107 年鐵路特考高員三級電子工程考古題與詳解

Question 1

若線性轉換（linear transformation）矩陣 $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ 的作用是將在 $\mathbb{R}^2$ 上的向量逆時針旋轉角度 $\theta$ ，試以詳細計算過程求出：

(一) 此線性轉換矩陣。（7 分）

(二) 順時針旋轉角度 $\theta$ 的線性轉換矩陣。（3 分）

Accepted Answer

核心觀念 1. 標準基底映射與轉換矩陣（Matrix Representation with Respect to Standard Basis）： 在有限維向量空間 $\mathbb{R}^n$ 中，任意線性轉換 $T:\mathbb{R}^n 	o \mathbb{R}^n$ 均可由標準基底 $\mathcal{E} = \{\mathbf{e}1, \mathbf{e}2, \dots, \mathbf{e}n\}$ 之映射結果唯一決定。若已知標準基底的像向量 $T(\mathbf{e}1), T(\mathbf{e}2), \dots, T(\mathbf{e}n)$，則對應於標準基底的標準轉換矩陣 $[T]$ 即為以該組像向量為行向量（column vectors）所組成的矩陣： $$[T] = \begin{bmatrix} T(\mathbf{e}1) & T(\mathbf{e}2) & \cdots & T(\mathbf{e}n) \end{bmatrix}$$ 2. 三角函數和角公式與極座標旋轉： 平面上點之座標可表示為極座標 $(r\cos\phi, r\sin\phi)$，旋轉變換僅改變夾角而不改變純量長度（$r$ 保持不變）。利用三角函數的和角公式： $$\cos(\phi + 	heta) = \cos\phi\cos	heta - \sin\phi\sin	heta$$ $$\sin(\phi + 	heta) = \sin\phi\cos	heta + \cos\phi\sin	heta$$ 3. 旋轉矩陣之代數特性與反運算： - 逆時針旋轉角 $	heta$ 與順時針旋轉角 $	heta$ 互為反向運算，即順時針旋轉角度 $	heta$ 等價於逆時針旋轉角度 $-	heta$。 - 旋轉變換屬於正交變換（Orthogonal Transformation），其轉換矩陣為正交矩陣（Orthogonal Matrix），具備反矩陣等於轉置矩陣之性質，即 $R(-	heta) = R(	heta)^{-1} = R(	heta)^T$。 --- 解題方法 (一) 求逆時針旋轉角度 $	heta$ 的線性轉換矩陣 步驟一：設定 $\mathbb{R}^2$ 的標準基底 取 $\mathbb{R}^2$ 之標準基底為： $$\mathbf{e}1 = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{e}2 = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}$$ 步驟二：求各基底向量經逆時針旋轉角度 $	heta$ 後的影像 1. 向量 $\mathbf{e}1$ 位於正 $x$ 軸上，長度為 $1$。逆時針旋轉角度 $\…

Question 2

假設隨機變數 $X$ 的累積分布函數（cumulative distribution function）可以表示成

F(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ \dfrac{x^2}{7}, & 0\leq x<1,\\ \dfrac{2x}{7}-\dfrac{1}{7}, & 1\leq x<3,\\ \dfrac{5x}{7}-\dfrac{x^2}{14}-\dfrac{11}{14}, & 3\leq x<5,\\ 1.0, & 5\leq x. \end{cases}

(一) 試求出隨機變數 $X$ 的機率密度函數（probability density function） $f(x)$ 為何？（5 分）

(二) 試求出 $P(1\leq X\leq 4)=？$ （5 分）

Accepted Answer

核心觀念 1. 累積分布函數（CDF）與機率密度函數（PDF）的關係： 若隨機變數 $X$ 為連續型隨機變數，其累積分布函數 $F(x)$ 處處連續，則機率密度函數 $f(x)$ 為 $F(x)$ 的一階導數（在可微點上）： $$f(x) = \dfrac{d}{dx}F(x) = F'(x)$$ 2. 連續型隨機變數的區間機率計算： 對於連續型隨機變數，任意單一點的機率皆為零（即 $P(X = c) = 0$），因此區間端點是否包含等號對機率值沒有影響： $$P(a \leq X \leq b) = P(a < X \leq b) = P(a \leq X < b) = P(a < X < b) = F(b) - F(a)$$ 此性質亦等價於機率密度函數在該區間的定積分： $$P(a \leq X \leq b) = \int{a}^{b} f(x) \, dx$$ --- 解題方法 (一) 求機率密度函數 $f(x)$ 先檢驗 $F(x)$ 在各分段交界點處的連續性： - 在 $x = 0$ 處：$\lim{x 	o 0^-} F(x) = 0$，$F(0) = \dfrac{0^2}{7} = 0$，函數連續。 - 在 $x = 1$ 處：$\lim{x 	o 1^-} F(x) = \dfrac{1^2}{7} = \dfrac{1}{7}$，$F(1) = \dfrac{2(1)}{7} - \dfrac{1}{7} = \dfrac{1}{7}$，函數連續。 - 在 $x = 3$ 處：$\lim{x 	o 3^-} F(x) = \dfrac{2(3)}{7} - \dfrac{1}{7} = \dfrac{5}{7}$，$F(3) = \dfrac{5(3)}{7} - \dfrac{3^2}{14} - \dfrac{11}{14} = \dfrac{30 - 9 - 11}{14} = \dfrac{10}{14} = \dfrac{5}{7}$，函數連續。 - 在 $x = 5$ 處：$\lim{x 	o 5^-} F(x) = \dfrac{5(5)}{7} - \dfrac{5^2}{14} - \dfrac{11}{14} = \dfrac{50 - 25 - 11}{14} = \dfrac{14}{14} = 1.0$，$F(5) = 1.0$，函數連續。 $F(x)$ 在全實數軸上處處連續且單調非遞減，確認 $X$ 為連續型隨機變數。對各區間逐段求導： 1. 當 $x < 0$ 時： $$f(x) = \dfrac{d}{dx}(0) = 0$$ 2. 當 $0 < x < 1$ 時： $$f(x) = \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^2}{7}ight) = \dfrac{2x}{7}$…

Question 3

試求複變函數 $$ f(z)=\frac{1}{z^2-3z+2} $$ 對 $z0=0$ 展開的所有泰勒級數（Taylor series）及羅倫級數（Laurent series）。（15 分）

