110 地方特考四等 測量製圖 測量平差法概要 考古題詳解

110 年・地方特考・四等・測量製圖
試題代碼 測量平差法概要

第 一 題25 分

測量資料中，可能含有偶然誤差、粗差（亦稱錯誤）或系統誤差，請各舉一例說明它們的特性及其處理方式。（25分）

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核心觀念

測量觀測值與真值之間的差異稱為誤差。依其形成原因及表現方式，可分為：

  1. 偶然誤差：由許多微小且無法完全避免的因素共同造成，正負號及大小具有隨機性。
  2. 粗差（錯誤）：由人為疏失、儀器操作錯誤或資料抄錄錯誤造成，通常數值較大，且不符合正常觀測規律。
  3. 系統誤差：由固定且具有規律性的因素造成，誤差常呈固定方向或依特定函數變化。

三者的處理原則不同：

  • 偶然誤差：以重複觀測及平差降低其影響。
  • 粗差：先偵測、剔除或更正錯誤資料，不宜直接納入平差。
  • 系統誤差：查明來源，透過校正、改正數或數學模型消除。

一、偶然誤差

（一）實例

以全站儀重複觀測同一水平角為例，即使使用同一部儀器、同一測站及同一目標，每次讀得的角度仍會有微小差異，例如：

30∘15′20′′,30∘15′23′′,30∘15′18′′30^\circ 15'20'',\quad 30^\circ 15'23'',\quad 30^\circ 15'18''

這些差異可能來自照準不完全精確、儀器讀數限制、大氣擾動及觀測者估讀差異。

（二）特性

偶然誤差具有下列特性：

  1. 誤差正負不定，無固定方向。
  2. 誤差通常呈小量分布，大誤差出現機率較低。
  3. 在觀測條件相同時，誤差具有隨機性。
  4. 觀測次數增加時，正負誤差有相互抵銷的趨勢。
  5. 偶然誤差無法由單次觀測完全消除，只能降低其影響。

在理想情況下，偶然誤差的平均值趨近於零：

lim⁡n→∞1n∑i=1nei=0\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}e_i=0

其中 eie_i 為第 ii 次觀測的偶然誤差。

（三）處理方式

1. 增加觀測次數

對同一量進行多次觀測，以平均值作為較可靠的估計值：

xˉ=x1+x2+⋯+xnn\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}

當各次觀測精度相同時，算術平均值可降低偶然誤差的影響。

2. 採用加權平均或最小二乘平差

不同觀測值的精度不相同時，應依其精度給予權：

x^=p1x1+p2x2+⋯+pnxnp1+p2+⋯+pn\hat{x}= \frac{p_1x_1+p_2x_2+\cdots+p_nx_n} {p_1+p_2+\cdots+p_n}

其中 pip_i 為第 ii 個觀測值的權。

在測量平差中，通常以最小二乘原理求取最或然值，使加權殘差平方和最小：

min⁡∑pivi2\min \sum p_i v_i^2

其中 viv_i 為觀測值改正數。

3. 改善觀測條件

例如採用較高精度儀器、增加照準及讀數次數、選擇良好天候、縮短視線距離，均可降低偶然誤差的標準差。

二、粗差（錯誤）

（一）實例

測量距離時，正確讀值應為 125.36 m125.36\text{ m}，觀測者因讀錯尺數或抄錄錯誤，將其記為 152.36 m152.36\text{ m}。此誤差並非由正常觀測波動造成，而是人為錯誤所產生。

其他常見例子包括：

  • 瞄準錯誤目標點。
  • 水準測量中誤讀標尺刻度。
  • 將後視讀數與前視讀數對調。
  • 輸入座標或角度時漏寫、誤寫數字。
  • 儀器未整置完成即開始觀測。

（二）特性

粗差具有下列特性：

  1. 通常數值較大，明顯超出偶然誤差的正常範圍。
  2. 多由觀測者疏失、儀器誤操作或資料處理錯誤造成。
  3. 不具隨機誤差的正常分布特性。
  4. 會破壞幾何條件及觀測方程式。
  5. 一筆粗差即可嚴重影響平差結果，甚至造成整體成果錯誤。

粗差與偶然誤差的主要差別，在於粗差不是「正常觀測能力下不可避免的小量偏差」，而是觀測或資料處理流程中的失誤。

（三）處理方式

1. 現場檢核

應利用測量作業中的幾何條件及閉合條件檢查資料，例如：

水準測量的閉合差：

fh=∑BS−∑FS−ΔH已知f_h=\sum BS-\sum FS-\Delta H_{\text{已知}}

導線測量的角度閉合差：

fβ=∑β−(n−2)×180∘f_\beta=\sum\beta-(n-2)\times180^\circ

坐標閉合差：

fx=∑Δx,fy=∑Δyf_x=\sum\Delta x,\qquad f_y=\sum\Delta y

閉合差異常時，應回查原始觀測紀錄及計算過程。

2. 重測及資料比對

對疑似錯誤的觀測值進行重測，並比對：

  • 原始手簿與電子記錄。
  • 正、倒鏡觀測值。
  • 不同測回的觀測值。
  • 相鄰測站或其他獨立觀測成果。

3. 平差前先剔除或更正

粗差未處理前，不應直接交由最小二乘平差吸收。因為最小二乘法主要處理偶然誤差，粗差會使殘差及未知參數受到污染。

確認錯誤後，應：

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第 二 題25 分

以相同精度測量同一段邊長若干次，觀測值如下（單位均為公尺）： 20.09420.094、20.10620.106、20.09520.095、20.09820.098、20.10520.105、30.09530.095、20.09220.092、20.09620.096、20.10320.103 試求該段距離的最或是值及其標準差。（25分）

