111 警察特考三等 交通警察人員電訊組 電路學 考古題詳解

111 年・警察特考・三等・交通警察人員電訊組
試題代碼 電路學

第 一 題20 分

如圖一所示電路，試求理想電壓源 VsV_s 看到的等效電阻值 ReqR_{eq} 與電路中 31 Ω31\ \Omega 電阻器所消耗的功率分別為何？（20 分）

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核心觀念

本題考查：

  1. 電阻網路的等效電阻。
  2. 串聯電阻分壓。
  3. 節點電壓法。
  4. 電阻消耗功率公式：
P=V2R=I2RP=\frac{V^2}{R}=I^2R

圖中 1.5 Ω1.5\ \Omega 電阻與後方複雜電阻網路串聯，因此先求右側網路的等效電阻，再加上 1.5 Ω1.5\ \Omega。

解題方法

令 1.5 Ω1.5\ \Omega 左側節點電壓為 VAV_A，下方公共節點為接地。先以 VA=1 VV_A=1\ \text{V} 分析右側電阻網路。

設各節點電壓如下：

  • 左側第一節點：BB
  • 左側第二節點：CC
  • 右側第一節點：EE
  • 右側第二節點：FF
  • 右側第三節點：GG

由右上及右下支路的節點方程：

E−120+E−F30=0\frac{E-1}{20}+\frac{E-F}{30}=0

因此

E=0.6+0.4FE=0.6+0.4F

對節點 GG：

G−F20+G40+G−C80=0\frac{G-F}{20}+\frac{G}{40}+\frac{G-C}{80}=0

整理得

G=4F+C7G=\frac{4F+C}{7}

對節點 BB、CC、FF使用 KCL，可得：

313B−100C−71F=142313B-100C-71F=142 2473C−840B−426F=02473C-840B-426F=0 108F−15C−21B=42108F-15C-21B=42

聯立解得：

F=0.568925 VF=0.568925\ \text{V} C=0.331962 VC=0.331962\ \text{V} B=0.688786 VB=0.688786\ \text{V}

因此

G=4F+C7=0.372523 VG=\frac{4F+C}{7}=0.372523\ \text{V}

輸入端電流為

Iin=1−B50+1−E20I_{\text{in}} =\frac{1-B}{50}+\frac{1-E}{20}

其中

E=0.6+0.4F=0.827570 VE=0.6+0.4F=0.827570\ \text{V}

所以

Iin=1−0.68878650+1−0.82757020=0.0148458 AI_{\text{in}} =\frac{1-0.688786}{50} +\frac{1-0.827570}{20} =0.0148458\ \text{A}

右側電阻網路的等效電阻：

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第 二 題20 分

圖二所示電路中的雙埠網路阻抗參數為：[z]=[10−6−412] Ω[z] = \begin{bmatrix} 10 & -6 \\ -4 & 12 \end{bmatrix}\ \Omega，試求 I1I_1、I2I_2、V1V_1 及 V2V_2。（20 分）

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核心觀念

雙埠網路的阻抗參數定義為

[V1V2]=[z11z12z21z22][I1I2]\begin{bmatrix} V_1\\ V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} z_{11} & z_{12}\\ z_{21} & z_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_1\\ I_2 \end{bmatrix}

因此本題有

V1=10I1−6I2V_1=10I_1-6I_2 V2=−4I1+12I2V_2=-4I_1+12I_2

圖中 I1I_1、I2I_2 均定義為流入雙埠網路的電流。

解題方法

左側 3 A 電流源與 4Ω4\Omega 電阻並聯，經由 2Ω2\Omega 電阻接至雙埠網路。

設左側上方節點電壓為 VaV_a，由 KCL：

3=Va4+I13=\frac{V_a}{4}+I_1

所以

Va=12−4I1V_a=12-4I_1

2Ω2\Omega 電阻上的壓降為 2I12I_1，故

V1=Va−2I1V_1=V_a-2I_1 V1=12−6I1V_1=12-6I_1

右側為 10Ω10\Omega 負載，因 I2I_2 的方向流入雙埠網路，與負載電流方向相反，因此

I2=−V210I_2=-\frac{V_2}{10}

即

V2=−10I2V_2=-10I_2

將外部電路關係與雙埠網路方程聯立。

由第一埠：

10I1−6I2=12−6I110I_1-6I_2=12-6I_1 16I1−6I2=12(1)16I_1-6I_2=12 \tag{1}

由第二埠：

−4I1+12I2=−10I2-4I_1+12I_2=-10I_2 −4I1+22I2=0(2)-4I_1+22I_2=0 \tag{2}

由式 (2)(2)：

I1=112I2I_1=\frac{11}{2}I_2

代入式 (1)(1)：

16(112I2)−6I2=1216\left(\frac{11}{2}I_2\right)-6I_2=12 82I2=1282I_2=12
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第 三 題20 分