Accepted Answer

核心觀念 1. 奇異點（Singularities）與展開區域劃分： 有理函數之極點（Poles）決定了展開級數的收斂邊界。若以 $z0$ 為展開中心，各奇異點至 $z0$ 的距離會將複數平面分割為數個同心圓盤或同心圓環區域。 2. 泰勒級數（Taylor Series）： 若函數在以 $z0$ 為圓心的圓盤內部 $|z - z0| < R$ 處處解析（無奇異點），則展開式必為純非負整數次冪的泰勒級數（Maclaurin 級數）。 3. 羅倫級數（Laurent Series）： 若展開區域為夾在奇異點之間的圓環 $R1 < |z - z0| < R2$ 或外圍區域 $|z - z0| R2$，展開式會同時包含正冪項（解析部）與負冪項（主部），或僅含負冪項。 4. 部分分式分解與無窮等比級數公式： 利用部分分式將分母因式分解為一階項之和，並套用收斂條件為 $|w| < 1$ 的幾何級數公式： $$ \frac{1}{1 - w} = \sum{n=0}^{\infty} w^n \quad (|w| < 1) $$ --- 解題方法 步驟一：部分分式分解（Partial Fraction Decomposition） 將分母因式分解： $$ z^2 - 3z + 2 = (z - 1)(z - 2) $$ 設： $$ f(z) = \frac{1}{(z - 1)(z - 2)} = \frac{A}{z - 1} + \frac{B}{z - 2} $$ 利用覆蓋法（Heaviside cover-up method）求係數： $$ A = \lim{z 	o 1} \frac{1}{z - 2} = -1, \quad B = \lim{z 	o 2} \frac{1}{z - 1} = 1 $$ 故函數可拆解為： $$ f(z) = -\frac{1}{z - 1} + \frac{1}{z - 2} = \frac{1}{1 - z} - \frac{1}{2 - z} $$ 步驟二：判斷奇異點與劃分收斂區域 展開中心為 $z0 = 0$。函數具有兩個單極點：$z = 1$ 與 $z = 2$，至原點距離分別為 $|z| = 1$ 與 $|z| = 2$。 因此，以 $z0 = 0$ 為中心，複數平面被分割為三個解析區域： 1. 區域 I（圓盤內部）：$|z| < 1$ 2. 區域 II（同心圓環）：$1 < |z| < 2$ 3. 區域 III（外圍無窮區域）：$|z| 2$ 步驟三：各區域級數推導 (1) 區域 I：$|z| < 1$（泰勒級數） 此區域包含原點且無任何奇異點，展開式為泰勒級數。 - 因 $|z| < 1$： $$ \frac{1}{1 - z} = \sum{n=0}^{\infty} z^n $$ - 因 $|z| < 1…

Question 4

利用 Frobenius 級數 $$ y(x)=x^r\sum{m=0}^{\infty}amx^m $$ 的方法求解微分方程式 $$ (x^2-x)y''-xy'+y=0。 $$ （15 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題評量正則奇異點（Regular Singular Point）的 Frobenius 級數解法，涵蓋以下核心理論： 1. 正則奇異點判別： 將二階線性常微分方程式化為標準式： $$y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$$ 若 $x = 0$ 使 $P(x)$ 或 $Q(x)$ 發散，但 $xP(x)$ 與 $x^2Q(x)$ 在 $x = 0$ 處均為解析（Analytic），則 $x = 0$ 為正則奇異點，可使用 Frobenius 級數展開： $$y(x) = x^r \sum{m=0}^{\infty} am x^m = \sum{m=0}^{\infty} am x^{m+r} \quad (a0 
eq 0)$$ 2. 指標方程式（Indicial Equation）： 由最低次項（$x^{r-1}$）之係數令其為零，可求得指標根 $r1, r2$。 3. 指標根差為整數之情況（$r1 - r2 = N \in \mathbb{Z}^+$）： - 較大根 $r1$ 恆可保證求得第一個基底解 $y1(x)$。 - 較小根 $r2$ 在推導遞迴關係時，可能因分母為零或出現矛盾而無法直接求得純冪級數解。此時第二個線性獨立解 $y2(x)$ 必然包含對數項 $\ln x$，可利用 Frobenius 參數微分法 $\left. \frac{\partial y(x,r)}{\partial r} ight|{r=r2}$ 或配合降階法（Reduction of Order）求解。 --- 解題方法 步驟一：設定級數形式及其各階導數 依題意，在 $x = 0$ 處設解為 Frobenius 級數： $$y(x) = \sum{m=0}^{\infty} am x^{m+r} \quad (a0 
eq 0)$$ 對 $x$ 逐項微分： $$y'(x) = \sum{m=0}^{\infty} (m+r)am x^{m+r-1}$$ $$y''(x) = \sum{m=0}^{\infty} (m+r)(m+r-1)am x^{m+r-2}$$ 步驟二：代入原微分方程式 原式為 $(x^2 - x)y'' - xy' + y = 0$，將各項分別展開： 1. $x^2 y'' = \sum{m=0}^{\infty} (m+r)(m+r-1)am x^{m+r}$ 2. $-x y'' = -\sum{m=0}^{\infty} (m+r)(m+r-1)am x^{m+r-1}$ 3. $-x y' = -\sum{m=0}^{\infty} (m+r)am x^{m+r}$ 4. $y = \sum{m=0}^{\infty} am x^{m+r}$ 將上述各項相加並同類項合併： $$-\sum{m=0}^{\infty}…

Question 5

向量 $u=(-1,4,2,3)$ 於向量 $v=(-1,0,2,2)$ 之投影（projection）的長度為何？ (A) $\dfrac{11}{3}$ (B) $\dfrac{11}{9}$ (C) $\dfrac{11}{\sqrt{30}}$ (D) $\dfrac{11}{30}$

Accepted Answer

核心觀念

向量 $u$ 在向量 $v$ 上的投影長度，是 $u$ 與 $v$ 的內積除以 $v$ 的長度後取絕對值：

\left\|\operatorname{proj}_{v}u\right\| =\frac{|u\cdot v|}{\|v\|}

解題方法

先計算內積：

u\cdot v=(-1)(-1)+4(0)+2(2)+3(2)=1+0+4+6=11

再計算 $v$ 的長度：

\|v\|=\sqrt{(-1)^2+0^2+2^2+2^2} =\sqrt{1+4+4}=3

因此投影長度為：

\left\|\operatorname{proj}_{v}u\right\| =\frac{|11|}{3}=\frac{11}{3}

選項分析

Answer

答案：A

Question 6

下為敘述何者恆真？ (A) $V$ 為向量空間（vector space），$W$ 是 $V$ 的子集合（subset），則 $W$ 是 $V$ 的子空間（subspace）。 (B) 空集合為任意一向量空間的子空間。 (C) $V$ 為非零向量空間，則 $V$ 包含一子空間 $W$ 且 $W
e V$。 (D) $V$ 的任意二個子集合的交集（intersection）仍然是 $V$ 的子空間。