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核心觀念

本題考查等精度獨立觀測的算術平均，以及粗差辨識與標準差計算。

同一段距離以相同精度觀測 nn 次時，各觀測值權相等，因此距離的最或是值為算術平均：

x^=∑xin\hat{x}=\frac{\sum x_i}{n}

觀測值對最或是值的改正數為：

vi=x^−xiv_i=\hat{x}-x_i

單一觀測值的標準差為：

s=∑vi2n−1s=\sqrt{\frac{\sum v_i^2}{n-1}}

若題目所稱的「距離的標準差」是指最或是值（平均值）的標準差，則為：

sx^=sn=∑vi2n(n−1)s_{\hat{x}}=\frac{s}{\sqrt{n}} =\sqrt{\frac{\sum v_i^2}{n(n-1)}}

本題中的 30.09530.095 公尺與其餘觀測值約 20.120.1 公尺相差近 1010 公尺，顯然為粗差，不能直接納入平均計算。

解題方法

一、剔除粗差

除 30.09530.095 公尺外，其餘觀測值均集中於 20.092∼20.10620.092\sim20.106 公尺之間；而 30.09530.095 公尺與其他觀測值相差約 1010 公尺，遠超出毫米級觀測值的正常離散程度。

因此將 30.09530.095 公尺判定為粗差，採用其餘 88 筆觀測值計算。

二、計算距離的最或是值

有效觀測值為：

20.094, 20.106, 20.095, 20.098, 20.105, 20.092, 20.096, 20.10320.094,\ 20.106,\ 20.095,\ 20.098,\ 20.105,\ 20.092,\ 20.096,\ 20.103

其總和為：

∑xi=160.789 m\sum x_i=160.789\text{ m}

有效觀測數：

n=8n=8

故最或是值為：

x^=160.7898=20.098625 m\hat{x} =\frac{160.789}{8} =20.098625\text{ m}

因此：

x^=20.098625 m\boxed{\hat{x}=20.098625\text{ m}}

三、計算殘差平方和

為避免小數計算繁複，將觀測值與最或是值均以毫米表示。最或是值為：

20.098625 m=20098.625 mm20.098625\text{ m}=20098.625\text{ mm}

各殘差如下：

觀測值（m）殘差 vi=x^−xiv_i=\hat{x}-x_i（mm）vi2v_i^2（mm2^2）
20.094−4.625-4.62521.390625
20.1067.3757.37554.390625
20.095−3.625-3.62513.140625
20.098−0.625-0.6250.390625
20.1056.3756.37540.640625
20.092−6.625-6.62543.890625
20.096−2.625-2.6256.890625
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第 三 題25 分

有一條水準環線如下圖所示，實施直接水準測量。圖上單位標示為公尺者，表示高程差觀測值；單位標示為公里者，表示各段的水準路線長。而箭頭方向為高程差觀測的方向。試問該次測量之環線高程差的閉合差為何（以多少 mmK\text{mm}\sqrt{K} 表示，其中 KK 為公里數）？請說明該環線水準測量是否符合 5 mmK5\text{ mm}\sqrt{K} 的閉合差限制值要求。又無論是否符合前述的閉合差限制值，均請以最小二乘法原理分配該閉合差於各段高程差觀測值上，使得最後的環線閉合差為零。（25分）

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核心觀念

水準環線的高程差閉合條件為：沿箭頭方向將各段高程差觀測值代數相加，理想值應為零。因此閉合差為

fh=∑Δhf_h=\sum \Delta h

直接水準測量中，若各段觀測精度相同，則觀測量的方差與水準路線長度 KiK_i 成正比：

σi2∝Ki\sigma_i^2\propto K_i

故權與路線長度成反比：

Pi∝1KiP_i\propto \frac{1}{K_i}

最小二乘法分配閉合差時，改正數應按各段路線長度比例分配。

一、計算環線閉合差

依圖示箭頭方向，四段高程差為：

  • A→D：+2.089 mA\to D：+2.089\ \text{m}
  • D→C：+3.453 mD\to C：+3.453\ \text{m}
  • C→B：−1.987 mC\to B：-1.987\ \text{m}
  • B→A：−3.365 mB\to A：-3.365\ \text{m}

