109 鐵路特考高員三級 電子工程 電子學 考古題詳解

核心觀念

理想 OPAMP 的非反相端接地，因此在負回授成立時，反相端為虛地，且 OPAMP 輸入端電流為零。利用反相端與可變電阻滑動端的節點方程，即可求出閉迴路增益。

令 $x=R'/R$。滑動端到地的上方支路電阻為 $(1-r)R'+R/2$，滑動端到輸出端的下方電阻為 $rR'$。

解題方法

反相端電壓為 $0$。在反相端套用 KCL：

其中 $v_w$ 為滑動端電壓。再於滑動端套用 KCL：

代入 $v_w=-v_i$，並以 $x=R'/R$ 表示，可得

此式適用於 $r>0$；$r=0$ 時可直接依滑動端與輸出端短接的電路關係求解。

（一）$r=0$ 時的增益

當 $r=0$，下半部電阻為零，滑動端與輸出端相接，所以 $v_o=v_w$。又由反相端 KCL 得 $v_w=-v_i$，因此

（二）增益可達 $-100$ 時的 $R'/R$

令 $x=R'/R$。增益絕對值隨 $r$ 遞增，其可變部分為

核心觀念

此電路由 $Q_1$ 共源放大器與二極體接法的 $Q_2$ 組成。$Q_1$、$Q_2$ 的汲極都接在輸出端，且 $Q_2$ 的閘極與汲極相接，因此 $Q_2$ 在直流下提供偏壓，在小信號下則形成負載。

採用 MOSFET 飽和區平方律模型，忽略通道長度調變：

解題方法

題目給定兩管的 $V_{OV}$ 相等，且電流源提供的總電流為 $I=2\ \mathrm{mA}$。因此，先用兩管的尺寸比求電流分配，再由總電流求 $V_{OV}$。

兩管的電流比為：

又因為 $I_{D1}+I_{D2}=2\ \mathrm{mA}$，得到：

將兩管的平方律電流相加：

因此：

$Q_2$ 的閘極與汲極相接，源極接地，所以輸出直流電位為：

核心觀念

反相加法器利用運算放大器的反相端「虛地」與節點電流相加。若兩個輸入電阻分別為 $R_1、R_2$，回授電阻為 $R_f$，則理想輸出為

本題要求 $v_o=-20(v_1+v_2)$，因此可令 $R_1=R_2=R$，並取 $R_f=20R$。

有限增益頻寬運算放大器的閉迴路頻寬，約為單增益頻率除以雜訊增益：

解題方法

（一）電路設計

選取 $R_1=R_2=R$、$R_f=20R$。例如 $R=10\,\text{k}\Omega$、$R_f=200\,\text{k}\Omega$。非反相端接地，兩個輸入各經一個 $R$ 接至反相端，並以 $R_f$ 從輸出端回授至反相端。

 Rf = 200 kΩ
 ┌────/\/\/\────┐
 │ │
v1 ── R1 = 10 kΩ ───┼── (−) │
 │ |\ │
v2 ── R2 = 10 kΩ ───┘ | \______┴── vo
 | /
 GND ──|+/

反相端為虛地，依據電流定律：

所以

核心觀念

環形振盪器由 $N$ 級反相器串接，並將末級輸出回授至首級輸入。訊號在每一級都反相，且每級具有傳播延遲；延遲使訊號無法立即到達穩態，並在環路中持續翻轉。

若每級延遲相同為 $t_p$，訊號繞行一圈需經過 $N$ 級延遲。完成一個完整振盪週期，須經歷一次高到低的轉換及一次低到高的轉換，因此

解題方法

已知反相器級數 $N=9$，振盪頻率 $f=20\ \mathrm{MHz}$。由頻率公式解出每級傳播延遲：

因此，每級反相器的傳播延遲時間約為 $2.78\ \mathrm{ns}$。

環形振盪器的振盪條件

核心觀念

本題考查 CMOS 電路的動態功率、負載電容充放電電流與操作頻率之關係，以及延遲與功率乘積（delay-power product）。

CMOS 電路的動態功率可寫為

其中 $\alpha$ 為切換活動因子，$C_L$ 為負載電容，$f$ 為操作頻率。題目指出充放負載電容的電流與 $V_{DD}$ 成正比，因此也可由平均功率 $P_{\mathrm{dyn}}\propto V_{DD}I f$ 得到固定頻率下 $P_{\mathrm{dyn}}\propto V_{DD}^{2}$。

負載電容的充電延遲可用

估算。由於題目給定 $I\propto V_{DD}$，因此 $t_d$ 不隨 $V_{DD}$ 改變；最高操作頻率與延遲成反比，故在此前提下也不變。

解題方法

令原電源電壓為 $V_1=2.5\ \mathrm{V}$，降低後為 $V_2=1.8\ \mathrm{V}$，則電壓比為

電流與電壓成正比，所以