109 警察特考三等 交通警察人員電訊組 通訊系統 考古題詳解

109 年・警察特考・三等・交通警察人員電訊組
試題代碼 通訊系統

第 一 題20 分

考慮具有隨機相位的弦波信號，定義如下：

x(t)=Acos⁡(2πfct+θ)x(t)=A\cos(2\pi f_ct+\theta)

其中，AA 和 fcf_c 為常數，θ\theta 為在 (−π,π)(-\pi,\pi) 間均勻分布的隨機變數。請求出下列函數：

(一) x(t)x(t) 的自相關函數。（10 分）

(二) x(t)x(t) 的功率頻譜密度函數。（10 分）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查隨機相位弦波的自相關函數與功率頻譜密度。相位 θ\theta 在 (−π,π)(-\pi,\pi) 均勻分布，因此其機率密度為 pθ(θ)=1/(2π)p_\theta(\theta)=1/(2\pi)。隨機相位使信號的平均值為零，但自相關函數仍保有弦波的週期性。

採用以下定義：

Rx(τ)=E ⁣[x(t)x(t+τ)]R_x(\tau)=\mathbb{E}\!\left[x(t)x(t+\tau)\right]

對廣義平穩隨機過程，功率頻譜密度是自相關函數的傅立葉轉換：

Sx(f)=∫−∞∞Rx(τ)e−j2πfτ dτS_x(f)=\int_{-\infty}^{\infty}R_x(\tau)e^{-j2\pi f\tau}\,d\tau

解題方法

（一）求自相關函數

先將兩個時刻的信號相乘，再對隨機相位取期望：

Rx(τ)=E ⁣[Acos⁡(2πfct+θ)Acos⁡(2πfc(t+τ)+θ)]=A2E ⁣[cos⁡(2πfct+θ)cos⁡(2πfct+2πfcτ+θ)].\begin{aligned} R_x(\tau) &=\mathbb{E}\!\left[A\cos(2\pi f_ct+\theta) A\cos(2\pi f_c(t+\tau)+\theta)\right]\\ &=A^2\mathbb{E}\!\left[\cos(2\pi f_ct+\theta) \cos(2\pi f_ct+2\pi f_c\tau+\theta)\right]. \end{aligned}

利用積化和差公式 cos⁡ucos⁡v=12[cos⁡(u−v)+cos⁡(u+v)]\cos u\cos v=\frac{1}{2}[\cos(u-v)+\cos(u+v)]，得

Rx(τ)=A22E[cos⁡(2πfcτ)+cos⁡(4πfct+2πfcτ+2θ)].\begin{aligned} R_x(\tau) =\frac{A^2}{2}\mathbb{E}\Big[ \cos(2\pi f_c\tau) +\cos(4\pi f_ct+2\pi f_c\tau+2\theta) \Big]. \end{aligned}

第一項與 θ\theta 無關。第二項對均勻分布相位取期望為零，因為

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 二 題20 分

考慮一個平方律檢測器，其非線性特性為

v2(t)=a1v1(t)+a2v12(t)v_2(t)=a_1v_1(t)+a_2v_1^2(t)

若

v1(t)=Ac[1+kam(t)]cos⁡(2πfct)v_1(t)=A_c[1+k_am(t)]\cos(2\pi f_ct)

請回答下列問題：

(一) 請求出輸出 v2(t)v_2(t) 為何？（10 分）

(二) 若使用此平方律檢測器來當作 AM 信號的接收機，需做怎樣的處理及滿足怎樣的條件，才能正確解出 m(t)m(t)？（10 分）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

平方律檢測器將輸入訊號代入非線性特性 v2(t)=a1v1(t)+a2v12(t)v_2(t)=a_1v_1(t)+a_2v_1^2(t)。其中線性項會保留載波頻率 fcf_c 的成分；平方項則利用 cos⁡2(2πfct)=12[1+cos⁡(4πfct)]\cos^2(2\pi f_ct)=\frac12[1+\cos(4\pi f_ct)]，產生基頻包絡項、直流項與 2fc2f_c 附近的高頻項。

（一）輸出訊號

將 v1(t)=Ac[1+kam(t)]cos⁡(2πfct)v_1(t)=A_c[1+k_am(t)]\cos(2\pi f_ct) 代入：

v2(t)=a1Ac[1+kam(t)]cos⁡(2πfct)+a2Ac2[1+kam(t)]2cos⁡2(2πfct)=a1Ac[1+kam(t)]cos⁡(2πfct)+a2Ac22[1+2kam(t)+ka2m2(t)]+a2Ac22[1+2kam(t)+ka2m2(t)]cos⁡(4πfct).\begin{aligned} v_2(t) &=a_1A_c[1+k_am(t)]\cos(2\pi f_ct)\\ &\quad+a_2A_c^2[1+k_am(t)]^2\cos^2(2\pi f_ct)\\ &=a_1A_c[1+k_am(t)]\cos(2\pi f_ct)\\ &\quad+\frac{a_2A_c^2}{2}[1+2k_am(t)+k_a^2m^2(t)]\\ &\quad+\frac{a_2A_c^2}{2}[1+2k_am(t)+k_a^2m^2(t)]\cos(4\pi f_ct). \end{aligned}

