；
• 滲流、降雨、地下水位變動或快速加載等情況。

在長期分析中，超額孔隙水壓通常已消散，土體強度應以有效應力參數 $c'$、$\phi'$表示。

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三、兩種分析法的主要差異

比較項目	總應力分析法	有效應力分析法
使用的法向應力	總法向應力 $\sigma_n$	有效法向應力 $\sigma_n'=\sigma_n-u$
孔隙水壓處理	不單獨計算，影響已包含於總應力強度參數	必須計算或估計孔隙水壓 $u$
強度公式	$\tau_f=c_u+\sigma_n\tan\phi_u$	$\tau_f=c'+(\sigma_n-u)\tan\phi'$
常用強度參數	$c_u,\phi_u$	$c',\phi'$
典型適用時間	短期、施工中、不排水	長期、排水完成後
典型土壤	飽和黏土短期問題	黏土長期問題及砂土排水問題
參數意義	依特定不排水條件及應力狀態求得	土骨架的有效應力抗剪特性

核心觀念

本題考查淺基礎承載力的極限狀態分析，以及影響地基承載力的主要因素。

淺基礎承載力係指地基在發生剪力破壞前，基礎底面所能承受的最大壓力。常用 Terzaghi 淺基礎承載力公式表示。基本假設包括：

1. 基礎底面為水平面。
2. 地基土均質、等向性。
3. 基礎承受垂直且居中的荷重。
4. 土體破壞型態為整體剪力破壞。
5. 基礎埋置深度相對於基礎寬度不大，屬淺基礎。

常用符號如下：

• $c$：土壤黏聚力
• $\phi$：土壤內摩擦角
• $\gamma$：土壤單位重
• $B$：基礎寬度
• $L$：基礎長度
• $D_f$：基礎埋置深度
• $q$：基礎底面以上土體所造成的覆土壓力，常取 $q=\gamma D_f$
• $N_c,N_q,N_\gamma$：承載力因子

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淺基礎承載力公式

一、條形基礎之 Terzaghi 極限承載力公式

對於條形基礎，極限承載力為

$$q_u=cN_c+qN_q+\frac{1}{2}\gamma BN_\gamma$$

其中：

• $cN_c$：黏聚力所提供的承載力
• $qN_q$：基礎埋置深度所形成之覆土壓力效應
• $\frac{1}{2}\gamma BN_\gamma$：基礎寬度及土壤自重所造成的承載力效應

若基礎埋置深度以上土體均勻，則

$$q=\gamma D_f$$

因此公式可寫成

$$q_u=cN_c+\gamma D_fN_q+\frac{1}{2}\gamma BN_\gamma$$

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二、承載力因子

承載力因子主要由土壤內摩擦角 $\phi$ 決定：

$$N_q=e^{\pi\tan\phi} \tan^2\left(45^\circ+\frac{\phi}{2}\right)$$ $$N_c=(N_q-1)\cot\phi$$

Terzaghi 常用之 $N_\gamma$ 為

$$N_\gamma=1.5(N_q-1)\tan\phi$$

當 $\phi=0$ 時，$N_q=1$、$N_\gamma=0$，且 Terzaghi 取

$$N_c=5.7$$

故不排水黏土之條形基礎極限承載力為

$$q_u=5.7c_u+\gamma D_f$$

其中 $c_u$ 為不排水剪力強度。

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三、淨極限承載力

淨極限承載力係扣除基礎底面原有覆土壓力後的承載力：

$$q_{nu}=q_u-q$$

代入基本公式：

$$q_{nu}=cN_c+q(N_q-1)+\frac{1}{2}\gamma BN_\gamma$$

若題目所稱承載力是扣除原有覆土壓力後的承載力，應使用淨承載力公式。

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四、容許承載力

極限承載力除以安全係數 $F_s$，可得容許承載力：

$$q_a=\frac{q_u}{F_s}$$

若採用淨承載力，則

$$q_{na}=\frac{q_{nu}}{F_s}$$

相應的總容許承載力為

$$q_a=q+\frac{q_{nu}}{F_s}$$

工程設計時，除剪力破壞安全外，尚須檢核沉陷。故實際採用的容許承載力應取剪力控制及沉陷控制兩者中較小者。

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五、矩形基礎之一般形式

對矩形基礎，通常在條形基礎公式中加入形狀修正係數：

$$q_u = cN_cs_c + qN_qs_q + \frac{1}{2}\gamma BN_\gamma s_\gamma$$

其中 $s_c,s_q,s_\gamma$ 分別為黏聚力項、覆土項及土壤自重項之形狀係數。

採用 Meyerhof、Hansen 或 Vesic 理論時，還可加入埋置深度、荷重傾斜、基礎底面傾斜及地基傾斜等修正係數，形式可概念性表示為

$$q_u = cN_c(\text{各項修正係數}) + qN_q(\text{各項修正係數}) + \frac{1}{2}\gamma BN_\gamma(\text{各項修正係數})$$

不同理論對 $N_\gamma$ 及修正係數的定義略有差異，作答時應明確註明採用 Terzaghi、Meyerhof、Hansen 或 Vesic 公式。

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解題方法

本題可依下列順序作答：

第一步：先判斷基礎與荷重條件

題目未指定基礎形狀及荷重狀況，應先以最基本的「條形基礎、垂直居中荷重、均質地基、整體剪力破壞」作為標準假設。

第二步：寫出極限承載力公式

先寫出

$$q_u=cN_c+qN_q+\frac{1}{2}\gamma BN_\gamma$$

再說明

$$q=\gamma D_f$$

並列出 $N_c,N_q,N_\gamma$ 的定義。

第三步：補充淨承載力及容許承載力

為使答案完整，應補寫：

$$q_{nu}=q_u-q$$

及

$$q_a=\frac{q_u}{F_s}$$

並指出容許承載力還須受沉陷限制。

第四步：依承載力公式的三個組成項說明影響因素

公式中的三項分別反映：

• $c$ 與 $N_c$：土壤黏聚力及摩擦性質
• $q$ 與 $N_q$：埋置深度及覆土壓力
• $\gamma$、$B$ 與 $N_\gamma$：土壤自重及基礎寬度

再補充基礎形狀、荷重偏心、地下水及施工條件等修正因素。

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影響承載力大小的因素

一、土壤剪力強度

土壤的 $c$ 與 $\phi$ 是最重要的因素。

由

$$q_u=cN_c+qN_q+\frac{1}{2}\gamma BN_\gamma$$

可知：

1. 黏聚力 $c$ 增加，$cN_c$ 增加，承載力提高。
2. 內摩擦角 $\phi$ 增加，$N_q$、$N_c$ 及 $N_\gamma$ 通常大幅增加，承載力提高。
3. 砂土的承載力主要受 $\phi$、$\gamma$ 及基礎尺寸影響。
4. 黏土在短期不排水狀態下，通常採總應力分析，以不排水剪力強度 $c_u$ 為主要參數。

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二、土壤單位重 $\gamma$

土壤單位重影響兩個部分：

$$q=\gamma D_f$$

以及

$$\frac{1}{2}\gamma BN_\gamma$$

因此單位重增加通常會提高承載力。但地下水位上升會降低有效單位重，使承載力下降。