圖三所示電路中的開關 SS 在 t=0t = 0 時被打開前電路已達穩態。試求當 t≥0t \ge 0 時 io(t)i_o(t) 及 vo(t)v_o(t) 之表示式分別為何？（20 分）

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核心觀念

本題考查一階 RLRL 暫態電路，使用：

  1. 電感電流連續性： io(0+)=io(0−).i_o(0^+)=i_o(0^-).

  2. 電感自然響應： io(t)=io(0+)e−t/τ,τ=LReq.i_o(t)=i_o(0^+)e^{-t/\tau},\qquad \tau=\frac{L}{R_{\text{eq}}}.

  3. 穩態直流時，電感視為短路。

一、求初始電流 io(0−)i_o(0^-)

在 t<0t<0 時開關 SS 閉合，且電路已達直流穩態，因此 0.02 H0.02\text{ H} 電感為短路。

右側 3Ω3\Omega、60Ω60\Omega、15Ω15\Omega 網路兩端電壓皆為零，故不影響左側電路。

左側的 50Ω50\Omega 與 75Ω75\Omega 並聯：

50∥75=50(75)50+75=30Ω.50\parallel 75 =\frac{50(75)}{50+75} =30\Omega.

因此電壓源所見總電阻為：

Rtotal=20+30=50Ω.R_{\text{total}}=20+30=50\Omega.

電源電流為：

I=5050=1 A.I=\frac{50}{50}=1\text{ A}.

20Ω20\Omega 電阻右端電壓為：

VA=1(30)=30 V.V_A=1(30)=30\text{ V}.

流經 50Ω50\Omega 電阻而進入電感的電流為：

io(0−)=3050=0.6 A.i_o(0^-)=\frac{30}{50}=0.6\text{ A}.

由電感電流連續性：

io(0+)=io(0−)=0.6 A.i_o(0^+)=i_o(0^-)=0.6\text{ A}.

二、求 t≥0t\ge 0 時的 io(t)i_o(t)

在 t=0t=0 開關打開後，左側電源與電感分離，電感經由右側電阻放電。

右側 60Ω60\Omega 與 15Ω15\Omega 並聯：

Rp=60∥15=60(15)60+15=12Ω.R_p=60\parallel 15 =\frac{60(15)}{60+15} =12\Omega.

電感所見等效電阻為：

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第 四 題20 分

如圖四所示電路，試求負載 ZLZ_L 可獲得之最大平均功率為何？並求此時之 ZLZ_L 值為何？（20 分）

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核心觀念

本題考查含受控電流源電路的最大平均功率傳輸定理。將負載 ZLZ_L 端看成戴維寧等效電路：

ZL=Zth∗Z_L=Z_{\mathrm{th}}^*

最大平均功率為

PL,max⁡=∣Vth,rms∣24Re⁡(Zth)P_{L,\max}=\frac{|V_{\mathrm{th,rms}}|^2}{4\operatorname{Re}(Z_{\mathrm{th}})}

受控源不能關閉，求 ZthZ_{\mathrm{th}} 時必須保留。

一、求戴維寧電壓 VthV_{\mathrm{th}}

工作角頻率為

ω=4 rad/s\omega=4\ \mathrm{rad/s}

因此

ZC=1jωC=1j(4)(0.05)=−j5 ΩZ_C=\frac{1}{j\omega C}=\frac{1}{j(4)(0.05)}=-j5\ \Omega YC=j0.2 S,YL=1jωL=−j0.25 SY_C=j0.2\ \mathrm{S},\qquad Y_L=\frac{1}{j\omega L}=-j0.25\ \mathrm{S}

