111 年警察特考三等交通警察人員電訊組考古題與詳解

Question 1

有一個頻寬（bandwidth）為 $W$ 的基頻訊號（baseband signal） $x(t)$ ，我們準備對它做調變（modulation）。在此考慮兩種不同的調變方式，其對應訊號分別為：

$s_1(t)=A_c\cdot x(t)\cdot\cos(\omega_ct)$

以及

$s_2(t)=B_c\cdot[1+\mu\cdot x(t)]\cdot\cos(\omega_ct)$

其中 $A_c$ 、 $B_c$ 、 $\mu$ 、 $\omega_c$ 為常數，而且 $\omega_c\gg W$ 。

(一) $s_1(t)$ 屬於下列何種調變：調頻（frequency modulation）、調幅（amplitude modulation）或調相（phase modulation）？（3 分）

(二) $s_2(t)$ 屬於下列何種調變：調頻、調幅或調相？（3 分）

(三) 以訊號所需占用的頻寬而言，下列敘述何者為真： $s_1(t)$ 較大、 $s_2(t)$ 較大，或兩者相等？（4 分）

(四) 在 $s_2(t)$ 中， $\mu$ 稱為調變指數（modulation index），是一個正數。在此假設 $x(t)$ 的最大值為 $2.5$ 。若希望可以用包絡偵測器（envelope detector）對 $s_2(t)$ 作解調（demodulation），則 $\mu$ 應小於某一門檻值。請問此門檻值為何？（5 分）

(五) 相對於 $s_2(t)$ 而言， $s_1(t)$ 所需要的解調器（demodulator）較複雜；請說明其複雜之處。（5 分）

(六) 假設 $\omega_c=200\times10^6\times2\pi\ \mathrm{rad/s}$ ，那麼在接收 $s_1(t)$ 時所要使用的天線大小，在下列選項中何者適合： $10\ \mathrm{m}$ 、 $1\ \mathrm{m}$ 、 $10\ \mathrm{cm}$ 或 $1\ \mathrm{cm}$ ？

附註：電波傳送的速度等於光速，即 $3\times10^8\ \mathrm{m/s}$ 。（5 分）

Accepted Answer

核心觀念 調變方式可由載波的哪一項特性承載訊息來判斷： - 調幅（AM）：訊號改變載波振幅。 - 調頻（FM）：訊號改變載波瞬時頻率。 - 調相（PM）：訊號改變載波瞬時相位。 本題比較乘積調變與標準調幅訊號，也考查調幅頻寬、包絡偵測條件，以及基頻訊號的同步解調與天線尺度。 解題方法 （一）判斷 $s1(t)$ 的調變方式 $$ s1(t)=Ac x(t)\cos(\omegac t) $$ 基頻訊號 $x(t)$ 直接乘上載波，改變載波振幅，因此屬於調幅。這種形式也稱為抑制載波雙邊帶調幅（DSB-SC）。 （二）判斷 $s2(t)$ 的調變方式 $$ s2(t)=Bc[1+\mu x(t)]\cos(\omegac t) $$ 載波前的振幅係數為 $Bc[1+\mu x(t)]$，會隨訊號 $x(t)$ 改變，因此也是調幅，屬於一般調幅（AM）。 （三）比較占用頻寬 若基頻訊號頻寬為 $W$，調幅會在載波頻率兩側產生上下邊帶，頻帶分別延伸 $W$，所以總頻寬為 $$ W{	ext{AM}}=(\omegac+W)-(\omegac-W)=2W $$ $s1(t)$ 與 $s2(t)$ 都是調幅訊號，且使用同一個基頻訊號，因此兩者占用頻寬相等，皆為 $2W$。是否傳送未調變載波，會影響功率與解調方式，不改變邊帶寬度。 （四）包絡偵測器的調變指數門檻 $s2(t)$ 的包絡為 $$ E(t)=Bc[1+\mu x(t)] $$ 要使包絡與基頻訊號保持線性關係，並避免過度調變造成包絡交越，須使包絡因子不為負： $$ 1+\mu x(t)0 $$ 已知 $x(t)$ 最大值為 $2.5$，但要判斷下限，須知道 $x(t)$ 的最小值。依標準調幅題型的通常假設，訊號峰值為對稱雙極性，即 $x{\min}=-2.5$，故 $$ 1+\mu(-2.5)0 \quad\Longrightarrow\quad \mu<\frac{1}{2.5}=0.4 $$

