109 鐵路特考高員三級 電子工程 電磁學 考古題詳解

核心觀念

本題考無窮長線電荷的電場，以及接地直角導體邊界的鏡像法。

線電荷沿自身方向具有圓柱對稱性。若線電荷密度為 $\rho_l$，觀察點到導線的垂直距離為 $s$，由高斯定律可得

其中 $\mathbf a_s$ 是從導線指向觀察點的徑向單位向量。

解題方法

（一）無窮長線電荷

取半徑 $s$、長度 $L$ 的同軸圓柱作為高斯面。電場在圓柱側面大小相等且垂直於側面，端面通量為零，因此

所以

若導線沿 $y$ 軸，則在 $(x,y,z)$ 點有 $s=\sqrt{x^2+z^2}$，故

電場與 $y$ 無關，且沒有 $y$ 方向分量。

（二）直角接地導體附近的線電荷

導線位於 $(x_0,0,z_0)$，且 $x_0,z_0>0$。在第一象限使用鏡像法，將兩個接地邊界的條件同時滿足：在下列位置放置鏡像線電荷，括號內為其線電荷密度：

• 實際線電荷：$(x_0,z_0)$，$+\rho_l$
• 鏡像線電荷：$(-x_0,z_0)$，$-\rho_l$
• 鏡像線電荷：$(x_0,-z_0)$，$-\rho_l$
• 鏡像線電荷：$(-x_0,-z_0)$，$+\rho_l$

令

由四條線電荷電場疊加，第一象限（$x>0,\ z>0$）的電場為

核心觀念

圖二的介面彼此平行，且為鉛直面，因此水平虛線是介面的法線，$\theta_1$、$\theta_4$皆為磁通量密度與法線的夾角。

由 $\nabla\cdot\vec B=0$，磁通量密度的法向分量連續；介面上無表面電流時，磁場強度的切向分量連續。又因各層為線性介質，$\vec B=\mu\vec H$，故有

解題方法

角度從法線量起，因此各層的法向與切向分量分別為

套用邊界條件：

核心觀念

本題考移動導線環中的電磁感應。可用法拉第定律計算感應電動勢，再以歐姆定律求電流：

無窮長直導線在距離 $\rho$ 處產生的磁場大小為

解題方法

令長方形導線環靠近直導線的一側距離為 $d$，寬度為 $W$，高度為 $L$。環以速度 $u_0$ 遠離直導線，因此 $d$ 隨時間增加，且 $\dfrac{dd}{dt}=u_0$。

磁場會隨距離改變，不能直接用環中心的磁場乘上整個面積。取距離直導線 $\rho$、寬度 $d\rho$ 的狹長面積，其磁通量大小為 $B(\rho)L\,d\rho$。整個導線環的磁通量大小為

對時間微分：

核心觀念

本題考平面波垂直入射介面時的電場反射係數、透射係數，以及透射波的電磁場與複數坡印廷向量。

採用時間因子 $e^{j\omega t}$，因此題目中的 $e^{-jkz}$ 表示波沿 $+z$ 方向傳播。介面兩側的波阻抗為

無損耗介質中的相位常數為

垂直入射時，以電場振幅定義反射係數與透射係數：

解題方法

真空為區域 1，介電質為區域 2。因為 $\mu=\mu_0$、$\epsilon_2=4\epsilon_0$，

（一）反射與透射係數

代入垂直入射公式：

負號表示反射電場相對於入射電場反相。介面上的切向電場連續，因此 $E_t=E_i+E_r$，也可直接驗算 $\tau_E=1+\Gamma_E$。

（二）透射波電場與磁場

介電質內的相位常數為

題目給定真空中的入射波相位因子為 $e^{-j2\pi z}$，故 $\beta_1=2\pi\ \mathrm{rad/m}$，因此

透射電場振幅為

所以透射電場相量為

核心觀念

無損耗傳輸線的輸入阻抗由特性阻抗 $Z_0$、負載阻抗 $Z_L$、線長 $l$ 與相位常數 $\beta$ 決定：

空氣中的波速為 $v_p=c/\sqrt{\epsilon_r}$，相位常數為 $\beta=2\pi/\lambda$，其中 $\lambda=v_p/f$。

解題方法

題目給定 $f=150\ \mathrm{MHz}$、$\epsilon_r=1$，因此空氣中的波速為光速：

波長為