107 鐵路特考高員三級 電子工程 電磁學 考古題詳解

107 年・鐵路特考・高員三級・電子工程
試題代碼 電磁學

第 一 題20 分

假設空間中存在靜電場 E⃗ (V/m)\vec{E}\,(\mathrm{V/m})。若將一電荷 q (C)q\,(\mathrm{C}) 由空間 P1P_1 之位置移至 P2P_2 之位置所需做的功為 W21 (J)W_{21}\,(\mathrm{J})，又 P2P_2 相對於 P1P_1 之靜電位 V21 (V)V_{21}\,(\mathrm{V}) 的物理意義為 W21(J)/q(C)W_{21}(\mathrm{J})/q(\mathrm{C})，請依據 W21(J)W_{21}(\mathrm{J}) 與 q(C)q(\mathrm{C}) 之關係，詳細推導證明：

V21=−∫P1P2E⃗⋅dℓ⃗V_{21}=-\int_{P_1}^{P_2}\vec{E}\cdot d\vec{\ell}

其中 dℓ⃗d\vec{\ell} 代表 P1P_1 至 P2P_2 路徑中之微量長度及場線方向。

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核心觀念

本題旨在測驗電磁學中「靜電場」、「外力作功」與「靜電位差」的基本定義與微積分關係。主要涉及的核心觀念如下：

  1. 庫侖靜電力（Electric Force）： 在靜電場 E⃗\vec{E} 中，電荷量為 qq 的點電荷所受的電場力為： F⃗e=qE⃗\vec{F}_e = q\vec{E}
  2. 準靜態移動與外力作功（Quasi-static Work）： 定義位能差與電位差時，電荷必須以「無動能變化（ΔK=0\Delta K = 0）」的準靜態方式移動。此時施加的外力 F⃗ext\vec{F}_{\text{ext}} 必須隨時與靜電力大小相等、方向相反以維持受力平衡： F⃗ext=−F⃗e=−qE⃗\vec{F}_{\text{ext}} = -\vec{F}_e = -q\vec{E}
  3. 電位差（Electric Potential Difference）之物理意義： 空間中 P2P_2 相對於 P1P_1 之電位差 V21=V(P2)−V(P1)V_{21} = V(P_2) - V(P_1)，定義為外力將單位正電荷自參考點 P1P_1 移至目標點 P2P_2 所需做的功： V21=W21qV_{21} = \frac{W_{21}}{q}
  4. 保守場特性（Conservative Field）： 靜電場滿足無旋條件 ∇×E⃗=0\nabla \times \vec{E} = 0，因此線積分與移動路徑無關，僅由起點 P1P_1 與終點 P2P_2 之位置決定。

解題方法

本題依題意由外力作功的線積分出發，推導步驟如下：

步驟一：分析移動電荷所需之外力

當電荷 qq 位於空間中某點時，受到靜電場施加的電力為： F⃗e=qE⃗\vec{F}_e = q\vec{E}

為將電荷由 P1P_1 移至 P2P_2 且不產生加速度（即速度極慢、動能不變的準靜態過程），外力 F⃗ext\vec{F}_{\text{ext}} 必須抵消靜電力： F⃗ext=−F⃗e=−qE⃗\vec{F}_{\text{ext}} = -\vec{F}_e = -q\vec{E}

步驟二：計算外力沿路徑移動所做的微量功與總功

沿著由 P1P_1 至 P2P_2 的位移路徑，取微量位移向量為 dℓ⃗d\vec{\ell}。外力所做的微量功 dW21dW_{21} 為： dW21=F⃗ext⋅dℓ⃗=(−qE⃗)⋅dℓ⃗dW_{21} = \vec{F}_{\text{ext}} \cdot d\vec{\ell} = (-q\vec{E}) \cdot d\vec{\ell}