因此

fh=2.089+3.453−1.987−3.365f_h=2.089+3.453-1.987-3.365 fh=+0.190 m=+190 mmf_h=+0.190\ \text{m}=+190\ \text{mm}

總水準路線長度為

K=3+5+4+2=14 kmK=3+5+4+2=14\ \text{km}

以 mmK\text{mm}\sqrt{K} 表示之閉合差為

∣fh∣K=19014=50.80 mmK\frac{|f_h|}{\sqrt K} =\frac{190}{\sqrt{14}} =50.80\ \text{mm}\sqrt K

二、閉合差限值判定

規定閉合差限制為

5 mmK5\text{ mm}\sqrt K

本題容許之最大閉合差為

514=18.71 mm5\sqrt{14}=18.71\ \text{mm}

實際閉合差為 190 mm190\ \text{mm}，且

50.80>550.80>5

所以本次水準環線測量不符合 5 mmK5\text{ mm}\sqrt K 的閉合差限制要求。

三、以最小二乘法分配閉合差

令各段改正數分別為 vAD,vDC,vCB,vBAv_{AD},v_{DC},v_{CB},v_{BA}。因為必須消除 +190 mm+190\ \text{mm} 的閉合差，所以

vAD+vDC+vCB+vBA=−190 mmv_{AD}+v_{DC}+v_{CB}+v_{BA}=-190\ \text{mm}

在相同精度的直接水準測量中，改正數按路線長度比例分配：

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第 四 題25 分

設 AA、BB、CC、DD 為同一直線上的四個點，已知 AD‾=300.000 公尺\overline{AD} = 300.000\text{ 公尺}，各觀測值如下圖所示。假設各觀測量獨立不相關，觀測量 AB‾\overline{AB}、BC‾\overline{BC}、CD‾\overline{CD}、AC‾\overline{AC}、BD‾\overline{BD} 的權比例為 2:2:2:1:12:2:2:1:1，試以最小二乘法平差計算 AB‾\overline{AB}、BC‾\overline{BC}、CD‾\overline{CD}、AC‾\overline{AC}、BD‾\overline{BD} 之最或是值。（25分）

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核心觀念

本題屬於含有已知條件之間接觀測平差。未知數可取三段實際距離：

x=[ABBCCD]\mathbf{x} = \begin{bmatrix} AB\\BC\\CD \end{bmatrix}

觀測量為：

AB=100.020 m,BC=99.985 m,CD=100.008 m,AC=199.993 m,BD=200.005 m.\begin{aligned} AB&=100.020\text{ m},\\ BC&=99.985\text{ m},\\ CD&=100.008\text{ m},\\ AC&=199.993\text{ m},\\ BD&=200.005\text{ m}. \end{aligned}

因為 AD=300.000 mAD=300.000\text{ m} 為已知條件，所以必須滿足：

AB+BC+CD=300.000.AB+BC+CD=300.000.

各觀測量權比例為：

P=diag⁡(2,2,2,1,1).P=\operatorname{diag}(2,2,2,1,1).

最小二乘法的平差原則為，使加權殘差平方和

∑pivi2\sum p_i v_i^2

達到最小。

解題方法

令三個直接觀測量的改正數分別為 d1,d2,d3d_1,d_2,d_3：

AB=100.020+d1,BC=99.985+d2,CD=100.008+d3.\begin{aligned} AB&=100.020+d_1,\\ BC&=99.985+d_2,\\ CD&=100.008+d_3. \end{aligned}

由已知全長條件：

(100.020+d1)+(99.985+d2)+(100.008+d3)=300.000,(100.020+d_1)+(99.985+d_2)+(100.008+d_3)=300.000,

因此

d1+d2+d3=−0.013.d_1+d_2+d_3=-0.013.

觀測方程式

由 AC=AB+BCAC=AB+BC：

AC計算=199.?AC_{\text{計算}} =199.?

代入改正數後，對應於觀測值 199.993199.993 的殘差為：

vAC=(d1+d2)+200.005−199.993=d1+d2+0.012.v_{AC} =(d_1+d_2)+200.005-199.993 =d_1+d_2+0.012.

由 BD=BC+CDBD=BC+CD：

vBD=(d2+d3)+199.993−200.005=d2+d3−0.012.v_{BD} =(d_2+d_3)+199.993-200.005 =d_2+d_3-0.012.

因此加權殘差平方和為：

Φ=2d12+2d22+2d32+(d1+d2+0.012)2+(d2+d3−0.012)2.\Phi = 2d_1^2+2d_2^2+2d_3^2 +(d_1+d_2+0.012)^2 +(d_2+d_3-0.012)^2.

利用條件

d3=−0.013−d1−d2,d_3=-0.013-d_1-d_2,

可將 Φ\Phi 化為：

Φ=2d12+2d22+2(−0.013−d1−d2)2+(d1+d2+0.012)2+(−d1−0.025)2.\Phi = 2d_1^2+2d_2^2 +2(-0.013-d_1-d_2)^2 +(d_1+d_2+0.012)^2 +(-d_1-0.025)^2.

令偏導數為零：

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