110 年鐵路特考員級電子工程考古題與詳解

Question 1

圖一為電橋電路，其中 $G$ 為電流計，$Rx$ 為電感 $Lx$ 的內阻；若電源 $vs$ 的角頻率為 $\omega=2\pi(2	imes10^3)\,\mathrm{rad/sec}$，試回答下列問題。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 （一）在平衡時，試求 $Rx=?$、$Lx=?$。 （二）電感的品質因數 $Q=?$ （三）若 $R1=100\,\mathrm{k\Omega}$、$R2=1\,\mathrm{k\Omega}$、$R3=200\,\Omega$、$C1=0.1\,\mu\mathrm{F}$；試求 $Rx=?$、$Lx=?$、品質因數 $Q=?$

Accepted Answer

核心觀念

本題考查交流電橋平衡條件，以及電感品質因數的定義。電橋平衡時，檢流計 $G$ 電流為零，兩側中點電位相同；若四臂依序為左上 $Z_x$ 、左下 $R_3$ 、右上 $R_2$ 、右下 $Z_p$ ，則：

Z_x Z_p=R_2R_3

其中 $Z_x=R_x+j\omega L_x$ ，而右下臂是 $R_1$ 與 $C_1$ 並聯。電感品質因數為：

Q=\frac{\omega L_x}{R_x}

解題方法

右下臂的並聯阻抗可用導納表示：

\frac{1}{Z_p}=\frac{1}{R_1}+j\omega C_1

由電橋平衡條件 $Z_xZ_p=R_2R_3$ ，可得：

Z_x=\frac{R_2R_3}{Z_p} =R_2R_3\left(\frac{1}{R_1}+j\omega C_1\right)

將實部與虛部分別對照 $Z_x=R_x+j\omega L_x$ ：

R_x=\frac{R_2R_3}{R_1}

\omega L_x=\omega C_1R_2R_3 \quad\Longrightarrow\quad L_x=C_1R_2R_3

因此：

Q=\frac{\omega L_x}{R_x}=\omega C_1R_1

題目（一）、（二）未提供電阻與電容數值，因此以橋臂元件表示結果；題目（三）提供數值後即可代入計算。

（一）平衡時的 $R_x$ 與 $L_x$

\boxed{R_x=\frac{R_2R_3}{R_1}},\qquad \boxed{L_x=C_1R_2R_3}

（二）電感品質因數 $Q$

Question 2

圖二為在時域（Time domain）的某一方波信號 $vs(t)$，方波的角頻率為 $\omega$，正負脈波寬度為工作週期（duty cycle）50% 分布，峰值為 $\pm VS$。今欲使用頻譜分析儀量測此方波的頻譜；試回答下列問題。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 （一）試繪出頻譜分析儀上可能出現的頻譜分布，並描述該頻譜波形出現的理由。 注意：繪製頻譜圖時，橫坐標上標示為角頻率（$\omega$），縱坐標標示為振幅（V）；至少需要繪出五到六個譜波分布。 （二）承（一），利用所繪製的頻譜分布，計算此方波信號 $vs(t)$ 的電壓有效值 $V{\mathrm{rms}}$。

Accepted Answer

核心觀念 這題考對稱雙極性方波的傅立葉級數，以及由各諧波計算總有效值。圖中方波在 $+VS$ 與 $-VS$ 間切換，正、負脈波各占一半週期，因此平均值為零，且波形具有半波對稱性。 令基波角頻率為 $\omega$，方波可表示為 $$ vs(t)=\frac{4VS}{\pi} \left( \sin\omega t+\frac{1}{3}\sin3\omega t+\frac{1}{5}\sin5\omega t+\cdots \right). $$ 若時間原點不同，各項的相位表示可能不同，但頻譜線的位置與振幅不變。 （一）頻譜分布與理由 以單邊頻譜表示，縱軸標示各正弦諧波的峰值振幅，譜線如下： | 角頻率 | $\omega$ | $3\omega$ | $5\omega$ | $7\omega$ | $9\omega$ | $11\omega$ | |---|---:|---:|---:|---:|---:|---:| | 振幅（V） | $\dfrac{4VS}{\pi}$ | $\dfrac{4VS}{3\pi}$ | $\dfrac{4VS}{5\pi}$ | $\dfrac{4VS}{7\pi}$ | $\dfrac{4VS}{9\pi}$ | $\dfrac{4VS}{11\pi}$ | 示意頻譜：

