109 地方特考四等 測量製圖 測量平差法概要 考古題詳解

核心觀念

本題旨在考查平差法中最基礎且關鍵的「隨機變數之線性函數誤差傳播定律」（Linear Law of Error Propagation）。

1. 隨機變數之線性函數關係： 設隨機變數 $X$ 為多個隨機變數 $L_1, L_2, \dots, L_n$ 之線性組合： $X = f(L_1, L_2, \dots, L_n) = k_1 L_1 + k_2 L_2 + \dots + k_n L_n + C$ 其中 $k_i$ 及 $C$ 為已知常數。

2. 誤差傳播定律（獨立情況）： 當觀測量（隨機變數）彼此互相獨立時，各變數間之協變方（Covariance）皆為零（即 $\sigma_{ij} = 0, \forall i \neq j$）。函數 $X$ 的方差（變異數 $\sigma_X^2$）等於各變數之偏導函數平方乘以該變數方差的總和： $\sigma_X^2 = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial X}{\partial L_i} \right)^2 \sigma_{L_i}^2$ 取正平方根即為函數 $X$ 的中誤差（Standard Error）$\sigma_X$。

解題方法

本題之新隨機變數 $X$ 為 $A$、$B$、$C$ 之線性代數和，且題目明定三者為「獨立隨機變數」，可直接依微分係數與誤差傳播公式逐步推導：

步驟一：列出函數方程式與偏導係數

隨機變數關係式為： $X = A + B + C$

對各隨機變數分別求一階偏導函數（即 Jacobian 矩陣之元素）： $\frac{\partial X}{\partial A} = 1, \quad \frac{\partial X}{\partial B} = 1, \quad \frac{\partial X}{\partial C} = 1$

步驟二：建立線性誤差傳播方程式

因隨機變數 $A$、$B$、$C$ 彼此互相獨立，協變方項 $\sigma_{AB} = \sigma_{BC} = \sigma_{CA} = 0$，其誤差傳播公式展開為： $\sigma_X^2 = \left( \frac{\partial X}{\partial A} \right)^2 \sigma_A^2 + \left( \frac{\partial X}{\partial B} \right)^2 \sigma_B^2 + \left( \frac{\partial X}{\partial C} \right)^2 \sigma_C^2$

步驟三：代入已知中誤差數值運算

已知 $\sigma_A = 2\sigma$、$\sigma_B = \sigma$、$\sigma_C = \sigma$，代入上式： $\sigma_X^2 = (1)^2 \cdot (2\sigma)^2 + (1)^2 \cdot (\sigma)^2 + (1)^2 \cdot (\sigma)^2$

核心觀念

本題考查水準網的間接平差與條件平差。依觀測箭頭方向，觀測高程差等於終點高程減起點高程；水準路線長度越短，觀測權越大，通常取權數與路線長度成反比：

間接平差的觀測方程可寫成 $\mathbf v=\mathbf A\mathbf x-\mathbf l$，法矩陣為 $\mathbf N=\mathbf A^{T}\mathbf P\mathbf A$。條件平差的獨立條件式數，等於觀測數減去必要未知數數目。

解題方法

令未知點高程為 $\mathbf x=[H_B,\ H_D]^T$，已知 $H_A=5.000\ \mathrm m$、$H_C=6.000\ \mathrm m$。依圖示方向，各觀測的高程差關係為：

• $h_1:A\to B$，故 $h_1+v_1=H_B-H_A$。
• $h_2:B\to C$，故 $h_2+v_2=H_C-H_B$。
• $h_3:D\to C$，故 $h_3+v_3=H_C-H_D$。
• $h_4:A\to D$，故 $h_4+v_4=H_D-H_A$。
• $h_5:D\to B$，故 $h_5+v_5=H_B-H_D$。

整理為 $\mathbf v=\mathbf A\mathbf x-\mathbf l$：

例如第一式為 $v_1=H_B-(H_A+h_1)=H_B-5.500$；第二式為 $v_2=H_C-H_B-h_2=-H_B+5.600$。

核心觀念

本題考查測量平差法之基礎核心——「誤差理論」中偶然誤差（Random Error）之統計特性。 在測量實務中，觀測值在消除系統誤差（Systematic Error）與剔除粗差（Blunder / Gross Error）後，所殘留的微小隨機擾動即為偶然誤差。 在統計學上，偶然誤差之機率分佈服從以 $0$ 為期望值、$\sigma^2$ 為變異數的高斯常態分佈（Normal Distribution），其機率密度函數（Probability Density Function, PDF）表示為： $f(\Delta) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{\Delta^2}{2\sigma^2}}$ 其中：

• $\Delta$ 為真誤差（True Error，即觀測值減去真值）。
• $\sigma$ 為標準差（Standard Deviation），反映觀測成果之精度。

高斯常態分佈曲線的幾何與統計特徵，精確對應了偶然誤差在物理觀測上的四個基本性質。

解題方法

本題為標準的觀念申論題。解題時切入點應分為兩層次：

1. 點出特性的標準專有名詞：精確列出四大特性（單峰性／密集性、對稱性、有界性／極限性、補償性／抵消性）。
2. 闡述物理意義並輔以數學／統計表達式：僅列出名詞僅能獲得基本分；必須進一步闡明各項特性在測量觀測中的實務意義，並附上極限或機率密度式，方能達到評分標準的高分區。

