110 警察特考三等 交通警察人員電訊組 電路學 考古題詳解

核心觀念

戴維寧等效電路由端點的開路電壓 $V_{\mathrm{th}}$ 與等效電阻 $R_{\mathrm{th}}$ 組成；諾頓等效電路則由短路電流 $I_{\mathrm{N}}$ 與並聯電阻 $R_{\mathrm{N}}$ 組成，且

電路含有受控電壓源，求 $R_{\mathrm{th}}$ 時必須保留受控源；將獨立電流源設為零，等同將該電流源支路開路，再由端點施加測試電壓求等效電阻。

解題方法

令 $B$ 為參考地，設受控電壓源左側節點電壓為 $V_x$，右側節點電壓為 $V_y$。圖中控制電流 $i$ 流經右側垂直的 $2\,\Omega$ 電阻，方向向下，因此

受控電壓源左端為負、右端為正，故

（一）戴維寧等效與諾頓等效

1. 開路電壓 $V_{\mathrm{th}}$

$A$ 端開路時，頂端串聯的 $2\,\Omega$ 電阻沒有電流，因此 $V_A=V_y$。對受控電壓源兩端構成的超節點套用 KCL，$5\,\mathrm{A}$ 電流源向超節點注入電流：

代入 $V_x=-V_y/2$：

所以

2. 等效電阻 $R_{\mathrm{th}}$

將獨立 $5\,\mathrm{A}$ 電流源開路，在 $A$、$B$ 端施加測試電壓 $V_t$。受控源仍作用，仍有 $V_x=-V_y/2$。超節點 KCL 為

代入 $V_x=-V_y/2$，得

核心觀念

本題考查正弦穩態下的相量阻抗、串並聯化簡，以及電阻的平均功率。電感與電容的阻抗分別為 $Z_L=j\omega L$、$Z_C=\dfrac{1}{j\omega C}$；電阻消耗的平均功率為 $P=I_{\mathrm{rms}}^2R$。

解題方法

由電源標示 $45\sin t$ 可知角頻率 $\omega=1\ \mathrm{rad/s}$。依題目文字所述，電源有效值採 $45\ \mathrm{V}$ 計算。

右側串聯支路的阻抗為

上下兩個電感和電容的電抗互相抵消，因此右側支路等效為 $12\ \Omega$。此支路與 $6\ \Omega$ 電阻並聯：

左側電感阻抗為 $j3\ \Omega$，故電源看到的總阻抗為

因此穩態電流相量為

核心觀念

本題考查平衡三相系統的線電壓、相電壓關係，以及三相總功率與功率因數的公式。

電源為 Y 接，因此電源線電壓有效值為

負載為平衡 Δ 接，且總有功功率可用線電壓與線電流表示：

解題方法

（一）線電流 $i_a$ 的有效值

已知電源相電壓 $V_{P,\mathrm{rms}}=200\ \mathrm{V}$，故線電壓為

代入三相總有功功率公式：

因此線電流 $i_a$ 的有效值為 $2.5\ \mathrm{A}$。

（二）負載每相阻抗相量 $\dot Z_P$

Δ 接負載的每相電壓等於線電壓：

核心觀念

本題考串聯 RLC 電路的自然響應與正弦穩態響應。電容的電流與電壓關係為 $i(t)=C\,dv(t)/dt$；將此式代入 KVL，可得到以電容電壓為未知數的二階微分方程。總響應由暫態響應與穩態響應相加，再由初始條件決定暫態係數。

由圖可讀得 $v_s(t)=4\cos t\ \mathrm{V}$、$L=1\ \mathrm{H}$、$R=2\ \Omega$、$C=\frac15\ \mathrm{F}$。

解題方法

串聯電路中各元件電流相同，且 $i=C\,dv/dt$。依 KVL：

代入 $i=C\,dv/dt$，得

（一）電容電壓的二次微分方程式

代入元件值：

因此

初始條件除了題目給的 $v(0)=6\ \mathrm{V}$，還需由 $i(0)=C v'(0)$ 得到

（二）$v(t)$ 的暫態響應

先解齊次方程：

所以暫態響應的形式為

（三）$v(t)$ 的穩態響應

對方程 $v''+2v'+5v=20\cos t$ 求正弦穩態響應。以相量表示，頻率 $\omega=1$，故

轉回時域：

利用初始條件求暫態係數。由 $v(0)=v_{\mathrm{tr}}(0)+v_{\mathrm{ss}}(0)=6$：

核心觀念

雙埠網路的 $y$ 參數以端口電壓表示端口電流：

端口電流 $I_1、I_2$ 的方向均以流入網路為正。圖中電容為 $1\,\mathrm F$，在 $s$ 域的導納為 $s$；受控電壓源的上端為負、下端為正，且電壓值為 $V_1/4$。受控源必須保留在電路方程中。

解題方法

令兩端口下方共用導線為參考地。設 $V_2$ 端的 $1\,\Omega$ 電阻與受控電壓源之間的節點電壓為 $V_x$。由受控源的極性可得：

在輸入端節點寫電流方程：

在輸出端節點寫電流方程。由輸出端經 $1\,\Omega$ 電阻流向節點 $V_x$ 的電流為 $V_2-V_x$，因此：

與 $y$ 參數定義比較，可得：