107 高普考普通考試 環境工程 流體力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題評量流體力學基礎中牛頓黏性定律（Newton's Law of Viscosity）​與終端速度（Terminal Velocity）之力的動態平衡：

1. 牛頓黏性定律：在剪切流場中，剪應力 $\tau$ 與速度梯度成正比： $\tau = \mu \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}$ 式中 $\mu$ 為動力黏度（Dynamic Viscosity）。當兩平板間流體速度分布呈線性時，速度梯度為定值 $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} = \frac{V}{h}$，其中 $V$ 為滑塊速度，$h$ 為間隙厚度。
2. 黏性阻力（剪力）：流體施加於接觸面上的阻力為剪應力與接觸面積之乘積： $F_\tau = \tau A = \mu \frac{V}{h} A$
3. 終端速度之動態平衡：物塊自靜止釋放後沿斜面加速下滑，黏性阻力隨速度增加而增大；當沿斜面向下的重力分力與沿斜面向上的黏性阻力大小相等時，合力為零，物塊加速度為零，此時之速度即為最終速度（終端速度）。

解題方法

1. 已知條件與幾何關係

由題意與原卷圖一所示：

• 物塊質量：$m = 10\ \mathrm{kg}$
• 斜面傾角（圖一標示）：$\theta = 20^\circ$
• 間隙厚度：$h = 0.1\ \mathrm{mm} = 1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m}$
• 機油動力黏度：$\mu = 0.38\ \mathrm{N\cdot s/m^2}$
• 接觸面積：$A = 0.1\ \mathrm{m^2}$
• 重力加速度：取 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$（若取 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ 亦於後續列出）

2. 受力分析

物塊沿平行於斜面方向受兩力作用：

• 沿斜面向下的重力分力 $F_g$： $F_g = mg \sin\theta$
• 沿斜面向上的油膜黏性阻力 $F_\tau$： $F_\tau = \tau A = \mu \left(\frac{V}{h}\right) A$

3. 建立平衡方程式

當物塊達到最終速度 $V$ 時，沿斜面方向之加速度 $a = 0$，滿足力平衡條件： $\sum F_\parallel = F_g - F_\tau = 0$ $mg \sin\theta = \mu \frac{V}{h} A$

4. 推導最終速度公式

將未知數 $V$ 移至等號左側： $V = \frac{mg \sin\theta \cdot h}{\mu A}$

5. 數值代入計算

• 沿斜面之重力分力：

核心觀念

本題為流體力學中典型的「非穩態控制體積（Unsteady Control Volume）質量／體積守恆」問題，核心理論基礎為雷諾傳輸定理（Reynolds Transport Theorem, RTT）​與連續方程式（Continuity Equation）。

1. 不可壓縮流體連續方程式： 水在常溫常壓下視為不可壓縮流體（密度 $\rho = \text{常數}$），因此質量守恆可直接簡化為體積守恆： $\frac{d\mathcal{V}_{\text{sys}}}{dt} = \frac{d}{dt}\int_{\text{CV}} d\mathcal{V} + \sum Q_{\text{out}} - \sum Q_{\text{in}} = 0$ 即控制體積內流體體積的增加率，等於流入與流出之體積流量差： $\frac{d\mathcal{V}}{dt} = Q_{\text{in}} - Q_{\text{out}}$

2. 幾何體積與水位關係： 對於底面積固定為矩形之柱狀容器，儲水體積 $\mathcal{V} = A_{\text{tank}} \cdot h$，其中 $A_{\text{tank}}$ 為浴盆之水平截面積，$h$ 為即時水深。 當底面積不隨時間改變時： $\frac{d\mathcal{V}}{dt} = A_{\text{tank}}\frac{dh}{dt}$