因此輸出包含三類成分：

  • 載波頻率 fcf_c 的線性項；
  • 基頻與直流項 a2Ac22[1+2kam(t)+ka2m2(t)]\frac{a_2A_c^2}{2}[1+2k_am(t)+k_a^2m^2(t)]；
  • 二倍載波頻率 2fc2f_c 的項。

（二）接收處理與正確解調條件

先以低通濾波器濾除 fcf_c 與 2fc2f_c 附近的高頻成分，留下基頻與直流部分：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 三 題20 分

通道容量估算是通訊系統的重要特性，請回答下列問題：

(一) 在無失真的通道中可使用 Nyquist Bandwidth 來估算。使用二進制資料傳輸，信號頻寬為 1 MHz1\ \mathrm{MHz}，請問最大資料傳輸速率為何？（6 分）

(二) 在有失真的系統中可用 Shannon 的通道容量來估算其最大傳輸速率。若使用二進制資料傳輸，信號頻寬為 1 MHz1\ \mathrm{MHz}，訊號與雜訊比為 20 dB20\ \mathrm{dB}，請問於此情況下其最大資料傳輸速率為何？（7 分）

(三) 承子題（二），若要將此系統的通道容量提升一倍，在不改變信號頻寬的前提下，請問此系統之訊雜比要提升幾倍？（7 分）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題比較無雜訊理想通道的 Nyquist 最大資料傳輸率，與有雜訊通道的 Shannon 容量。

  • Nyquist 公式：無失真、無雜訊通道的最大資料傳輸率為 Rmax⁡=2Blog⁡2MR_{\max}=2B\log_2 M 其中 BB 是通道頻寬，MM 是訊號可表示的電平數。二進制傳輸有兩個電平，因此 M=2M=2。
  • Shannon 公式：有雜訊通道的容量為 C=Blog⁡2(1+SNR)C=B\log_2(1+\mathrm{SNR}) 其中 SNR\mathrm{SNR} 必須使用線性比值；若以分貝表示，則 SNRdB=10log⁡10(SNR)\mathrm{SNR}_{\mathrm{dB}}=10\log_{10}(\mathrm{SNR})

解題方法

（一）無失真通道：Nyquist 最大傳輸率

已知頻寬 B=1 MHz=106 HzB=1\ \mathrm{MHz}=10^6\ \mathrm{Hz}，二進制資料的訊號電平數為 M=2M=2。

Rmax⁡=2Blog⁡2M=2(106)log⁡22=2×106 bit/sR_{\max}=2B\log_2 M =2(10^6)\log_2 2 =2\times10^6\ \mathrm{bit/s}

因此最大資料傳輸率為 2 Mbit/s2\ \mathrm{Mbit/s}。

（二）有雜訊通道：Shannon 通道容量

先將 20 dB20\ \mathrm{dB} 的訊雜比換算成線性值：

20=10log⁡10(SNR)⟹SNR=1020/10=10020=10\log_{10}(\mathrm{SNR}) \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{SNR}=10^{20/10}=100

代入 Shannon 公式：

C=106log⁡2(1+100)=106log⁡2101≈106(6.6582)≈6.6582×106 bit/sC=10^6\log_2(1+100) =10^6\log_2 101 \approx 10^6(6.6582) \approx 6.6582\times10^6\ \mathrm{bit/s}

因此通道容量約為 6.66 Mbit/s6.66\ \mathrm{Mbit/s}。Shannon 容量是理論上限；它不因題目提到二進制資料傳輸而改用 Nyquist 公式。

（三）頻寬不變，容量提升一倍所需的訊雜比

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 四 題20 分

一個類比信號經取樣與量化後，使用位階數目為 128128，編碼為一個二進制的 PCM 調變信號，將一個同步脈衝加到每個編碼字樣的末端。傳送時，此 PCM 系統採用一個具有增高餘弦頻譜的四進制 PAM 信號，經過頻寬為 13 kHz13\ \mathrm{kHz} 的通道發送，此通道之滾降因數為 11。

(一) 請問此信息通過該通道傳輸之速率為何？（8 分）

(二) 此類比信息的取樣速率為何？（7 分）

(三) 此類比信號之最高可能的頻率成分為多少？（5 分）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查四進制 PAM 的頻寬與符號率關係、PCM 編碼位元率，以及取樣定理。

  • 四進制 PAM 每個符號可表示 log⁡24=2\log_2 4=2 位元。
  • 增高餘弦（raised-cosine）頻譜的頻寬與符號率關係為 B=(1+α)Rs2,B=\frac{(1+\alpha)R_s}{2}, 其中 BB 是通道頻寬、α\alpha 是滾降因數、RsR_s 是符號率。
  • PCM 的位元率等於取樣率乘上每個取樣值的編碼位元數。
  • 依取樣定理，最高可取樣頻率為取樣率的一半。

解題方法

(一) 題目給定通道頻寬 B=13 kHzB=13\ \mathrm{kHz}、滾降因數 α=1\alpha=1。代入增高餘弦頻寬公式：

Rs=2B1+α=2(13 kHz)2=13 ksymbol/s.R_s=\frac{2B}{1+\alpha} =\frac{2(13\ \mathrm{kHz})}{2} =13\ \mathrm{ksymbol/s}.