將該微量功自起點 P1P_1 沿路徑積分至終點 P2P_2，即得外力所做的總功 W21W_{21}： W21=∫P1P2F⃗ext⋅dℓ⃗=∫P1P2(−qE⃗)⋅dℓ⃗W_{21} = \int_{P_1}^{P_2} \vec{F}_{\text{ext}} \cdot d\vec{\ell} = \int_{P_1}^{P_2} (-q\vec{E}) \cdot d\vec{\ell}

由於電荷量 qq 為純量常數，可移至積分號外： W21=−q∫P1P2E⃗⋅dℓ⃗W_{21} = -q \int_{P_1}^{P_2} \vec{E} \cdot d\vec{\ell}

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第 二 題20 分

根據電荷守恆原則（Principle of Conservation of Charge），導體內之體積電流密度 J⃗ (A/m2)\vec{J}\,(\mathrm{A/m^2}) 與導體內之體積電荷密度 ρ (C/m3)\rho\,(\mathrm{C/m^3}) 滿足連續方程式（Equation of Continuity）：

∇⋅J⃗=−∂ρ∂t\nabla\cdot\vec{J}=-\frac{\partial\rho}{\partial t}

假設此導體之導電係數 σ (S/m)\sigma\,(\mathrm{S/m}) 為一均質導電係數，此導體之介電常數 ε (F/m)\varepsilon\,(\mathrm{F/m}) 為一均質介電常數，並假設導體之體積電荷密度 ρ (C/m3)\rho\,(\mathrm{C/m^3}) 於時間 t=0t=0 時等於 ρ0 (C/m3)\rho_0\,(\mathrm{C/m^3})，請詳細推導證明：

ρ=ρ0e−(σ/ε)t (C/m3)\rho=\rho_0e^{-(\sigma/\varepsilon)t}\,(\mathrm{C/m^3})

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核心觀念

本題評量電磁學中「導體內電荷分布隨時間衰減之動態行為」，即經典的電荷弛豫（Charge Relaxation）​現象。推導過程結合三大基本電磁定律與一階常微分方程式：

  1. 電荷守恆與連續方程式（Equation of Continuity）： ∇⋅J⃗=−∂ρ∂t\nabla\cdot\vec{J} = -\frac{\partial\rho}{\partial t}
  2. 歐姆定律之微分形式（Point Form of Ohm's Law）： J⃗=σE⃗\vec{J} = \sigma\vec{E}
  3. 高斯定律之微分形式（Gauss's Law / Maxwell's First Equation）： ∇⋅D⃗=ρ→D⃗=εE⃗∇⋅E⃗=ρε\nabla\cdot\vec{D} = \rho \quad \xrightarrow{\vec{D}=\varepsilon\vec{E}} \quad \nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon}
  4. 介電弛豫時間（Dielectric Relaxation Time）： τr=εσ\tau_r = \frac{\varepsilon}{\sigma}

解題方法

本題為純推導題。切入點是將連續方程式中的體積電流密度 J⃗\vec{J} 透過歐姆定律轉換為電場強度 E⃗\vec{E}，再利用高斯定律將電場散度 ∇⋅E⃗\nabla\cdot\vec{E} 換回體積電荷密度 ρ\rho，建立 ρ\rho 對時間 tt 的一階線性微分方程式並代入初始條件求解。

詳細推導步驟

  1. 代入微觀歐姆定律： 由連續方程式出發： ∇⋅J⃗=−∂ρ∂t\nabla\cdot\vec{J} = -\frac{\partial\rho}{\partial t} 將導體內的微觀歐姆定律 J⃗=σE⃗\vec{J} = \sigma\vec{E} 代入： ∇⋅(σE⃗)=−∂ρ∂t\nabla\cdot(\sigma\vec{E}) = -\frac{\partial\rho}{\partial t}