Question 2

有一個線性非時變（linear time-invariant）的系統，稱為 $S$ ，其脈衝響應（impulse response）為：

$h(t)=e^{-t}\cdot u(t)$

其中 $u(t)$ 定義如下：

u(t)= \begin{cases} 1, & t\geq 0\\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}

(一) 請找出 $S$ 的轉換函數（transfer function）。（5 分）

(二) 有一個訊號：

$x(t)=u(t)-u(t-1)$

將其輸入系統 $S$ ，請找出對應的輸出（output）。（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 連續時間線性非時變系統（LTI）的轉換函數是脈衝響應的拉氏轉換： $$ H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\}. $$ 系統輸出可用時域摺積求得： $$ y(t)=x(t)h(t)=\int{-\infty}^{\infty}x(	au)h(t-	au)\,d	au. $$ 本題的輸入 $x(t)=u(t)-u(t-1)$ 是振幅為 $1$、持續時間為 $1$ 的矩形脈衝，因此也可將輸入拆成兩個階躍響應之差。 解題方法 （一）轉換函數 由 $h(t)=e^{-t}u(t)$，可得： $$ H(s)=\int0^\infty e^{-t}e^{-st}\,dt =\int0^\infty e^{-(s+1)t}\,dt =\frac{1}{s+1},\qquad \operatorname{Re}(s)-1. $$ 因此，系統轉換函數為： $$ \boxed{H(s)=\frac{1}{s+1}}. $$ （二）系統輸出 用摺積計算。由於 $x(	au)=1$ 僅在 $0\leq 	au<1$ 時成立，且 $h(t-	au)=e^{-(t-	au)}u(t-	au)$，因此： $$ y(t)=\int0^1 e^{-(t-	au)}u(t-	au)\,d	au. $$ 依 $t$ 的範圍分段： - 當 $t<0$，沒有重疊區間，故 $y(t)=0$。 - 當 $0\leq t<1$，積分範圍為 $0\leq	au\leq t$： $$ y(t)=\int0^t e^{-(t-	au)}\,d	au =1-e^{-t}. $$

Question 3

我們考慮一個數位通訊系統，其傳送端在每一個訊符時間（symbol duration）內傳送的訊號有四種可能，分別為：

$s_1(t)=\cos(\omega_0t)+\sin(\omega_0t)$

$s_2(t)=-\cos(\omega_0t)+\sin(\omega_0t)$

$s_3(t)=\cos(\omega_0t)-\sin(\omega_0t)$

$s_4(t)=-\cos(\omega_0t)-\sin(\omega_0t)$

(一) 在每一個訊符時間內，有多少個位元被傳送出去？（3 分）

(二) 這樣的調變（modulation）方式名稱為何？請寫出此調變的英文縮寫及全名。（3 分）

(三) 請畫出此調變的星座圖（constellation diagram），並在此星座圖中標出訊符與位元串的對應關係，同時這些位元串必須以格雷碼（Gray code）加以編列。（6 分）

(四) 此系統的接收端在進行解調（demodulation）時，應該使用下列何種方式：同調（coherent）解調、非同調（non-coherent）解調，或兩者均可？（3 分）

(五) 所謂同調解調，是指接收端的同步電路（synchronization circuit）必須截取出有關於載波（carrier）的哪些訊息？（5 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查正交載波調變的訊符數、每訊符位元數、星座圖標記，以及接收端是否需要載波同步。

令兩個正交基底為 $\cos(\omega_0t)$ 與 $\sin(\omega_0t)$ 。每個訊號都可寫成兩個基底的線性組合，其係數分別代表星座圖的兩個座標：

s(t)=I\cos(\omega_0t)+Q\sin(\omega_0t)

本題四個訊號的 $(I,Q)$ 座標為 $(1,1)$ 、 $(-1,1)$ 、 $(1,-1)$ 、 $(-1,-1)$ ，因此形成四個星座點。

解題方法與各小題

（一）每個訊符傳送的位元數

每個訊符有四種可能，故每訊符位元數為：

\log_2 4=2\ \text{bits/symbol}

因此，每個訊符時間傳送 2 個位元。

（二）調變方式名稱

四個星座點在 $I$ 、 $Q$ 軸上的振幅各有正、負兩種取值，構成正交振幅調變。

其名稱為 QAM（Quadrature Amplitude Modulation，正交振幅調變），此處為 4-QAM。其星座也等價於 QPSK（Quadrature Phase Shift Keying，四相位移鍵控）：四點到原點的距離相同、相位相隔 $90^\circ$ 。本題以 I、Q 兩個正交載波的振幅係數表示，稱為 4-QAM 最直接。