四進制 PAM 每個符號承載 22 位元，因此傳輸位元率為

Rb=Rslog⁡24=(13 ksymbol/s)(2 bit/symbol)=26 kbit/s.R_b=R_s\log_2 4 =(13\ \mathrm{ksymbol/s})(2\ \mathrm{bit/symbol}) =26\ \mathrm{kbit/s}.

題目另指每個 PCM 編碼字樣末端加上一個同步脈衝，因此每個取樣值實際傳送的位元數，須將同步脈衝計入。

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 五（一） 題10 分

若使用頻率為 100 MHz100\ \mathrm{MHz} 的載波來調變一個振幅為 20 V20\ \mathrm{V} 及頻率為 100 kHz100\ \mathrm{kHz} 的正弦波，假設此調變器的頻率敏感度為每伏特 25 kHz25\ \mathrm{kHz}，請使用卡森法則估算此 FM 接收機調變信號的近似頻寬為何？（10 分）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查調頻（FM）的頻偏、調變指數，以及卡森法則估算 FM 訊號頻寬。

對單音調變，最大頻率偏移 Δf\Delta f 為頻率敏感度 kfk_f 與調變訊號振幅 AmA_m 的乘積：

Δf=kfAm\Delta f=k_f A_m

FM 調變指數為最大頻率偏移除以調變訊號頻率 fmf_m：

β=Δffm\beta=\frac{\Delta f}{f_m}

卡森法則估算 FM 頻寬：

BT≈2(Δf+fm)B_T\approx 2(\Delta f+f_m)

解題方法

題目給定：

  • 頻率敏感度 kf=25 kHz/Vk_f=25\ \mathrm{kHz/V}
  • 調變訊號振幅 Am=20 VA_m=20\ \mathrm{V}
  • 調變訊號頻率 fm=100 kHzf_m=100\ \mathrm{kHz}

先求最大頻率偏移：

Δf=kfAm=(25 kHz/V)(20 V)=500 kHz\Delta f=k_f A_m =(25\ \mathrm{kHz/V})(20\ \mathrm{V}) =500\ \mathrm{kHz}

因此調變指數為：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 五（二） 題10 分

圖一為 AM 接收機混頻器之方塊圖。若輸入信號之頻寬為 10 kHz10\ \mathrm{kHz}，且載波頻率為 0.535 MHz0.535\ \mathrm{MHz} 到 1.605 MHz1.605\ \mathrm{MHz} 之間的任意值，欲使輸出之中頻為 0.455 MHz0.455\ \mathrm{MHz}，請問本地震盪器之可調範圍為何？（10 分）

【圖一：AM 接收機混頻器方塊圖。圖中包含輸入信號 s(t)s(t)、乘以 cos⁡(2πflt)\cos(2\pi f_lt) 的混頻器，以及 Band-pass filter。】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

混頻器將輸入頻率 fRFf_{\mathrm{RF}} 與本地震盪器頻率 fLOf_{\mathrm{LO}} 相乘，產生和頻與差頻。中頻取差頻，因此：

fIF=∣fLO−fc∣f_{\mathrm{IF}}=\left|f_{\mathrm{LO}}-f_c\right|

其中 fcf_c 為輸入載波頻率。本題指定中頻為 0.455 MHz0.455\ \mathrm{MHz}，故本地震盪器可採高側注入或低側注入。

解題方法

一般 AM 超外差接收機採高側注入，也就是本地震盪器頻率高於載波：

fLO=fc+fIFf_{\mathrm{LO}}=f_c+f_{\mathrm{IF}}

載波頻率範圍為 0.535∼1.605 MHz0.535\sim1.605\ \mathrm{MHz}，代入中頻 0.455 MHz0.455\ \mathrm{MHz}：

fLO,min=0.535+0.455=0.990 MHzf_{\mathrm{LO,min}}=0.535+0.455=0.990\ \mathrm{MHz} fLO,max=1.605+0.455=2.060 MHzf_{\mathrm{LO,max}}=1.605+0.455=2.060\ \mathrm{MHz}

因此，本地震盪器須能在 0.990∼2.060 MHz0.990\sim2.060\ \mathrm{MHz} 間調整。

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

交通警察人員電訊組《通訊系統》其他年度

111110