112 地方特考四等 交通技術類科 交通統計概要 考古題詳解

核心觀念

設步行、開車、公車的旅行時間分別為 $X_1,X_2,X_3$，旅次鏈的總旅行時間為：

須使用：

若各運具旅行時間相互獨立或不相關，則：

且：

解題方法

總旅行時間的期望值為各段平均旅行時間之和：

各段變異數為標準差平方：

在相互獨立或不相關的標準假設下，總旅行時間變異數為：

核心觀念

本題考查兩個統計觀念：

1. 抽樣分配：由母體中抽取大小固定為 $n$ 的樣本，計算每一組樣本的統計量，例如樣本平均數 $\bar X$，則所有可能樣本平均數所形成的機率分配，稱為樣本平均數的抽樣分配。

2. 中央極限定理：當樣本數夠大時，不論母體分配是否為常態分配，樣本平均數的抽樣分配會近似常態分配。若母體平均數為 $\mu$、標準差為 $\sigma$，抽取樣本數為 $n$，則：

其中樣本平均數的標準差，即標準誤為：

本題樣本數 $n=225$，已足夠大，因此可運用中央極限定理。

解題方法

（一）抽樣分配與中央極限定理

抽樣分配不是單一樣本的分配，而是「所有可能樣本所計算出的統計量」之分配。例如重複抽取許多組大小為 $225$ 的樣本，每組計算其平均通勤距離，這些樣本平均數所形成的分布，就是樣本平均數的抽樣分配。

中央極限定理指出，當樣本數充分大時，樣本平均數的抽樣分配近似常態分配，其平均數等於母體平均數，標準差則為：

因此，本題樣本平均通勤距離可視為近似常態分配：

（二）計算樣本平均通勤距離介於 $7.5$ 至 $8.5$ 公里的機率

已知：

先求樣本平均數的標準誤：

因此：

核心觀念

本題考查統計資料的蒐集方式。依調查對象涵蓋範圍，可分為普查與抽樣調查：

• 普查資料：對母體中每一個調查單位逐一蒐集資料所得的資料。例如調查某地區所有路口的交通量。
• 抽樣資料：從母體中依適當抽樣方法選取部分單位，蒐集其資料，再據以推論母體特性。例如抽查部分路口的交通量，以估計全區交通量。

母體是研究所關心的全部對象；樣本則是由母體中選取、實際接受調查的部分對象。本題不涉及特定法條或計算公式。

解題方法

作答時先說明兩種資料各自涵蓋的對象，再從調查成本、時間、資料誤差及推論能力比較優缺點。特別要區分：普查涵蓋所有調查單位，抽樣則以樣本推論母體；但普查不代表完全沒有誤差，抽樣也不必然不可靠。

普查資料的優缺點

優點：

1. 涵蓋完整：調查母體內所有單位，能取得各單位的資料，也便於分析小區域或特定類別。
2. 沒有抽樣誤差：因未從母體抽取部分單位來推估整體，所以不存在由抽樣所造成的抽樣誤差。
3. 可作為完整基礎資料：適合建立母體名冊、掌握整體分布，或作為後續抽樣調查的基礎。

缺點：

1. 成本高、耗時久：須逐一調查全部單位，需投入大量人力、經費與時間。
2. 執行與管理較複雜：調查範圍大，資料蒐集、查核及整理不易。
3. 仍可能有非抽樣誤差：例如漏查、重複登記、受訪者回答錯誤、調查員記錄錯誤或資料處理錯誤。普查只能避免抽樣誤差，不能保證資料毫無誤差。
4. 不適合需快速取得結果的情況：資料完成前，母體狀況可能已經改變。

抽樣資料的優缺點

優點：

核心觀念

本題考查離散型隨機變數的：

• 平均數（期望值）： $\mu=E(X)=\sum xp(x)$
• 變異數： $\sigma^2=E(X^2)-\mu^2$
• 標準差： $\sigma=\sqrt{\sigma^2}$
• 平均加減兩倍標準差的範圍： $\mu-2\sigma\leq X\leq\mu+2\sigma$

解題方法

設每人每天搭乘捷運次數為 $X$。

一、計算平均次數

因此，每人每天搭乘捷運的平均次數為：

二、計算標準差

先求 $E(X^2)$：

變異數為：

所以標準差為：

因此，每人每天搭乘捷運次數的標準差約為：

核心觀念

本題考查條件機率與分類診斷中的兩種錯誤：

• 漏報率：已發生危險事件，但 ADAS 未發出警示，即 $P(N\mid D)$。
• 誤報率：未發生危險事件，但 ADAS 發出警示，即 $P(P\mid D^c)$。

表中各數值為聯合機率，四格總和為：

解題方法

已知發生危險事件的機率為：

因此未發生危險事件的機率為：

一、漏報機率

漏報事件為「發生危險事件且 ADAS 未發出警示」，表中對應機率為：

但標準的漏報率是以「已發生危險事件」為條件，因此：

所以漏報率為：

二、誤報機率

誤報事件為「未發生危險事件且 ADAS 發出警示」，表中對應機率為：