Accepted Answer

核心觀念 向量空間 $V$ 的子空間，必須是 $V$ 的非空子集合，並且在原向量加法與純量乘法下仍形成向量空間。常用判準是：$W\subseteq V$、$W
e\varnothing$，且對任意 $u,v\in W$ 與純量 $c$，皆有 $u+v\in W$、$cu\in W$。 特別是，任何向量空間都含有零子空間 $\{0\}$；若 $V$ 非零，則 $\{0\}
e V$，所以它是 $V$ 的真子空間。 解題方法 逐項檢查敘述是否符合子空間的定義，並用簡單反例辨認把「子集合」誤當成「子空間」的選項。 選項分析 (A) 錯誤。 子集合不一定符合子空間的封閉性，也不一定包含零向量。例如在 $\mathbb{R}^2$ 中，取 $W=\{(1,0)\}$，它是 $\mathbb{R}^2$ 的子集合，但不含零向量，因此不是子空間。

Answer

答案：C

Question 7

試求點 $(2,0,0)$ 到平面 $x+2y+2z=0$ 的距離為何？ (A) $1$ (B) $2$ (C) $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ (D) $\dfrac{2}{3}$

Accepted Answer

核心觀念 點 $(x0,y0,z0)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距離，是該點到平面的垂直距離，公式為 $$ d=\frac{|Ax0+By0+Cz0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}. $$ 分母是平面的法向量 $(A,B,C)$ 的長度。 解題方法 將平面 $x+2y+2z=0$ 與點 $(2,0,0)$ 代入距離公式： $$ d=\frac{|1\cdot 2+2\cdot 0+2\cdot 0+0|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}} =\frac{2}{\sqrt{9}} =\frac{2}{3}. $$ 因此，點到平面的距離為 $\dfrac{2}{3}$。

Answer

答案：D

Question 8

給定三個 $n	imes n$ 之可逆矩陣 $A$、$B$、$C$，下列敘述何者錯誤？ (A) $(ABC)^T=C^TB^TA^T$ (B) $(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}$ (C) 若矩陣 $A$ 是正交矩陣（orthogonal matrix），則矩陣 $A$ 的反矩陣是 $A^T$ (D) $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查線性代數中方陣代數運算的基本性質，主要涵蓋以下核心知識點： 1. 矩陣乘積之轉置的反序律（Reversal Rule for Transposition）：對於相容矩陣乘積，轉置後各項順序顛倒，即 $(ABC)^T = C^T B^T A^T$。 2. 矩陣乘積之反矩陣的反序律（Reversal Rule for Inversion）：可逆矩陣相乘之反矩陣，其各項反矩陣順序顛倒，即 $(ABC)^{-1} = C^{-1} B^{-1} A^{-1}$。 3. 正交矩陣（Orthogonal Matrix）之定義與性質：滿足 $A^T A = A A^T = I$ 的實方陣，其反矩陣恰等於其轉置矩陣，即 $A^{-1} = A^T$。 4. 矩陣乘法不具交換律（Non-commutativity of Matrix Multiplication）：一般情況下，$AB 
eq BA$。展開多項式乘積時必須嚴格遵守由左至右之相乘順序。 --- 解題方法 本題為純代數性質的判斷題。解題關鍵在於辨別「純量代數」與「矩陣代數」的本質差異——矩陣乘法一般不滿足交換律。透過依序檢驗轉置定律、可逆性質、正交矩陣定義以及矩陣乘法分配律展開，即可精確判斷各選項之真偽。 --- 選項分析 - (A) 正確 由矩陣轉置之性質可知，雙矩陣乘積之轉置滿足 $(AB)^T = B^T A^T$。將此性質延伸至三個可逆矩陣乘積： $$(ABC)^T = ((AB)C)^T = C^T (AB)^T = C^T B^T A^T$$ 故本敘述正確。 - (B) 正確 因 $A, B, C$ 皆為 $n 	imes n$ 可逆矩陣，由反矩陣之唯一定義驗證其相乘結果： $$(ABC)(C^{-1} B^{-1} A^{-1}) = AB(C C^{-1})B^{-1} A^{-1} = AB I B^{-1} A^{-1} = A(B B^{-1})A^{-1} = A I A^{-1} = A A^{-1} = I$$ 同理反向相乘亦得單位矩陣 $I$： $$(C^{-1} B^{-1} A^{-1})(ABC) = I$$ 因此 $(ABC)^{-1} = C^{-1} B^{-1} A^{-1}$，故本敘述正確。

Answer

答案：D

Question 9

假設矩陣 $$ A= \begin{bmatrix} a & b\ c & d \end{bmatrix} $$ 且 $A$ 的特徵值（eigenvalues）$\lambda1=1$、$\lambda2=5$，其對應的特徵向量（eigenvectors）分別為 $$ \begin{bmatrix} -1\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} 3\ 1 \end{bmatrix}, $$ 則 $a+b+c+d=？$ (A) $6$ (B) $10$ (C) $15$ (D) $20$

Accepted Answer

核心觀念

本題考矩陣的特徵值與特徵向量定義：若 $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ ，則 $\mathbf v$ 為 $A$ 的特徵值 $\lambda$ 所對應的特徵向量。已知兩組特徵值與特徵向量，可將它們組成矩陣，利用對角化關係求出 $A$ 。

解題方法

令兩個特徵向量依序為矩陣 $P$ 的欄向量，特徵值依序放入對角矩陣 $D$ ：

P= \begin{bmatrix} -1&3\\ 1&1 \end{bmatrix}, \qquad D= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&5 \end{bmatrix}.

由 $AP=PD$ ，得 $A=PDP^{-1}$ 。先求

P^{-1} =\frac{1}{(-1)(1)-(3)(1)} \begin{bmatrix} 1&-3\\ -1&-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac14&\frac34\\ \frac14&\frac14 \end{bmatrix}.