Question 3

根據函數波信號產生器中的信號產生方法及其功能，試回答下列問題：

（一）函數波信號產生器的三角波信號是如何由方波信號轉換而成？

（二）OFFSET（直流抵補）調整鈕的作用為何？

（三）若函數波信號產生器每秒輸出 500 個脈波的信號，且其脈波寬度（pulse width）為 200 微秒（ $\mu\mathrm{s}$ ），試問該脈波信號的工作週期（duty cycle）為多少百分比（%）？

（四）函數波信號產生器製作過程中，正弦信號是由三角波信號整形而成，該整形電路主要是用什麼電路方式來形成？

Accepted Answer

核心觀念

本題考查函數波信號產生器的波形轉換、直流抵補、工作週期，以及正弦波整形方式。

三角波的產生：將方波送入積分器，利用積分器輸出隨時間線性上升或下降的特性，形成三角波。
OFFSET（直流抵補）：調整輸出波形的直流位準，使波形整體向上或向下平移。
工作週期（duty cycle）：脈波在一個週期內處於高電位的時間比例，常以百分比表示： $D=\frac{T_{\text{on}}}{T}\times 100\%$
正弦波整形：利用非線性整形電路，將三角波的線性斜坡轉換為近似正弦曲線。

解題方法

（一）方波轉換為三角波

將對稱方波輸入積分器。方波的正、負電壓分別使積分器輸出以固定斜率上升、下降；當輸入方波極性切換時，輸出斜率也跟著反向，因此形成連續的三角波。

若積分器輸入為固定電壓，其輸出變化率為固定值，這正是三角波斜坡線性變化的原因。

（二）OFFSET 調整鈕的作用

OFFSET 用來調整輸出信號的直流分量，使波形相對於零電位上移或下移。例如，原本以零電位為中心的波形，加入正向直流抵補後，整體向上平移；加入負向直流抵補後，則整體向下平移。

OFFSET 改變的是波形的直流位準，不是直接改變信號頻率或週期。

（三）計算工作週期

Question 4

如圖三，某一電壓計 $M$ 的靈敏度（Sensitivity）為 $10\,\mathrm{k\Omega/V}$ ，若以檔位 50 V 和檔位 500 V 處，分別去量測電路的 G-K 兩點電壓，試求：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（以下計算到小數第二位）

（一）在檔位 50 V 和檔位 500 V 處，電表的讀數分別為多少伏特（V）？

（二）承（一），求絕對誤差和相對誤差分別為多少（%）？

Accepted Answer

核心觀念

電壓計並非理想元件，接到電路兩點間時會以自身內阻並聯在被測支路上，造成負載效應。電表靈敏度為 $10\,\mathrm{k\Omega/V}$ ，在量程 $V_{\text{range}}$ 下的內阻為

R_m=(10\,\mathrm{k\Omega/V})V_{\text{range}}.

未接電表時，G-K 間的真實電壓由 $50\,\mathrm{k\Omega}$ 與 $150\,\mathrm{k\Omega}$ 分壓而得：

V_{\text{true}}=100\frac{50}{50+150}=25.00\,\mathrm{V}.

解題方法

電表接在 G-K 兩點，因此電表內阻 $R_m$ 與 $50\,\mathrm{k\Omega}$ 並聯；並聯後的等效電阻再與 $150\,\mathrm{k\Omega}$ 串聯。讀數就是並聯支路兩端的電壓。