令電容上端電壓為 Va=voV_a=v_o，負載端電壓為 Vb=VthV_b=V_{\mathrm{th}}。負載開路時，電感仍然存在。

對節點 aa 寫 KCL：

Va−Vs2+j0.2Va+Va−Vb4+0.5Va=0\frac{V_a-V_s}{2}+j0.2V_a+\frac{V_a-V_b}{4}+0.5V_a=0

整理得

(1.25+j0.2)Va−0.25Vb=0.5Vs(1.25+j0.2)V_a-0.25V_b=0.5V_s

對節點 bb 寫 KCL：

Vb−Va4−0.5Va+Vbj4=0\frac{V_b-V_a}{4}-0.5V_a+\frac{V_b}{j4}=0

整理得

−0.75Va+(0.25−j0.25)Vb=0-0.75V_a+(0.25-j0.25)V_b=0

所以

Vb=1.5(1+j)VaV_b=1.5(1+j)V_a

代回第一式：

Va=0.5Vs0.875−j0.175V_a=\frac{0.5V_s}{0.875-j0.175}

故

VthVs=0.75(1+j)0.875−j0.175=0.6591+j0.9890\frac{V_{\mathrm{th}}}{V_s} =\frac{0.75(1+j)}{0.875-j0.175} =0.6591+j0.9890

題目電壓源為

vs(t)=10cos⁡4t Vv_s(t)=10\cos4t\ \mathrm{V}

以峰值相量計算：

Vth=(0.6591+j0.9890)(10)=6.591+j9.890 VV_{\mathrm{th}}=(0.6591+j0.9890)(10) =6.591+j9.890\ \mathrm{V}

其有效值平方為

∣Vth,rms∣2=∣Vth∣22=6.5912+9.89022≈70.64|V_{\mathrm{th,rms}}|^2 =\frac{|V_{\mathrm{th}}|^2}{2} =\frac{6.591^2+9.890^2}{2} \approx70.64
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第 五 題20 分

如圖五所示電路，試求電路中電壓源 vs(t)v_s(t) 所提供的平均功率及 50 Ω50\ \Omega 電阻所消耗的平均功率分別為何？（20 分）

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核心觀念

本題考查：

  1. 正弦穩態電路的相量分析。
  2. 互感耦合電感的阻抗方程式。
  3. 電壓源平均供給功率與電阻平均消耗功率： P=12Re⁡{VI∗}P=\frac{1}{2}\operatorname{Re}\left\{V I^*\right\}
  4. 電阻平均功率： PR=∣VR∣22RP_R=\frac{|V_R|^2}{2R}

題目給定

vs(t)=40cos⁡(20t) Vv_s(t)=40\cos(20t)\ \text{V}

因此角頻率為

ω=20 rad/s\omega=20\ \text{rad/s}

採用峰值相量，故

Vs=40∠0∘ VV_s=40\angle 0^\circ\ \text{V}

圖中兩個電感的點標記均在上端，定義兩線圈電流皆由點端流入，則互感項取正號。

解題方法

令：

  • i1i_1：流入 1 H1\ \text{H} 電感點端的電流
  • i2i_2：流入 2 H2\ \text{H} 電感點端的電流
  • Va=VsV_a=V_s：左側電壓源上端電壓
  • VbV_b：右側節點電壓，即 50 Ω50\ \Omega 電阻兩端電壓

互感值為

M=0.5 HM=0.5\ \text{H}

耦合電感的相量關係為

[V1V2]=[jωL1jωMjωMjωL2][i1i2]\begin{bmatrix} V_1\\ V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} j\omega L_1 & j\omega M\\ j\omega M & j\omega L_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_1\\ i_2 \end{bmatrix}

代入 ω=20\omega=20、L1=1L_1=1、L2=2L_2=2、M=0.5M=0.5：

V1=j20i1+j10i2V_1=j20i_1+j10i_2 V2=j10i1+j40i2V_2=j10i_1+j40i_2

左側節點方程式

8 Ω8\ \Omega 電阻上的電壓降為 8i18i_1，故

Va−8i1=V1V_a-8i_1=V_1

因此

Va=(8+j20)i1+j10i2(1)V_a=(8+j20)i_1+j10i_2 \tag{1}

右側節點方程式

右側節點經由 10 Ω10\ \Omega 電阻與 50 Ω50\ \Omega 電阻接至電路，其 KCL 為

Va−Vb10=Vb50+i2\frac{V_a-V_b}{10}=\frac{V_b}{50}+i_2

整理得

Vb=56Va−253i2(2)V_b=\frac{5}{6}V_a-\frac{25}{3}i_2 \tag{2}

另一方面，

Vb=j10i1+j40i2(3)V_b=j10i_1+j40i_2 \tag{3}

將式 (2)(2)、(3)(3) 聯立，並先令 Va=1V_a=1，得到

🔒

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交通警察人員電訊組《電路學》其他年度

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