  2. 利用均質特性提出純量常數： 因為題目給定導電係數 σ\sigma 為均質（Homogeneous，即 σ\sigma 與空間座標無關），可將 σ\sigma 移至散度運算子 ∇⋅\nabla\cdot 之外： σ(∇⋅E⃗)=−∂ρ∂t\sigma(\nabla\cdot\vec{E}) = -\frac{\partial\rho}{\partial t}

  3. 代入高斯定律： 在線性、等向、均質（LIH）介質中，電位移向量 D⃗=εE⃗\vec{D} = \varepsilon\vec{E}。由高斯定律： ∇⋅D⃗=ρ  ⟹  ∇⋅(εE⃗)=ρ\nabla\cdot\vec{D} = \rho \implies \nabla\cdot(\varepsilon\vec{E}) = \rho 由於介電常數 ε\varepsilon 亦為均質常數，故： ε(∇⋅E⃗)=ρ  ⟹  ∇⋅E⃗=ρε\varepsilon(\nabla\cdot\vec{E}) = \rho \implies \nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon}

  4. 建立一階常微分方程式： 將 ∇⋅E⃗=ρε\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon} 代回第 2 步的關係式：

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第 三 題20 分

已知一半導體（Semiconductor）內有體積電流密度 J⃗ (A/m2)\vec{J}\,(\mathrm{A/m^2}) 流通，同時又有外加磁通密度 B⃗ (Wb/m2)\vec{B}\,(\mathrm{Wb/m^2}) 交鏈半導體，而 B⃗ (Wb/m2)\vec{B}\,(\mathrm{Wb/m^2}) 與 J⃗ (A/m2)\vec{J}\,(\mathrm{A/m^2}) 的方向垂直。請詳細說明半導體內霍爾效應（Hall Effect）發生之原理。

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核心觀念

本題旨在評量考生對「電磁學中磁場對運動電荷之作用力」與「固態電子學／半導體載子傳導機制」整合觀念的掌握度。核心原理涵蓋下列定義與物理定律：

  1. 勞侖茲力（Lorentz Force）： 帶電粒子在電場 E⃗\vec{E} 與磁場 B⃗\vec{B} 中所受之合力為： F⃗=q(E⃗+v⃗×B⃗)\vec{F} = q\left(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}\right) 其中磁力項 F⃗m=q(v⃗×B⃗)\vec{F}_m = q\left(\vec{v} \times \vec{B}\right) 垂直於粒子速度與磁場方向。
  2. 漂移速度與電流密度之關係： 體積電流密度 J⃗\vec{J} 與載子電荷量 qq、載子濃度 ncn_c 及漂移速度 v⃗d\vec{v}_d 之關係式為： J⃗=qncv⃗d\vec{J} = q n_c \vec{v}_d
  3. 橫向電荷累積與動態平衡（霍爾電場）： 載子受磁力偏轉累積於樣品兩側，建立一橫向靜電場（霍爾電場 E⃗H\vec{E}_H）。當橫向靜電力與磁力大小相等、方向相反時，系統達到動態平衡： qE⃗H+q(v⃗d×B⃗)=0  ⟹  E⃗H=−(v⃗d×B⃗)q\vec{E}_H + q\left(\vec{v}_d \times \vec{B}\right) = 0 \implies \vec{E}_H = -\left(\vec{v}_d \times \vec{B}\right)
  4. 霍爾係數（Hall Coefficient, RHR_H）與霍爾電壓（Hall Voltage, VHV_H）： E⃗H=RH(J⃗×B⃗)其中RH=1qnc\vec{E}_H = R_H \left(\vec{J} \times \vec{B}\right) \quad \text{其中} \quad R_H = \frac{1}{q n_c} 兩端橫向電位差即為霍爾電壓 VH=∫E⃗H⋅dl⃗V_H = \int \vec{E}_H \cdot d\vec{l}。