量程 $50\,\mathrm{V}$ ：

R_m=10\times50=500\,\mathrm{k\Omega}

R_{GK}=50\parallel500 =\frac{50\times500}{50+500} =45.45\,\mathrm{k\Omega}

V_{50}=100\frac{45.45}{45.45+150} =23.26\,\mathrm{V}

量程 $500\,\mathrm{V}$ ：

R_m=10\times500=5000\,\mathrm{k\Omega}

Question 5

如圖四，某一電路系統欲以伏安法量測負載 $RL$ 的功率 $PL$（即同時以伏特計和安培計和負載連接，並直接讀取以量測功率的方法）；此處定義：$RA$ 為安培計的內阻，$RV$ 為伏特計的內阻。試就下列量測狀況，分別將圖四中的伏特計和安培計插入連接於系統和負載之間的虛線框內，同時直接由伏特計和安培計讀取電壓和電流值以計算負載功率。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 （一）若負載 $RL$ 為高電阻時且大於或接近於伏特計內阻 $RV$，提出伏特計和安培計的最佳連接負載方式，並描述證明連接理由；負載功率 $PL$ 的量測值與實際值關係為何？ （二）若負載 $RL$ 為低電阻時且小於伏特計內阻 $RV$，提出伏特計和安培計的最佳連接負載方式，並描述證明連接理由；負載功率 $PL$ 的量測值與實際值關係為何？

Accepted Answer

核心觀念 伏安法以伏特計讀值乘以安培計讀值，得到功率的量測值；但兩種電表接法都會讓電表內阻影響電路，因此量測值不一定等於負載實際功率。令負載電壓、電流分別為 $VL$、$IL$，則 $$ PL=VL IL=IL^2RL=\frac{VL^2}{RL} $$ 伏特計內阻為 $RV$，安培計內阻為 $RA$。比較兩種接法造成的相對誤差，即可判斷哪一種較適合。 解題方法與推導 高電阻負載：安培計串聯，伏特計跨接「安培計與負載」 將安培計串聯在負載支路中，伏特計跨接在安培計與負載兩端。安培計讀到負載電流 $IL$，伏特計讀到負載與安培計的總電壓： $$ V{	ext{表}}=VL+ILRA $$ 因此功率量測值為 $$ P{	ext{表}}=V{	ext{表}}IL =(VL+ILRA)IL =PL+IL^2RA $$ 故 $$ \frac{P{	ext{表}}}{PL}=1+\frac{RA}{RL} $$ 量測值比實際值大，誤差來自安培計的內部耗電。負載電阻愈大，$\frac{RA}{RL}$ 愈小，這種接法愈適合高電阻負載。 低電阻負載：伏特計跨接負載，安培計讀取總電流 將伏特計直接跨接負載，安培計接在負載與伏特計的並聯支路外側。伏特計讀到 $VL$，安培計讀到負載電流與伏特計電流之和： $$ I{	ext{表}}=IL+IV =IL+\frac{VL}{RV} $$ 因此功率量測值為 $$ P{	ext{表}}=VLI{	ext{表}} =VLIL+\frac{VL^2}{RV} =PL+\frac{VL^2}{RV} $$ 又因為 $PL=\frac{VL^2}{RL}$，

110 鐵路特考員級電子工程電子儀表概要考古題詳解

第一題20 分

核心觀念

解題方法

（一）平衡時的 $R_x$ 與 $L_x$

（二）電感品質因數 $Q$

第二題20 分

第三題20 分

核心觀念

解題方法

（一）方波轉換為三角波

（二）OFFSET 調整鈕的作用

（三）計算工作週期

第四題20 分

核心觀念

解題方法

第五題20 分

核心觀念

解題方法與推導

高電阻負載：安培計串聯，伏特計跨接「安培計與負載」

低電阻負載：伏特計跨接負載，安培計讀取總電流

其他考古題

110 年電子工程的其他科目

電子工程《電子儀表概要》其他年度

110 鐵路特考員級 電子工程 電子儀表概要 考古題詳解

第 一 題20 分

核心觀念

解題方法

（一）平衡時的 RxR_xRx​ 與 LxL_xLx​

（二）電感品質因數 QQQ

第 二 題20 分

第 三 題20 分

核心觀念

解題方法

（一）方波轉換為三角波

（二）OFFSET 調整鈕的作用

（三）計算工作週期

第 四 題20 分

核心觀念

解題方法

第 五 題20 分

核心觀念

解題方法與推導

高電阻負載：安培計串聯，伏特計跨接「安培計與負載」

低電阻負載：伏特計跨接負載，安培計讀取總電流

其他考古題

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電子工程《電子儀表概要》其他年度

110 鐵路特考員級電子工程電子儀表概要考古題詳解

第一題20 分

（一）平衡時的 $R_x$ 與 $L_x$

（二）電感品質因數 $Q$

第二題20 分

第三題20 分

第四題20 分

第五題20 分