（三）星座圖與格雷碼對應

取橫軸為同相分量 $I$ ，縱軸為正交分量 $Q$ 。依題目訊號的係數，各點位置如下：

 Q
 ↑
 s₂：(-1, +1) │ s₁：(+1, +1)
 │
 01 │ 00
 ──────────────────────┼────────────────────→ I
 │
 s₄：(-1, -1) │ s₃：(+1, -1)
 │
 11 │ 10

Question 4

在通訊網路中以封包（packet）形式傳送資料時，封包之中會帶有循環冗餘校驗碼（cyclic redundancy check，簡稱 CRC）的部分；本題以一個簡單的例子探討 CRC 的計算及使用。

假設原始資料長度為 $8$ 個位元，使用生成多項式（generator polynomial）：

$g(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$

其位元串表示法為 $[11111]$ 。經過計算後產生 $4$ 個校驗位元（parity bits），形成總長度為 $8+4=12$ 個位元的封包。

(一) 在傳送端，假設資料位元串為 $[11100101]$ ，其多項式表示法為：

$x^7+x^6+x^5+x^2+1$

請找出加上 CRC 後的封包，共 $12$ 個位元。（5 分）

(二) 假設接收端收到的封包為 $[101101001001]$ ，是否應將其判定為其中有錯誤？請顯示推論或計算過程。（5 分）

(三) 在本題場景設定中，接收端經由 CRC 校驗判定封包沒有錯誤，但其實卻非如此的情況有可能發生，其機率為何？（5 分）

(四) 使用 CRC 機制時需要用到除法器。若以電路實作，除法器可以用線性回饋移位暫存器（linear feedback shift register，簡稱 LFSR）實現。針對本題的生成多項式：

$g(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$

請畫出「除以 $g(x)$ 」的 LFSR 除法器電路。（5 分）

Accepted Answer

核心觀念

CRC（循環冗餘校驗）把位元串視為 $\mathrm{GF}(2)$ 上的多項式。除法運算的係數加減皆為模 $2$ ，因此加法與減法都是 XOR：

$1+1=0$ ， $1+0=1$ 。
生成多項式 $g(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$ 的最高次數為 $4$ ，故 CRC 校驗碼長度為 $4$ 位元。
傳送端將資料多項式乘以 $x^4$ ，再除以 $g(x)$ ；所得餘式補在資料後面。
接收端以 $g(x)$ 除以收到的完整封包。餘式為 $0$ 表示通過校驗；非零則判定有錯誤。

解題方法

（一）求加上 CRC 後的封包

資料位元串為 $[11100101]$ 。因為 CRC 長度是 $4$ ，先在資料後補四個 $0$ ：

$11100101\,0000$

以生成位元串 $[11111]$ 作模 $2$ 長除法：

\begin{array}{r} 111001010000\\ \underline{111110000000}\\ 000111010000\\ \phantom{0}\underline{11111000000}\\ 000000100000\\ \phantom{0}\underline{00000111110}\\ 000000011110 \end{array}

餘式為 $[1110]$ 。因此將這四位校驗碼接在原始資料後，封包為：

$[111001011110]$

可用整串除法驗算： $111001011110$ 除以 $11111$ 的餘式為 $0000$ 。

（二）判定收到的封包是否有錯誤

收到的封包為 $[101101001001]$ 。以 $[11111]$ 做模 $2$ 除法：

\begin{array}{r} 101101001001\\ \underline{111110000000}\\ 010011001001\\ \phantom{0}\underline{01111100000}\\ 001100001001\\ \phantom{00}\underline{0011111000}\\ 000011101001\\ \phantom{000}\underline{0001111100}\\ 000000011101 \end{array}

餘式為 $[1101]$ ，不是 $[0000]$ ，故此封包未通過 CRC 校驗，應判定其中有錯誤。

（三）無錯誤判定但實際有錯的機率

Question 5

在無線通訊中，分集（diversity）是一個常用技術，使用場景是：針對傳送端所送出的同一個訊號（例如 $x$ ），接收端收到若干個互相獨立（或者至少是高度不相關（highly uncorrelated））的不同版本訊號（例如 $y_1=h_1\cdot x+n_1$ 、 $y_2=h_2\cdot x+n_2$ 、 $\ldots$ ），各自經過不同通道的訊號衰減（fading）以及加雜訊（noise）。