解題方法

1. 選定控制體積（Control Volume, CV）

選取浴盆內部容納水之空間為控制體積，其頂部邊界面隨水面上升而移動（變動邊界控制體積）。

2. 列出已知條件與單位換算

• 流入體積流量： $Q_{\text{in}} = 34\ \mathrm{L/min} = 34 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3/min} = 0.034\ \mathrm{m^3/min}$ 若換算為 SI 制秒單位（$\mathrm{m^3/s}$）： $Q_{\text{in}} = \frac{34 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3}}{60\ \mathrm{s}} = \frac{17}{30000}\ \mathrm{m^3/s} \approx 5.667 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^3/s}$
• 流出體積流量： 浴盆未設有排水或排水孔關閉，故 $Q_{\text{out}} = 0$。
• 浴盆底面積（水平截面積）$A_{\text{tank}}$： 由圖示尺寸長 $L = 1.5\ \mathrm{m}$、寬 $W = 0.6\ \mathrm{m}$ 計算： $A_{\text{tank}} = 1.5\ \mathrm{m} \times 0.6\ \mathrm{m} = 0.9\ \mathrm{m^2}$

3. 推導水位變化率 $\frac{dh}{dt}$

將體積關係代入連續方程式： $A_{\text{tank}}\frac{dh}{dt} = Q_{\text{in}} - Q_{\text{out}} = Q_{\text{in}}$ $\frac{dh}{dt} = \frac{Q_{\text{in}}}{A_{\text{tank}}}$

4. 數值代入計算

• 以 $\mathrm{m/min}$ 或 $\mathrm{cm/min}$ 表示：

核心觀念

1. 連續方程式（Continuity Equation）： 對於定常、不可壓縮流體，流經文氏計各斷面之體積流量守恆： $Q = A_1 V_1 = A_2 V_2$
2. 伯努利方程式（Bernoulli Equation）： 忽略黏性效應（無摩擦能量損失）時，沿流線之總水頭守恆： $\frac{p_1}{\gamma} + z_1 + \frac{V_1^2}{2g} = \frac{p_2}{\gamma} + z_2 + \frac{V_2^2}{2g}$ 式中 $p$ 為靜壓力、$\gamma$ 為液體單位重（比重量）、$z$ 為截面中心高程、$V$ 為平均流速、$g$ 為重力加速度。
3. 測壓管水頭與液面高度差： 開口測壓管（piezometer）之液面高度直接反映該測點之靜水頭（壓力水頭）： $h = \frac{p}{\gamma}$ 安裝於喉部之開口管，燃料液面相對於喉部中心點之垂直高度差即為 $h = \frac{p_2}{\gamma}$。若數值為負，代表該處為低於大氣壓之負壓（真空壓力）。

解題方法

1. 幾何條件與已知參數

• 截面 1（管徑處）：直徑 $D_1 = 15\ \mathrm{cm} = 0.15\ \mathrm{m}$，流速 $V_1 = 5\ \mathrm{m/s}$。開口管內燃料液面高程為 $2.0\ \mathrm{m}$（相對於截面 1 中心點），即入口壓力水頭 $\frac{p_1}{\gamma} = 2.0\ \mathrm{m}$。
• 截面 2（喉部處）：直徑 $D_2 = 10\ \mathrm{cm} = 0.10\ \mathrm{m}$。
• 高程差：以截面 1 中心為基準面（$z_1 = 0$）。圖示標註喉部中心高程較截面 1 高出 $20\ \mathrm{cm} = 0.20\ \mathrm{m}$，即 $z_2 = 0.20\ \mathrm{m}$。
• 流體性質：JP-4 燃料（比重 $S = 0.77$）。由於測壓管內為同種液體，比重在水頭轉換中互相消去。重力加速度取 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$（取 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ 亦可）。

2. 由連續方程式求喉部流速 $V_2$

$V_2 = V_1 \left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2 = 5 \times \left(\frac{0.15}{0.10}\right)^2 = 5 \times (1.5)^2 = 5 \times 2.25 = 11.25\ \mathrm{m/s}$