因此

Answer

答案：B

Question 10

下列矩陣何者為非正交矩陣（non-orthogonal matrix）？ (A) $$ \begin{bmatrix} \dfrac{3}{5} & 0 & -\dfrac{4}{5}\ 0 & 1 & 0\ \dfrac{4}{5} & 0 & \dfrac{3}{5} \end{bmatrix} $$ (B) $$ \begin{bmatrix} -\dfrac{4}{5} & 0 & \dfrac{3}{5}\ 0 & 1 & 0\ \dfrac{3}{5} & 0 & -\dfrac{4}{5} \end{bmatrix} $$ (C) $$ \begin{bmatrix} -\dfrac{4}{5} & 0 & \dfrac{3}{5}\ 0 & 1 & 0\ \dfrac{3}{5} & 0 & \dfrac{4}{5} \end{bmatrix} $$ (D) $$ \begin{bmatrix} -\dfrac{3}{5} & 0 & \dfrac{4}{5}\ 0 & 1 & 0\ \dfrac{4}{5} & 0 & \dfrac{3}{5} \end{bmatrix} $$

Accepted Answer

核心觀念 正交矩陣 $Q$ 的定義為 $$ Q^{T}Q=I, $$ 也就是矩陣的各欄向量互相垂直，且每個欄向量的長度均為 $1$。等價地，各列向量也須互相垂直且長度為 $1$。若 $Q^{T}Q
e I$，則 $Q$ 為非正交矩陣。 解題方法 逐一檢查各選項的欄向量長度與內積。每個選項的第二欄都是 $(0,1,0)^T$，而第一欄與第三欄的第二個分量都是 $0$，因此第二欄與其餘兩欄皆垂直，長度也為 $1$。只要再檢查第一欄與第三欄是否互相垂直，並確認兩者長度均為 $1$。 選項分析 - (A) 第一欄為 $(\frac35,0,\frac45)^T$，第三欄為 $(-\frac45,0,\frac35)^T$。兩者長度平方均為 $1$，內積為 $$ \frac35\left(-\frac45ight)+\frac45\left(\frac35ight)=0. $$ 各欄互相垂直且皆為單位向量，因此 (A) 是正交矩陣。 - (B) 第一欄為 $(-\frac45,0,\frac35)^T$，第三欄為 $(\frac35,0,-\frac45)^T$。兩者長度平方均為 $1$，但內積為

Answer

答案：B

Question 11

令 $e^z=2+i3$，則： (A) $z=\ln(2)+i\ln(3)$ (B) $z=\ln(3)+i\ln(2)$ (C) $z=\dfrac{1}{2}\ln(9)+i\arctan\left(\dfrac{2}{3}\right)$ (D) $z=\dfrac{1}{2}\ln(13)+i\arctan\left(\dfrac{3}{2}\right)$

Accepted Answer

核心觀念 複數的指數形式為 $$ w=re^{i	heta}=r(\cos	heta+i\sin	heta), $$ 其中 $r=|w|$ 是模長，$	heta=\arg(w)$ 是幅角。若 $e^z=w$，令 $z=x+iy$，則 $$ e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y). $$ 因此，$e^x=|w|$，而 $y$ 是 $w$ 的幅角之一。 解題方法 題目給定 $e^z=2+3i$。先求複數 $2+3i$ 的模長與幅角： $$ |2+3i|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}, \qquad \arg(2+3i)=\arctan\left(\frac{3}{2}ight), $$ 因為實部、虛部皆為正，複數位於第一象限。 所以其極式為 $$ 2+3i=\sqrt{13}\,e^{i\arctan(3/2)}. $$ 令 $z=x+iy$，比較模長與幅角可得 $$ x=\ln\sqrt{13}=\frac{1}{2}\ln(13), \qquad y=\arctan\left(\frac{3}{2}ight). $$ 故

Answer

答案：D

Question 12

已知 $\{zn=xn+iyn\}$ 為一複數數列，其中 $xn$ 及 $yn$ 分別代表 $zn$ 的實部及虛部，則下列敘述何者錯誤？ (A) 若複數數列 $\{zn\}$ 為發散，則數列 $\{xn\}$ 及 $\{yn\}$ 至少其中之一為發散。 (B) 若數列 $\{xn\}$ 及 $\{yn\}$ 其中之一為收斂，則複數數列 $\{zn\}$ 可為收斂。 (C) 若 $\lim{n	o\infty}xn=a$ 及 $\lim{n	o\infty}yn=b$，則 $\lim{n	o\infty}zn=a+ib$。 (D) 若 $\lim{n	o\infty}zn=a+ib$，則 $\lim{n	o\infty}xn=a$ 及 $\lim{n	o\infty}yn=b$。

Accepted Answer

核心觀念 本題評量複數數列（Complex Sequence）的極限定義與收斂之充要條件，以及命題邏輯中的逆否命題與笛摩根定律（De Morgan's laws）。 設複數數列為 $\{zn = xn + i yn\}$，其中實部 $xn \in \mathbb{R}$、虛部 $yn \in \mathbb{R}$，且令常數 $z0 = a + ib$（$a, b \in \mathbb{R}$）。 1. 複數數列收斂的充要條件（若且唯若）： 複數數列 $\{zn\}$ 收斂至 $z0 = a + ib$ 的充分且必要條件為其「實部數列 $\{xn\}$」與「虛部數列 $\{yn\}$」同時收斂至對應的實數極限： $$\lim{n	o\infty} zn = a + ib \iff \left( \lim{n	o\infty} xn = a \quad 	ext{且} \quad \lim{n	o\infty} yn = b ight)$$ 2. 發散的邏輯對偶性質（否定命題）： 根據邏輯學上的笛摩根定律，「兩者皆成立」的否定即為「至少其中之一不成立」。因此： - 數列 $\{zn\}$ 收斂 $\iff$ $\{xn\}$ 收斂 $\land$ $\{yn\}$ 收斂。 - 數列 $\{zn\}$ 發散 $\iff$ $\{xn\}$ 發散 $\lor$ $\{yn\}$ 發散（即實部與虛部至少其一為發散）。 --- 解題方法 以「複數數列收斂性定理」為準則，利用集合與邏輯命題推導，逐一檢驗各選項敘述的真偽性： 1. 將選項 (C)、(D) 與標準定理對照，驗證充分性與必要性。 2. 將選項 (A) 取逆否命題或以發散定義檢視邏輯等價性。 3. 針對選項 (B)，透過反例與必要條件判定其邏輯矛盾之處。 --- 選項分析 - (A) 正確： 依收斂定理，「$\{zn\}$ 收斂」等價於「$\{xn\}$ 收斂 且 $\{yn\}$ 收斂」。 依邏輯等價之逆否命題（Contrapositive）：若結論不成立（即數列 $\{xn\}$ 及 $\{yn\}$ 至少其中之一發散），則原前提必不成立（即 $\{zn\}$ 必為發散）。 反之，若原數列 $\{zn\}$ 發散，則其否定條件必成立，即「實部數列 $\{xn\}$ 及虛部數列 $\{yn\}$ 至少其中之一為發散」。敘述完全合乎邏輯。 - (B) 錯誤（本題應選）： 在國家考試的命題慣例中，「其中之一為收斂」係指僅有一者收斂（另一者發散）的情形。 若實部與虛部中僅有一者收斂、另一者發散，則複數數列 $\{zn\}$ 必然發散，絕不可能為收斂。