接收端要將這些訊號作合併，此動作稱為分集合併（diversity combining），然後再根據合併所得結果進行進一步的判定（decision）。

常見的分集合併方式有三種，分別為：選擇式合併（selection combining，簡稱 SC）、等增益式合併（equal-gain combining，簡稱 EGC），以及最大比值式合併（maximum ratio combining，簡稱 MRC）。

在本題中，假設接收端從三個不同路徑（path）收到訊號，其數值分別為 $0.73$ 、 $-0.24$ 、 $0.47$ ；經過通道估測（channel estimation）得知這三個路徑的訊雜比（signal-to-noise ratio，簡稱 SNR）分別為 $0.36$ 、 $0.16$ 、 $0.49$ ，三個訊號數值與三個訊雜比依序對應。

(一) 若依據 SC 作合併，合併所得的訊號數值為何？（5 分）

(二) 若依據 EGC 作合併，合併所得的訊號數值為何？（5 分）

(三) 若依據 MRC 作合併，合併所得的訊號數值為何？（5 分）

(四) 本小題假設通道中的雜訊為高斯白雜訊。若依據 MRC 作合併，合併所得的 SNR 為何？（5 分）

請注意：針對所有小題，都必須顯示計算或推論過程。

Accepted Answer

核心觀念

分集合併利用同一訊號經過不同衰落通道後的多份接收結果，降低衰落對判決的影響。本題給定三路接收值 $r_i$ 與各路 SNR $\gamma_i$ ，並依一般同相補償後的合併規則計算：

選擇式合併（SC）：選取 SNR 最大的一路。
等增益式合併（EGC）：將各路訊號相位校正至同相後，以相同權重相加；題目中的接收值視為已完成相位校正。
最大比值式合併（MRC）：依各路通道品質加權相加。若接收雜訊功率相同，權重與 SNR 成正比，可寫為 $z_{\mathrm{MRC}}=\sum_i\gamma_i r_i$ 。

已知

(r_1,r_2,r_3)=(0.73,-0.24,0.47),\qquad (\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)=(0.36,0.16,0.49).

解題方法與計算

(一) SC 合併

比較三路 SNR：

\gamma_1=0.36,\qquad \gamma_2=0.16,\qquad \gamma_3=0.49.

最大值為 $\gamma_3=0.49$ ，因此選取第三路接收訊號：

z_{\mathrm{SC}}=r_3=0.47.

111 警察特考三等交通警察人員電訊組通訊系統考古題詳解

第一題25 分

核心觀念

解題方法

（一）判斷 $s_1(t)$ 的調變方式

（二）判斷 $s_2(t)$ 的調變方式

（三）比較占用頻寬

（四）包絡偵測器的調變指數門檻

第二題15 分

核心觀念

解題方法

（一）轉換函數

（二）系統輸出

第三題20 分

核心觀念

解題方法與各小題

（一）每個訊符傳送的位元數

（二）調變方式名稱

（三）星座圖與格雷碼對應

第四題20 分

核心觀念

解題方法

（一）求加上 CRC 後的封包

（二）判定收到的封包是否有錯誤

（三）無錯誤判定但實際有錯的機率

第五題20 分

核心觀念

解題方法與計算

(一) SC 合併

(二) EGC 合併

其他考古題

111 年交通警察人員電訊組的其他科目

交通警察人員電訊組《通訊系統》其他年度

111 警察特考三等 交通警察人員電訊組 通訊系統 考古題詳解

第 一 題25 分

核心觀念

解題方法

（一）判斷 s1(t)s_1(t)s1​(t) 的調變方式

（二）判斷 s2(t)s_2(t)s2​(t) 的調變方式

（三）比較占用頻寬

（四）包絡偵測器的調變指數門檻

第 二 題15 分

核心觀念

解題方法

（一）轉換函數

（二）系統輸出

第 三 題20 分

核心觀念

解題方法與各小題

（一）每個訊符傳送的位元數

（二）調變方式名稱

（三）星座圖與格雷碼對應

第 四 題20 分

核心觀念

解題方法

（一）求加上 CRC 後的封包

（二）判定收到的封包是否有錯誤

（三）無錯誤判定但實際有錯的機率

第 五 題20 分

核心觀念

解題方法與計算

(一) SC 合併

(二) EGC 合併

其他考古題

111 年交通警察人員電訊組的其他科目

交通警察人員電訊組《通訊系統》其他年度

111 警察特考三等交通警察人員電訊組通訊系統考古題詳解

第一題25 分

（一）判斷 $s_1(t)$ 的調變方式

（二）判斷 $s_2(t)$ 的調變方式

第二題15 分

第三題20 分

第四題20 分

第五題20 分