3. 計算速度水頭差

• 截面 1 速度水頭： $\frac{V_1^2}{2g} = \frac{5^2}{2 \times 9.81} = \frac{25}{19.62} \approx 1.274\ \mathrm{m}$
• 截面 2 速度水頭： $\frac{V_2^2}{2g} = \frac{11.25^2}{2 \times 9.81} = \frac{126.5625}{19.62} \approx 6.451\ \mathrm{m}$
• 速度水頭增加量： $\frac{V_2^2 - V_1^2}{2g} = \frac{101.5625}{19.62} \approx 5.177\ \mathrm{m} \quad (\text{若取 } g = 9.8\ \mathrm{m/s^2} \text{ 則為 } 5.182\ \mathrm{m})$

核心觀念

本題為公職考試「流體力學」中極為經典的控制體積積分分析（Control Volume Analysis）綜合計算題，核心在於結合三大守恆定律與方程式：

1. 連續方程式（質量守恆）： 對於不可壓縮、定常之一維流動，通過控制體積之淨質量通量為零，即流入總體積流量等於流出總體積流量： $\sum Q_{\text{in}} = \sum Q_{\text{out}}$ 各截面流量與平均流速、截面積之關係為 $Q = A V$。

2. 伯努利方程式（機械能量守恆）： 題目載明「無摩擦、不可壓縮、一維水流、水平管」，代表無黏滯摩擦損失（水頭損失 $h_L = 0$），且各截面中心線之高程相同（$z_1 = z_2 = z_3 = 0$），各流線間之總壓（Stagnation Pressure）保持常數： $p_1 + \frac{1}{2}\rho V_1^2 = p_2 + \frac{1}{2}\rho V_2^2 = p_3 + \frac{1}{2}\rho V_3^2$ 此式用以在未知截面壓力時，由已知截面壓力與流速推算其他截面之靜壓力。

3. 線性動量方程式（動量守恆）： 依據雷諾傳輸定理（Reynolds Transport Theorem），定常流動下作用於控制體積上之所有外力總和，等於流出與流入控制體積之動量流通量（Momentum Flux）淨差額： $\sum \mathbf{F} = \sum (\dot{m}\mathbf{V})_{\text{out}} - \sum (\dot{m}\mathbf{V})_{\text{in}} = \sum (\rho Q \mathbf{V})_{\text{out}} - \sum (\rho Q \mathbf{V})_{\text{in}}$ 外力 $\sum \mathbf{F}$ 包含各開口截面流體承受之外界壓力力（$pA$，方向垂直截面並指向控制體積內部）以及管壁（T 型連接頭）作用在流體上的反作用力 $\mathbf{R} = (R_x, R_y)$。

解題方法

1. 幾何參數與流向設定

本題題目文字未詳述圖四之各管口流向與座標方位，依國家考試典型題型之合理設定：水平直管沿 $x$ 軸設置，截面（1）位於左端為流入端（流向 $+x$ 方向），截面（3）位於右端為流出端（流向 $+x$ 方向）；垂直支管沿 $y$ 軸設置，截面（2）位於下端為流入端（流向 $+y$ 方向），兩股流體合流後由截面（3）流出。

• 各管內徑皆為 $D = 1\ \mathrm{m}$，故各截面積相等： $A_1 = A_2 = A_3 = A = \frac{\pi}{4} D^2 = \frac{\pi}{4} (1)^2 = \frac{\pi}{4}\ \mathrm{m^2} \approx 0.7854\ \mathrm{m^2}$
• 水之密度取標準值 $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$。