Answer

答案：B

Question 13

求 $$ f(z)=\frac{	an^2(z)}{z^2\sin(z-\pi)\cos^3(z-\pi)} $$ 在零點的極點次數（pole order）： (A) $0$ (B) $1$ (C) $2$ (D) $4$

Accepted Answer

核心觀念 解析函數在 $z=0$ 的極點次數，取決於函數在該點的分母零點階數，扣除分子零點階數。若分子在 $0$ 有 $m$ 階零點、分母有 $n$ 階零點，且 $nm$，則極點次數為 $n-m$。 解題方法 利用週期與平移公式： $$ \sin(z-\pi)=-\sin z,\qquad \cos(z-\pi)=-\cos z. $$ 因此 $$ f(z)=\frac{	an^2 z}{z^2(-\sin z)(-\cos^3 z)} =\frac{	an^2 z}{z^2\sin z\cos^3 z}. $$ 在 $z=0$ 附近，$\sin z$ 有一階零點，$\cos z$ 不為零，且 $	an z$ 有一階零點。故 $	an^2 z$ 有二階零點；分母中的 $z^2\sin z$ 合計有三階零點，$\cos^3 z$ 不影響零點階數。

Answer

答案：B

Question 14

已知微分方程式 $$ y''+\alpha y'+\beta y=0 $$ 的通解為 $$ y(x)=c1e^{-3x}+c2xe^{-3x}, $$ 求 $\alpha$、$\beta$ 之值，並判定下列何者正確？（題中 $\alpha$、$\beta$、$c1$、$c2$ 為常數） (A) $\alpha+\beta=15$ (B) $\alpha+\beta=-15$ (C) $\alpha+\beta=6$ (D) $\alpha+\beta=-6$

Accepted Answer

核心觀念 常係數二階齊次微分方程 $$ y''+\alpha y'+\beta y=0 $$ 的特徵方程為 $$ r^2+\alpha r+\beta=0. $$ 若通解含有 $e^{rx}$ 與 $xe^{rx}$，表示特徵根 $r$ 是重根。因此，題目給的 $e^{-3x}$ 與 $xe^{-3x}$ 對應重根 $r=-3$。 解題方法 特徵方程有重根 $r=-3$，所以可寫成 $$ (r+3)^2=0. $$ 展開得 $$ r^2+6r+9=0. $$ 與原特徵方程 $r^2+\alpha r+\beta=0$ 比較係數，可得 $$ \alpha=6,\qquad \beta=9. $$ 因此 $$ \alpha+\beta=6+9=15. $$ 選項分析

Answer

答案：A

Question 15

下列何者為 $$ x^2y''-5xy'+9y=0 $$ 之解？其中 $a$、$b$ 為常數，$y'=\dfrac{dy}{dx}$，$y''=\dfrac{d^2y}{dx^2}$。 (A) $ax^3+bx^3\ln(x)$，$x0$ (B) $ae^{3x}+bxe^{3x}$，$x0$ (C) $e^{(5/2)x}\left[a\cos(\sqrt{11}x)+b\sin(\sqrt{11}x)\right]$，$x0$ (D) $e^{-(5/2)x}\left[a\cos(\sqrt{11}x)+b\sin(\sqrt{11}x)\right]$，$x0$

Accepted Answer

核心觀念 本題考 Euler–Cauchy（等維）微分方程。方程式 $$ x^2y''-5xy'+9y=0 $$ 中，各項的 $x$ 次方與微分階數相配，適合設解為 $y=x^m$，代入後可化為代數方程，稱為特徵方程。 解題方法 設 $y=x^m$，則 $$ y'=mx^{m-1},\qquad y''=m(m-1)x^{m-2}. $$ 代入原式： $$ x^2m(m-1)x^{m-2}-5xmx^{m-1}+9x^m=0. $$ 整理得 $$ \left[m(m-1)-5m+9\right]x^m=0, $$ 因此特徵方程為 $$ m^2-6m+9=0 \quad\Longrightarrow\quad (m-3)^2=0. $$ 特徵根 $m=3$ 為重根。Euler–Cauchy 方程遇到重根 $m$ 時，兩個線性獨立解為 $x^m$ 與 $x^m\ln x$，故通解為

Answer

答案：A

Question 16

根據微分方程式 $$ (\sin x\cos x-xy^2)\,dx+y(1-x^2)\,dy=0 $$ 及其初始條件 $y(0)=4$，請問下列何者為 $y^2$ 之計算結果？ (A) $\dfrac{2-\cos x}{1-x}$ (B) $\dfrac{4-\sin x}{1-x}$ (C) $\dfrac{8-\cos^2x}{1-x^2}$ (D) $\dfrac{16-\sin^2x}{1-x^2}$

Accepted Answer

核心觀念

本題考查一階常微分方程式（First-Order ODE）的初值問題（Initial Value Problem, IVP），涉及以下核心觀念與數學工具：

正合微分方程式（Exact Differential Equation）判別：形式為 $M(x, y)\,dx + N(x, y)\,dy = 0$ 。若偏導數滿足