題型分析

本題為申論簡答題（非選擇題），無選項分析。在國家考試閱卷標準中，此題為「送分基礎題」，閱卷委員主要檢視：

1. 四大特性的專有名詞是否專業嚴謹。
2. 是否清楚區分「偶然誤差之補償性」與「系統誤差之累積性」。
3. 是否具備將誤差特性連結至實務應用（如 $3\sigma$ 檢核粗差、多次觀測取平均值）的論述能力。

解題技巧

1. 口訣記憶：記誦「單、對、有、補」（或「密、稱、界、消」）：

• 單峰性（密集性）：小誤差多、大誤差少。
• 對稱性：正負號機率相等。
• 有界性（極限性）：誤差有上限，超過視為粗差。
• 補償性（抵消性）：無限次觀測，其均值趨近於零。

核心觀念

本題屬於測量平差法中「不等權觀測值之加權平均值與精度評定」的經典題型，評量考生對「權（Weight）的定義」、「平均值之誤差傳播」以及「加權平均值精度評定」之理解：

1. 單次觀測與平均值之中誤差關係： 若儀器單次觀測之中誤差為 $\sigma$，獨立觀測 $n$ 次取算術平均值，則該平均值之中誤差 $\sigma_{\bar{x}}$ 為： $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

2. 權（Weight）的定義： 觀測值的權 $P$ 與其方差（中誤差平方 $\sigma^2$）成反比。設單位權中誤差為 $\sigma_0$，則各觀測值平均值之權 $P_i$ 為： $P_i = \frac{\sigma_0^2}{\sigma_{\bar{x}_i}^2} = \sigma_0^2 \cdot \frac{n_i}{\sigma_i^2}$ 即權比與 $\frac{n_i}{\sigma_i^2}$ 成正比。

3. 加權平均值（最概然值 $\hat{X}$）公式： $\hat{X} = \frac{\sum P_i \bar{x}_i}{\sum P_i}$

4. 加權平均值之中誤差：

• 事前中誤差（由誤差傳播定律計算，理論精度）： 已知儀器先驗觀測精度 $\sigma_i$ 時，依誤差傳播定律推導： $\sigma_{\hat{X}} = \frac{\sigma_0}{\sqrt{\sum P_i}} = \frac{1}{\sqrt{\sum \frac{n_i}{\sigma_i^2}}}$
• 事後中誤差（由殘差估算，實測符合精度）： 由觀測殘差 $v_i = \bar{x}_i - \hat{X}$ 計算單位權事後中誤差 $\mu_0 = \sqrt{\frac{\sum P_i v_i^2}{n - 1}}$，進而求得： $\mu_{\hat{X}} = \frac{\mu_0}{\sqrt{\sum P_i}}$

解題方法

步驟一：求各儀器平均值之權比

各儀器觀測條件如下：

• 儀器 $A$：$n_A = 3$，$\sigma_A = 2\ \mathrm{cm}$，平均值 $\bar{x}_A = 50.15\ \mathrm{m}$
• 儀器 $B$：$n_B = 3$，$\sigma_B = 3\ \mathrm{cm}$，平均值 $\bar{x}_B = 50.13\ \mathrm{m}$
• 儀器 $C$：$n_C = 4$，$\sigma_C = 2\ \mathrm{cm}$，平均值 $\bar{x}_C = 49.99\ \mathrm{m}$

各平均值的中誤差分別為： $\sigma_{\bar{x}_A} = \frac{\sigma_A}{\sqrt{n_A}} = \frac{2}{\sqrt{3}}\ \mathrm{cm}$ $\sigma_{\bar{x}_B} = \frac{\sigma_B}{\sqrt{n_B}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\ \mathrm{cm}$ $\sigma_{\bar{x}_C} = \frac{\sigma_C}{\sqrt{n_C}} = \frac{2}{\sqrt{4}} = 1\ \mathrm{cm}$

權比與 $\frac{n}{\sigma^2}$ 成正比： $P_A : P_B : P_C = \frac{n_A}{\sigma_A^2} : \frac{n_B}{\sigma_B^2} : \frac{n_C}{\sigma_C^2} = \frac{3}{2^2} : \frac{3}{3^2} : \frac{4}{2^2} = \frac{3}{4} : \frac{1}{3} : 1$

同乘以最小公倍數 $12$，化為最簡整數權： $P_A = 12 \times \frac{3}{4} = 9$ $P_B = 12 \times \frac{1}{3} = 4$ $P_C = 12 \times 1 = 12$

權之總和： $\sum P = P_A + P_B + P_C = 9 + 4 + 12 = 25$ （此時對應之單位權方差為 $\sigma_0^2 = 12\ \mathrm{cm}^2$，即單位權中誤差 $\sigma_0 = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$）

步驟二：計算距離之加權平均值（最概然值 $\hat{X}$）

選定輔助基準值 $x_0 = 50.00\ \mathrm{m}$ 以簡化計算： $\Delta_A = 50.15 - 50.00 = +0.15\ \mathrm{m}$ $\Delta_B = 50.13 - 50.00 = +0.13\ \mathrm{m}$ $\Delta_C = 49.99 - 50.00 = -0.01\ \mathrm{m}$