2. 連續方程式求解各截面流量與流速

• 截面（1）： $Q_1 = A_1 V_1 = \left(\frac{\pi}{4}\right) \times 6 = 1.5\pi \approx 4.7124\ \mathrm{m^3/s}$
• 截面（3）： 已知 $Q_3 = 10\ \mathrm{m^3/s}$，故流速為： $V_3 = \frac{Q_3}{A_3} = \frac{10}{\frac{\pi}{4}} = \frac{40}{\pi} \approx 12.7324\ \mathrm{m/s}$
• 截面（2）： 由質量守恆 $Q_1 + Q_2 = Q_3$： $Q_2 = Q_3 - Q_1 = 10 - 1.5\pi \approx 10 - 4.7124 = 5.2876\ \mathrm{m^3/s}$ 截面（2）之流速為： $V_2 = \frac{Q_2}{A_2} = \frac{5.2876}{\frac{\pi}{4}} = \frac{40}{\pi} - 6 \approx 12.7324 - 6 = 6.7324\ \mathrm{m/s}$

3. 伯努利方程式求解各截面壓力

各截面高程相同（$z_1 = z_2 = z_3 = 0$）且無摩擦損失： 總壓（Stagnation Pressure）為： $p_0 = p_1 + \frac{1}{2}\rho V_1^2 = 200{,}000 + \frac{1}{2}(1000)(6)^2 = 200{,}000 + 18{,}000 = 218{,}000\ \mathrm{Pa} = 218\ \mathrm{kPa}$

• 求解截面（2）之壓力 $p_2$： $p_2 = p_0 - \frac{1}{2}\rho V_2^2 = 218{,}000 - \frac{1}{2}(1000)(6.7324)^2 = 218{,}000 - 22{,}662.6 \approx 195{,}337.4\ \mathrm{Pa} \approx 195.34\ \mathrm{kPa}$
• 求解截面（3）之壓力 $p_3$：

核心觀念

1. 流體力學相似律（Similitude and Model Testing）： 為了使風洞模型試驗能量測到與實際原型相同的阻力係數（$C_D$）與升力係數（$C_L$），模型與原型之間必須滿足幾何相似（Geometric Similarity）​與動態相似（Dynamic Similarity）。
2. 雷諾數（Reynolds Number, $Re$）： 雷諾數表示慣性力與黏滯力之比值，定義為： $Re = \frac{V L}{\nu}$ 其中 $V$ 為流體流速、$L$ 為物體的特徵長度、$\nu$ 為流體的運動黏性係數（Kinematic Viscosity，$\nu = \frac{\mu}{\rho}$）。
3. 雷諾數相似準則： 本題完全浸沒於流體中且無自由液面效應，主要支配力量為慣性力與黏滯力，動態相似要求模型（下標 $m$）與原型（下標 $p$）的雷諾數相等： $Re_m = Re_p \implies \frac{V_m L_m}{\nu_m} = \frac{V_p L_p}{\nu_p}$

解題方法

1. 整理已知條件與物理量：

• 原型（Prototype，海水中航行）：
• 航行速度 $V_p = 24\ \mathrm{km/h} = 24 \times \frac{1000\ \mathrm{m}}{3600\ \mathrm{s}} = \frac{20}{3}\ \mathrm{m/s} \approx 6.67\ \mathrm{m/s}$
• 海水運動黏性係數 $\nu_p = 1.17 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}$
• 特徵長度為 $L_p$
• 模型（Model，標準空氣風洞）：
• 空氣運動黏性係數 $\nu_m = 1.46 \times 10^{-5}\ \mathrm{m^2/s}$
• 特徵長度為 $L_m$
• 需求風洞速度為 $V_m$

2. 幾何尺度關係： 題目給定「採用和原型相同尺度的模型試驗進行測試」，即幾何尺度比為 $1:1$： $\frac{L_m}{L_p} = 1 \implies L_m = L_p$

3. 推導風洞速度公式： 根據雷諾數相似條件 $Re_m = Re_p$： $\frac{V_m L_m}{\nu_m} = \frac{V_p L_p}{\nu_p}$ 將 $L_m = L_p$ 代入消去特徵長度，整理得到風洞流速： $V_m = V_p \left(\frac{\nu_m}{\nu_p}\right)$