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}

則此方程式為正合方程式，必存在純量勢函數 $\Phi(x, y)$ 使得 $d\Phi = M\,dx + N\,dy = 0$ ，其通解為 $\Phi(x, y) = C$ 。 2. 變數變換法（線性化）與全微分組合：觀察到方程式中 $y$ 僅以 $y^2$ 與 $y\,dy$ 的形式出現，令 $u = y^2$ ，則 $du = 2y\,dy$ ，可將非線性微分方程式直接轉化為一階可積分形式，並利用微分乘積法則（Product Rule）直接還原全微分項：

d\left[(1-x^2)u\right] = (1-x^2)\,du - 2xu\,dx

初值條件求特解：利用條件 $y(0)=4$ ，即在 $x=0$ 時 $y^2 = 4^2 = 16$ ，代入通解以確定積分常數 $C$ 。

解題方法

本題提供兩種解題途徑：正統的「正合法」與考場最具時效的「全微分組合法（變數變換法）」。

方法一：全微分組合法（推薦考場使用）

觀察變數結構並設代換：原方程式為

(\sin x\cos x - xy^2)\,dx + y(1-x^2)\,dy = 0

令 $u = y^2$ ，對 $x$ 微分得 $du = 2y\,dy$ ，即 $y\,dy = \dfrac{1}{2}\,du$ 。

代入整理：將 $y^2 = u$ 及 $y\,dy = \dfrac{1}{2}\,du$ 代回原方程式：

(\sin x\cos x - xu)\,dx + \frac{1}{2}(1-x^2)\,du = 0

同乘以 $2$ ：

(1-x^2)\,du - 2xu\,dx + 2\sin x\cos x\,dx = 0

辨識全微分項並直接積分：注意前兩項恰為函數相乘的微分：

(1-x^2)\,du - 2xu\,dx = d\left[(1-x^2)u\right]

第三項利用三角倍角公式 $2\sin x\cos x = \sin 2x$ ，亦可表示為 $d(\sin^2 x)$ ：

2\sin x\cos x\,dx = d(\sin^2 x)

因此方程式可改寫為：

d\left[(1-x^2)u\right] + d(\sin^2 x) = 0

兩邊積分得：

(1-x^2)u + \sin^2 x = C

即：

(1-x^2)y^2 + \sin^2 x = C

代入初始條件求解常數：由初始條件 $y(0) = 4$ ，代入 $x = 0$ ：

(1 - 0^2)(4)^2 + \sin^2 0 = C \implies 16 + 0 = C \implies C = 16

故特解為：

(1-x^2)y^2 = 16 - \sin^2 x \implies y^2 = \frac{16 - \sin^2 x}{1-x^2}

方法二：正合微分方程式法（標準檢驗法）

正合性檢驗：設 $M(x, y) = \sin x\cos x - xy^2$ ， $N(x, y) = y(1-x^2)$ 。

Answer

答案：D

Question 17

某一函數 $f(t)$ 的拉氏轉換（Laplace Transform）為 $$ F(s)=\frac{3s-1}{s^2-6s+25}, $$ 則下列何者正確？ (A) $f(0^+)=2$ (B) $f(0^+)=12$ (C) $f'(0^+)=17$ (D) $f'(0^+)=21$

Accepted Answer

核心觀念

本題考拉氏轉換的初值定理，以及拉氏轉換與函數導數的關係。若 $f(t)$ 與 $f'(t)$ 滿足初值定理的條件，則

f(0^+)=\lim_{s\to\infty}sF(s),

f'(0^+)=\lim_{s\to\infty}s\bigl[sF(s)-f(0^+)\bigr].

解題方法

先由 $F(s)$ 求 $f(0^+)$ ：

f(0^+)=\lim_{s\to\infty}s\frac{3s-1}{s^2-6s+25}=3.

再利用導數的拉氏轉換公式

\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0^+),

因此

Answer

答案：C

Question 18

假設聯立微分方程式 $$ \begin{cases} y1'=-2y1+3y2,\quad y1(0)=4,\ y2'=4y1-y2,\quad y2(0)=3, \end{cases} $$ 其中 $y1'=\dfrac{dy1}{dt}$、$y2'=\dfrac{dy2}{dt}$，其解 $y2(t)=ae^{2t}+be^{-5t}$，$a$、$b$ 為常數，求 $a+2b=？$ (A) $-2$ (B) $2$ (C) $3$ (D) $5$

Accepted Answer

核心觀念

聯立線性微分方程組可寫成矩陣形式，解的指數項由係數矩陣的特徵值決定。本題已給出 $y_2(t)=ae^{2t}+be^{-5t}$ ，因此可用初始條件求出 $a,b$ ，再計算 $a+2b$ 。

解題方法

由初始條件 $y_2(0)=3$ ，得

a+b=3.

再利用第二條微分方程 $y_2'=4y_1-y_2$ 。由第一條方程及初始條件，

y_1'(0)=-2y_1(0)+3y_2(0)=-2(4)+3(3)=1.

對第二條方程在 $t=0$ 代入：

y_2'(0)=4y_1(0)-y_2(0)=4(4)-3=13.

另一方面，由題目給定的 $y_2(t)$ ，

y_2'(t)=2ae^{2t}-5be^{-5t},

所以

2a-5b=13.

聯立

\begin{cases} a+b=3,\\ 2a-5b=13, \end{cases}

由 $a=3-b$ 代入第二式：

Answer

答案：B

Question 19

假設微分方程式 $$ y''-xy'+e^{2x}y=8， $$ 其中 $y(0)=1$ 且 $y'(0)=2$。若 $$ y(x)=\sum{n=0}^{\infty}anx^n $$ 為此微分方程式之級數解，求 $a1+a2+a3$ 的值為何？ (A) $\dfrac{7}{2}$ (B) $\dfrac{13}{2}$ (C) $\dfrac{31}{6}$ (D) $\dfrac{37}{6}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考「冪級數解法」：將 $y(x)$、$y'(x)$、$y''(x)$ 與 $e^{2x}$ 展開成冪級數，再比較 $x^0$、$x^1$、$x^2$ 的係數。由初始條件可直接得到 $a0=1$、$a1=2$。 解題方法 設 $$ y(x)=\sum{n=0}^{\infty}anx^n, \quad y'(x)=\sum{n=0}^{\infty}(n+1)a{n+1}x^n, \quad y''(x)=\sum{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a{n+2}x^n. $$ 初始條件給出 $$ a0=y(0)=1,\qquad a1=y'(0)=2. $$ 另有 $$ e^{2x}=\sum{k=0}^{\infty}\frac{2^k}{k!}x^k. $$ 比較各次方係數時，$e^{2x}y$ 中 $x^n$ 的係數為 $$ \sum{k=0}^{n}\frac{2^k}{k!}a{n-k}. $$ 因此，微分方程 $$ y''-xy'+e^{2x}y=8 $$ 的 $x^n$ 係數關係為 $$ (n+2)(n+1)a{n+2}-nan+ \sum{k=0}^{n}\frac{2^k}{k!}a{n-k} =8\delta{n0}, $$ 其中 $\delta{n0}$ 在 $n=0$ 時為 $1$，其餘為 $0$。 依序取 $n=0,1,2$： - $n=0$：