解題方法

建立直角座標系進行定性與定量推導： 設一半導體長方體試片，長度沿 xx 軸、寬度 ww 沿 yy 軸、厚度 tt 沿 zz 軸。

  • 電流密度方向沿 +x+x 軸：J⃗=Jxa^x\vec{J} = J_x \hat{a}_x
  • 外加均勻磁通密度沿 +z+z 軸：B⃗=Bza^z\vec{B} = B_z \hat{a}_z

步驟一：載子受力與偏轉方向分析

  1. 以 N 型半導體為例（多數載子為電子，帶負電 q=−eq = -e）：
  • 電流向 +x+x 流動，電子實際漂移速度方向向 −x-x：v⃗d,e=−vd,ea^x\vec{v}_{d,e} = -v_{d,e} \hat{a}_x（vd,e>0v_{d,e} > 0）。
  • 電子所受勞侖茲磁力： F⃗m,e=(−e)(v⃗d,e×B⃗)=(−e)[(−vd,ea^x)×(Bza^z)]\vec{F}_{m,e} = (-e) \left( \vec{v}_{d,e} \times \vec{B} \right) = (-e) \left[ (-v_{d,e} \hat{a}_x) \times (B_z \hat{a}_z) \right] 因 a^x×a^z=−a^y\hat{a}_x \times \hat{a}_z = -\hat{a}_y，得： F⃗m,e=(−e)(vd,eBza^y)=−evd,eBza^y\vec{F}_{m,e} = (-e) \left( v_{d,e} B_z \hat{a}_y \right) = -e v_{d,e} B_z \hat{a}_y
  • 結論：電子受到向 −y-y 方向的磁力作用，偏轉並堆積在 −y-y 側表面。
  1. 以 P 型半導體為例（多數載子為電洞，帶正電 q=+eq = +e）：
  • 電流向 +x+x 流動，電洞漂移速度方向向 +x+x：v⃗d,h=+vd,ha^x\vec{v}_{d,h} = +v_{d,h} \hat{a}_x（vd,h>0v_{d,h} > 0）。
  • 電洞所受勞侖茲磁力： F⃗m,h=(+e)(v⃗d,h×B⃗)=(+e)[(vd,ha^x)×(Bza^z)]=−evd,hBza^y\vec{F}_{m,h} = (+e) \left( \vec{v}_{d,h} \times \vec{B} \right) = (+e) \left[ (v_{d,h} \hat{a}_x) \times (B_z \hat{a}_z) \right] = -e v_{d,h} B_z \hat{a}_y
  • 結論：電洞同樣受到向 −y-y 方向的磁力作用，偏轉並堆積在 −y-y 側表面。

步驟二：橫向霍爾電場的建立與平衡

  • N 型半導體：電子堆積於 −y-y 側表面，致使 +y+y 側露出未被屏蔽的施體正離子，產生由 +y+y 指向 −y-y 的內部電場： E⃗H=−EHa^y\vec{E}_H = -E_H \hat{a}_y
  • P 型半導體：電洞堆積於 −y-y 側表面，致使 +y+y 側露出受體負離子，產生由 −y-y 指向 +y+y 的內部電場： E⃗H=+EHa^y\vec{E}_H = +E_H \hat{a}_y

電荷持續偏轉累積，直到橫向電場產生的靜電力抵消磁力為止（平衡狀態）： qE⃗H+q(v⃗d×B⃗)=0  ⟹  E⃗H=−(v⃗d×B⃗)q \vec{E}_H + q \left( \vec{v}_d \times \vec{B} \right) = 0 \implies \vec{E}_H = - \left( \vec{v}_d \times \vec{B} \right)

步驟三：霍爾係數與霍爾電壓之推導

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第 四 題20 分

通常捷運及公車之悠遊卡收費系統所使用的通訊技術為 13.56 MHz13.56\,\mathrm{MHz} RFID（Radio Frequency Identification），請說明 13.56 MHz13.56\,\mathrm{MHz} RFID 通訊技術是運用近場磁通交鏈感應（Induction by Near-Field Magnetic Flux Linkage），或是遠場電磁輻射感應（Induction by Far-Field Electromagnetic Radiation）。