Answer

答案：C

Question 20

考慮函數 $$ f(x)=1+\cos\pi x， $$ 當 $x\in[-1,1]$ 時，$f(x)=0$。求此函數之傅立葉轉換（Fourier transform）？ (A) $\sin\omega\left(\dfrac{2}{\omega}+\dfrac{1}{\pi+\omega}+\dfrac{1}{\pi-\omega}\right)$ (B) $\cos\omega\left(\dfrac{2}{\omega}+\dfrac{1}{\pi+\omega}+\dfrac{1}{\pi-\omega}\right)$ (C) $\sin\omega\left(\dfrac{2}{\omega}-\dfrac{1}{\pi+\omega}+\dfrac{1}{\pi-\omega}\right)$ (D) $\cos\omega\left(\dfrac{2}{\omega}-\dfrac{1}{\pi+\omega}+\dfrac{1}{\pi-\omega}\right)$

Accepted Answer

題幹敘述「考慮函數 $f(x)=1+\cos\pi x$，當 $x\in[-1,1]$ 時，$f(x)=0$」，從數學邏輯與選項結構可知，此處為原考卷印刷漏字，正確題意為有限支撐（compact support）的分段函數： $$ f(x) = \begin{cases} 1+\cos\pi x, & x\in[-1,1] \ 0, & |x|1 \end{cases} $$ --- 核心觀念 1. 傅立葉轉換（Fourier Transform）定義： $$ F(\omega) = \mathcal{F}\{f(x)\} = \int{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\omega x}\,dx $$ 2. 偶函數對稱性： 若 $f(-x) = f(x)$，則虛部正弦積分項為零，轉換式可簡化為實數餘弦積分： $$ F(\omega) = 2\int{0}^{\infty} f(x)\cos(\omega x)\,dx $$ 3. 三角函數積化和差公式： $$ 2\cos A\cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B) $$ 4. 補角與相位關係： $$ \sin(\pi+\omega) = -\sin\omega,\quad \sin(\pi-\omega) = \sin\omega $$ --- 解題方法 步驟一：代入傅立葉轉換積分式 由於 $f(x) = 1+\cos\pi x$ 在區間 $[-1, 1]$ 滿足 $f(-x) = f(x)$，為偶函數，且在該區間外均為 $0$，故積分簡化為： $$ F(\omega) = \int{-1}^{1} (1+\cos\pi x) e^{-i\omega x}\,dx = 2\int{0}^{1} (1+\cos\pi x)\cos(\omega x)\,dx $$ 步驟二：拆解積分項 將積分拆為常數項與餘弦項之和： $$ F(\omega) = 2\int{0}^{1} \cos(\omega x)\,dx + 2\int{0}^{1} \cos(\pi x)\cos(\omega x)\,dx = I1 + I2 $$ 1. 第一項 $I1$ 計算： $$ I1 = 2\left[\frac{\sin(\omega x)}{\omega}ight]{0}^{1} = \frac{2\sin\omega}{\omega} $$ 2. 第二項 $I2$ 計算： 利用積化和差公式 $2\cos(\pi x)\cos(\omega x) = \cos((\pi+\omega)x) + \cos((\pi-\omega)x)$： $$ I2 = \int{0}^{1} \left[\cos((\pi+\omega)x) + \cos((\pi-\omega)x)ig…

Answer

答案：C

Question 21

下列何者為 $$ x[n]=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{|n-1|} $$ 的傅立葉轉換 $X(e^{j\omega})$？ (A) $\dfrac{0.75e^{-j\omega}}{1.25-\cos\omega}$ (B) $\dfrac{0.5e^{-j\omega}}{1.5-\sin\omega}$ (C) $\dfrac{0.5e^{-j\omega}}{1.25+\cos\omega}$ (D) $\dfrac{0.75e^{-j\omega}}{1.5+\sin\omega}$

Accepted Answer

核心觀念

本題考查離散時間傅立葉轉換（DTFT）的定義，以及序列的位移性質：

X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}

若 $y[n]=x[n-n_0]$ ，則

Y(e^{j\omega})=e^{-j\omega n_0}X(e^{j\omega})

解題方法

先將題目序列寫成位移形式：

x[n]=\left(\frac12\right)^{|n-1|} =g[n-1],\qquad g[n]=\left(\frac12\right)^{|n|}

先求 $g[n]$ 的 DTFT，再套用向右位移 $1$ 格所產生的因子 $e^{-j\omega}$ 。

將 $g[n]$ 在 $n=0$ 分開：

G(e^{j\omega}) =1+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac12\right)^n e^{-j\omega n} +\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac12\right)^n e^{j\omega n}

兩個級數都是等比級數，故

G(e^{j\omega}) =1+\frac{\frac12e^{-j\omega}}{1-\frac12e^{-j\omega}} +\frac{\frac12e^{j\omega}}{1-\frac12e^{j\omega}}

通分化簡得

Answer

答案：A

Question 22

$x\in\mathbb{R}$ 隨機均勻從 $[-1,1]$ 區間選出，令事件 $$ A=\{x0.75\},\qquad B=\{|x-0.5|<1\}, $$ 求 $$ P[A\cup B]\cdot P[A\cap B]=？ $$ (A) $\dfrac{3}{32}$ (B) $\dfrac{5}{16}$ (C) $\dfrac{1}{2}$ (D) $\dfrac{7}{8}$

Accepted Answer

核心觀念 均勻分布在區間 $[-1,1]$ 的隨機變數，其機率可用區間長度計算： $$ P(E)=\frac{	ext{事件 }E	ext{ 對應的區間長度}}{	ext{樣本空間長度}} $$ 樣本空間 $[-1,1]$ 的長度為 $2$。本題先求事件 $A$、$B$ 的範圍，再計算聯集與交集的長度。 解題方法 由 $A=\{x0.75\}$ 且 $x\in[-1,1]$，可得 $$ A=(0.75,1],\qquad P(A)=\frac{1-0.75}{2}=\frac18. $$ 由 $B=\{|x-0.5|<1\}$，將絕對值不等式改寫為 $$ -1<x-0.5<1 \quad\Longrightarrow\quad -0.5<x<1.5. $$ 與樣本空間 $[-1,1]$ 取交集後，$B$ 對應 $[-0.5,1]$，其長度為 $1.5$，所以 $$ P(B)=\frac{1.5}{2}=\frac34. $$ 因為 $A\subset B$，因此 $A\cup B=B$、$A\cap B=A$。故

Answer

答案：A

Question 23

投擲一顆公平的骰子並記錄獲得點數，再投擲另一顆公平的骰子並記錄獲得點數，試求第二次點數大於第一次點數之機率： (A) $\dfrac{1}{3}$ (B) $\dfrac{5}{12}$ (C) $\dfrac{1}{2}$ (D) $\dfrac{11}{18}$

Accepted Answer

核心觀念 兩顆骰子各自公平且獨立，每次點數均勻分布於 $1$ 至 $6$。依序投擲並記錄時，樣本點可表示為有序對 $(第一次點數,第二次點數)$，共有 $6	imes 6=36$ 個等可能結果。 解題方法 固定第一次點數，計算第二次點數較大的情形數： | 第一次點數 | 第二次可大於第一次的點數 | 情形數 | |---:|---|---:| | 1 | 2、3、4、5、6 | 5 | | 2 | 3、4、5、6 | 4 | | 3 | 4、5、6 | 3 | | 4 | 5、6 | 2 | | 5 | 6 | 1 | | 6 | 無 | 0 | 符合條件的有序結果共 $5+4+3+2+1+0=15$ 個，因此 $$ P(第二次點數第一次點數)=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}. $$ 選項分析 - (A) $\dfrac{1}{3}$：錯誤。 這不等於符合條件的 $15$ 種結果除以 $36$ 種等可能結果。 - (B) $\dfrac{5}{12}$：正確。

Answer

答案：B

Question 24

設 $X$ 為一隨機變數，它在每一可能值 $-1$、$0$、$1$ 的機率分別為 $$ P\{X=-1\}=0.2,\qquad P\{X=0\}=0.5,\qquad P\{X=1\}=0.3， $$ 求 $E[X^2]$： (A) $0.2$ (B) $0.3$ (C) $0.5$ (D) $1$

Accepted Answer

核心觀念 本題評量機率論中「離散型隨機變數之函數的期望值」（Expected Value of a Function of a Discrete Random Variable）。 設離散型隨機變數 $X$ 的所有可能取值為 $xi$，其對應之機率質量函數（PMF）為 $P(X = xi)$。對任意實數值函數 $g(X)$，其期望值定義為各可能函數值與其對應機率乘積的總和： $$E[g(X)] = \sum{i} g(xi) P(X = xi)$$ 本題所求為 $X$ 的二次矩（Second Moment），即令 $g(X) = X^2$。 --- 解題方法 由題意可知，隨機變數 $X$ 的可能取值集合為 $\{-1, 0, 1\}$，其對應的機率分布為： 當 $X = -1$ 時，$X^2 = (-1)^2 = 1$，機率 $P(X = -1) = 0.2$ 當 $X = 0$ 時，$X^2 = 0^2 = 0$，機率 $P(X = 0) = 0.5$ 當 $X = 1$ 時，$X^2 = 1^2 = 1$，機率 $P(X = 1) = 0.3$ 依據期望值公式展開計算： $$E[X^2] = (-1)^2 \cdot P(X = -1) + (0)^2 \cdot P(X = 0) + (1)^2 \cdot P(X = 1)$$ 代入各點機率數值： $$E[X^2] = 1 	imes 0.2 + 0 	imes 0.5 + 1 	imes 0.3$$ $$E[X^2] = 0.2 + 0 + 0.3 = 0.5$$ --- 選項分析 (A) 錯誤：$0.2$ 僅為狀態 $X = -1$ 在期望值計算中的單項貢獻量（$(-1)^2 	imes 0.2 = 0.2$），遺漏了 $X = 1$ 的加權結果；亦可能是考生誤直接取 $P(X = -1)$ 作答。

Answer

答案：C

107 鐵路特考高員三級 電子工程 工程數學 考古題詳解

第 一 題10 分

核心觀念

解題方法

(一) 求逆時針旋轉角度 θ\thetaθ 的線性轉換矩陣

(二) 求順時針旋轉角度 θ\thetaθ 的線性轉換矩陣

第 二 題10 分

核心觀念

解題方法

(一) 求機率密度函數 f(x)f(x)f(x)

第 三 題15 分

核心觀念

解題方法

步驟一：部分分式分解（Partial Fraction Decomposition）

步驟二：判斷奇異點與劃分收斂區域

步驟三：各區域級數推導

第 四 題15 分

核心觀念

解題方法

步驟一：設定級數形式及其各階導數

步驟二：代入原微分方程式

步驟三：推導指標方程式與遞迴關係式

步驟四：求解第一個基底解 y1(x)y_1(x)y1​(x)（取較大根 r1=1r_1 = 1r1​=1）

第 1 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 2 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 3 題2 分

第 4 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 5 題2 分

核心觀念

解題方法

第 6 題2 分

第 7 題2 分

第 8 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 9 題2 分

第 10 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 11 題2 分

核心觀念

解題方法

第 12 題2 分

核心觀念

解題方法

方法一：全微分組合法（推薦考場使用）

方法二：正合微分方程式法（標準檢驗法）

第 13 題2 分

核心觀念

解題方法

第 14 題2 分

核心觀念

解題方法

第 15 題2 分

核心觀念

解題方法

第 16 題2 分

核心觀念

解題方法

步驟一：代入傅立葉轉換積分式

步驟二：拆解積分項

第 17 題2 分

核心觀念

解題方法

第 18 題2 分

第 19 題2 分

第 20 題2 分

核心觀念

解題方法

107 鐵路特考高員三級電子工程工程數學考古題詳解

第一題10 分

(一) 求逆時針旋轉角度 $\theta$ 的線性轉換矩陣

(二) 求順時針旋轉角度 $\theta$ 的線性轉換矩陣

第二題10 分

(一) 求機率密度函數 $f(x)$

第三題15 分

第四題15 分

步驟四：求解第一個基底解 $y_1(x)$ （取較大根 $r_1 = 1$ ）