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核心觀念

本題旨在測驗電磁波之場區劃分（Near-field vs. Far-field）​以及射頻識別系統（RFID）之電磁耦合機制。涉及之核心觀念與公式如下：

  1. 電磁波波長與頻率關係： λ=cf\lambda = \frac{c}{f} 其中 c≈3×108 m/sc \approx 3 \times 10^8\,\mathrm{m/s} 為自由空間光速，ff 為操作頻率。

  2. 近場與遠場之分界準則（Radiansphere 邊界）： 對於電小尺寸線圈天線（Electrically Small Loop Antenna，即天線尺寸 D≪λD \ll \lambda），反應性近場（Reactive Near-Field）與輻射遠場的分界距離通常以電氣長度評估： rboundary=λ2πr_{\text{boundary}} = \frac{\lambda}{2\pi}

  • 當觀察距離 r≪λ2πr \ll \frac{\lambda}{2\pi} 時，系統操作於反應性近場區（Reactive Near-Field Zone），以準靜態場（Quasi-static field）的能量儲存為主。
  • 當觀察距離 r>λ2πr > \frac{\lambda}{2\pi} 或 r≫2D2λr \gg \frac{2D^2}{\lambda} 時，電磁場脫離源端形成行波向外傳播，屬於遠場輻射區（Far-Field Radiation Zone）。
  1. 法拉第電磁感應定律與互感交鏈： 近場磁耦合運作原理等效於開路鬆耦合變壓器（Loosely Coupled Transformer），由讀卡機線圈產生交變磁通量 Φ\Phi，卡片線圈透過互感 MM 產生感應電動勢 E\mathcal{E}： E=−NdΦdt=−Mdidt\mathcal{E} = -N \frac{d\Phi}{dt} = -M \frac{di}{dt}

解題方法

要判斷該通訊技術屬於近場或遠場機制，必須從波長計算、天線電氣尺寸與實際通訊距離切入推導：

  1. 計算波長 λ\lambda 與近場邊界： 13.56 MHz13.56\,\mathrm{MHz} 屬於高頻（HF, High Frequency）頻段，其電磁波在空氣中的自由空間波長為： λ=3×108 m/s13.56×106 Hz≈22.12 m\lambda = \frac{3 \times 10^8\,\mathrm{m/s}}{13.56 \times 10^6\,\mathrm{Hz}} \approx 22.12\,\mathrm{m} 近場反應區（邊界半徑）為： rboundary=λ2π=22.122π≈3.52 mr_{\text{boundary}} = \frac{\lambda}{2\pi} = \frac{22.12}{2\pi} \approx 3.52\,\mathrm{m}

  2. 比較實際感應距離與邊界半徑： 捷運、公車悠遊卡（符合 ISO/IEC 14443 Type A/B 或 NFC 標準）的實際感應距離 dd 通常在 0∼10 cm0 \sim 10\,\mathrm{cm}（即 0∼0.1 m0 \sim 0.1\,\mathrm{m}）之內。 明顯可知： d≪λ2π(0.1 m≪3.52 m)d \ll \frac{\lambda}{2\pi} \quad (0.1\,\mathrm{m} \ll 3.52\,\mathrm{m}) 這代表悠遊卡在通訊時，卡片與讀卡機皆嚴格處於彼此的反應性近場區之內。

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第 五 題20 分

有一無損耗傳輸線（Lossless Transmission Line）之特徵阻抗（Characteristic Impedance）為 Z0 (Ω)Z_0\,(\Omega)，負載阻抗（Load Impedance）為 ZL (Ω)Z_L\,(\Omega)。請依據無損耗傳輸線阻抗轉換公式，詳細推導證明一個二分之一波長（Half Wavelength）串接傳輸線段（Cascaded Transmission Line Section）等效上是一個 1:11:1 的變壓器（Transformer）。

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核心觀念

  1. 無損耗傳輸線之輸入阻抗公式（Input Impedance Formula）： 在無損耗傳輸線（Lossless Transmission Line）上，距負載端距離為 ll 處之輸入阻抗 ZinZ_{\text{in}} 可由電壓波與電流波之疊加推導而得： Zin(l)=Z0ZL+jZ0tan⁡(βl)Z0+jZLtan⁡(βl)Z_{\text{in}}(l) = Z_0 \frac{Z_L + j Z_0 \tan(\beta l)}{Z_0 + j Z_L \tan(\beta l)} 其中：
  • Z0Z_0 為傳輸線特徵阻抗（Characteristic Impedance）。
  • ZLZ_L 為負載阻抗（Load Impedance）。
  • β=2πλ\beta = \frac{2\pi}{\lambda} 為傳播相位常數（Phase Constant），λ\lambda 為導波波長（Wavelength）。
  • ll 為傳輸線段長度。
  1. 理想變壓器之阻抗轉換特性（Ideal Transformer Impedance Reflection）： 理想變壓器一次側匝數為 N1N_1、二次側匝數為 N2N_2（匝數比為 n=N1/N2n = N_1 / N_2），二次側接負載阻抗 ZLZ_L 時，自一次側看入之等效輸入阻抗為： Zin=(N1N2)2ZL=n2ZLZ_{\text{in}} = \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 Z_L = n^2 Z_L 若變壓器為 1:11:1（即 n=1n = 1），則 Zin=ZLZ_{\text{in}} = Z_L。

解題方法

本題要求利用「無損耗傳輸線阻抗轉換公式」進行完整推導，證明二分之一波長（l=λ/2l = \lambda/2）傳輸線段之等效行為。解題切入點包含阻抗關係推導與電壓／電流傳輸特性對比：

步驟一：設定長度並計算電長度（Electrical Length）

設二分之一波長傳輸線段之物理長度為： l=λ2l = \frac{\lambda}{2} 由於相位常數 β=2πλ\beta = \frac{2\pi}{\lambda}，則該傳輸線段的電長度（Electrical Length）βl\beta l 為： βl=(2πλ)(λ2)=π rad\beta l = \left(\frac{2\pi}{\lambda}\right) \left(\frac{\lambda}{2}\right) = \pi \text{ rad}

步驟二：代入阻抗轉換公式

將 βl=π\beta l = \pi 代入正切函數中： tan⁡(βl)=tan⁡(π)=0\tan(\beta l) = \tan(\pi) = 0

將此結果代入無損耗傳輸線之輸入阻抗公式： Zin=Z0ZL+jZ0tan⁡(π)Z0+jZLtan⁡(π)=Z0ZL+jZ0(0)Z0+jZL(0)=Z0(ZLZ0)=ZLZ_{\text{in}} = Z_0 \frac{Z_L + j Z_0 \tan(\pi)}{Z_0 + j Z_L \tan(\pi)} = Z_0 \frac{Z_L + j Z_0 (0)}{Z_0 + j Z_L (0)} = Z_0 \left(\frac{Z_L}{Z_0}\right) = Z_L

此式顯示：不論傳輸線之特徵阻抗 Z0Z_0 為何值，自輸入端看入之阻抗均完全等於負載阻抗 ZLZ_L。

步驟三：與理想變壓器模型比對

理想變壓器一次側與二次側的阻抗轉換關係為： Zin=(N1N2)2ZLZ_{\text{in}} = \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 Z_L 今已證得 Zin=ZLZ_{\text{in}} = Z_L，兩式對照： (N1N2)2=1  ⟹  N1N2=1\left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 = 1 \implies \frac{N_1}{N_2} = 1 即匝數比 N1:N2=1:1N_1 : N_2 = 1 : 1。

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