108 高普考普通考試 環境工程 流體力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題旨在測驗「位勢流理論（Potential Flow Theory）」的數學基礎及其在物理流場上的適用條件，核心觀念如下：

1. 速度位勢函數（Velocity Potential Function, $\phi$）的數學定義： 若流場中存在一純量函數 $\phi(x, y, z, t)$，使得流速向量 $\vec{V}$ 可表示為其梯度： $\vec{V} = \nabla \phi \quad \left(\text{或定義為 } \vec{V} = -\nabla \phi\right)$
2. 向量恆等式與無旋條件： 純量場梯度的旋度恆等於零，即 $\nabla \times (\nabla \phi) \equiv 0$。因此，速度位勢函數存在的充要條件為流場必須為無旋流（Irrotational Flow），亦即渦度向量（Vorticity）為零： $\vec{\omega} = \nabla \times \vec{V} = 0$
3. 可壓縮性與位勢流的關係： 流體是否可壓縮（Compressibility），決定的是連續方程式之形式以及 $\phi$ 所滿足的偏微分方程式（是否滿足拉普拉斯方程式 $\nabla^2 \phi = 0$），並不影響速度位勢函數 $\phi$ 存在的數學定義。
4. 非黏性流場之無旋維持機制： 根據開爾文環量定理（Kelvin's Circulation Theorem）​與克羅柯定理（Crocco's Theorem），非黏性流體在滿足特定熱力學條件下，若初始無旋，則流動過程中將持續保持無旋。

解題方法

本題為觀念推導與申論題，解題切入點分為「數學存在條件」與「動力學物理條件」兩層次展開：

步驟一：判斷是否存在速度位勢函數

答案為「存在」。 在單連通空間（Simply-connected domain）內，純量函數 $\phi$ 的存在性純粹取決於速度向量場 $\vec{V}$ 是否為無旋場（Conservative vector field / Irrotational field）。流體是否具備可壓縮性，與純量位勢函數的數學存在性無關。

步驟二：數學條件（運動學充要條件）

速度向量 $\vec{V} = u\hat{i} + v\hat{j} + w\hat{k}$ 可寫成 $\vec{V} = \nabla \phi$ 的充分必要條件為流場的旋度為零： $\vec{\omega} = \nabla \times \vec{V} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u & v & w \end{vmatrix} = \left( \frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z} \right)\hat{i} + \left( \frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x} \right)\hat{j} + \left( \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right)\hat{k} = \vec{0}$ 即各方向的渦度分量皆滿足： $\omega_x = \frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z} = 0, \quad \omega_y = \frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x} = 0, \quad \omega_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} = 0$

步驟三：物理實現條件（動力學條件）

題目已設定流體為「非黏性流體（Inviscid Fluid, $\mu = 0$）」。要使可壓縮流體在運動過程中持續維持無旋狀態（$\vec{\omega} = 0$），需滿足以下動力條件：

核心觀念

本題考查流體力學之因次分析（Dimensional Analysis）​與模型相似律（Model Similitude / Dynamic Similarity）​在自由液面流動（如船舶或水面浮體阻力）上的應用。

1. 涉及之無因次參數：

• 福祿數（Froude number, $Fr$）：表徵慣性力與重力之比，主導自由水面的波浪形成與造波阻力（Wave-making resistance）。 $Fr = \frac{V}{\sqrt{gL}}$
• 雷諾茲數（Reynolds number, $Re$）：表徵慣性力與黏滯力之比，主導流體邊界層摩擦阻力（Frictional / Viscous resistance）。 $Re = \frac{VL}{\nu}$ （其中 $V$ 為特徵流速，$L$ 為特徵長度，$g$ 為重力加速度，$\nu = \frac{\mu}{\rho}$ 為動黏滯係數 Kinematic viscosity）。

2. 完全動力相似（Complete Dynamic Similarity）： 若要由模型（下標 $m$）試驗直接推估實體（下標 $p$）之阻力特性，理論上必須同時滿足福祿相似律（$Fr_m = Fr_p$）與雷諾相似律（$Re_m = Re_p$）。

解題方法

一、 理論上完全動力相似之條件推導

設幾何尺度比為： $\lambda = \frac{L_m}{L_p} = \frac{1}{25}$

1. 滿足福祿相似（$Fr_m = Fr_p$）： $\frac{V_m}{\sqrt{g_m L_m}} = \frac{V_p}{\sqrt{g_p L_p}}$ 在相同重力場環境下（$g_m = g_p$），速度比必須滿足： $\frac{V_m}{V_p} = \sqrt{\frac{L_m}{L_p}} = \lambda^{1/2} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$

2. 滿足雷諾相似（$Re_m = Re_p$）： $\frac{V_m L_m}{\nu_m} = \frac{V_p L_p}{\nu_p} \implies \frac{\nu_m}{\nu_p} = \left(\frac{V_m}{V_p}\right) \left(\frac{L_m}{L_p}\right)$

3. 聯立求解流體動黏滯係數條件： 將速度比 $\frac{V_m}{V_p} = \lambda^{1/2}$ 代入雷諾數相似條件中： $\frac{\nu_m}{\nu_p} = \lambda^{1/2} \cdot \lambda = \lambda^{3/2} = \left(\frac{1}{25}\right)^{3/2} = \frac{1}{125}$

結論：若要完全滿足動力相似，模型所使用的試驗流體，其動黏滯係數必須僅為實體流體（如常溫水）的 $\frac{1}{125}$。

二、 工程實務推估之替代條件（阻力分離法）

自然界中並無黏度僅為水之 $\frac{1}{125}$ 且適合進行大型水槽試驗之流體（即使水銀的動黏滯係數亦達水之約 $\frac{1}{9}$），因此實務試驗皆以「水」作為模型介質（即 $\nu_m \approx \nu_p$）。在此限制下，無法同時滿足兩者，必須改採以下工程條件推估：

核心觀念

本題使用水泵的能量方程（擴展伯努力方程）計算水泵所需水頭，再以

計算水泵對水所提供的功率。其中 $Q$ 為流量，$H_p$ 為水泵揚程。若要求水泵軸功率，還須知道水泵效率。

配水池上方壓力 $120\ \mathrm{kPa}$ 是絕對壓力；出流至大氣，因此壓力差為

解題方法

取配水池自由液面為上游點，出流口為下游點。依圖示，假設出流口中心高程與標示的高點同高，則出流口比抽水機中心線高 $1.5+3=4.5\ \mathrm{m}$；配水池自由液面比抽水機中心線高 $2\ \mathrm{m}$，所以

忽略損失，且配水池液面速度可視為零，能量方程為

出流口壓力為大氣壓，故以表壓計算可得

核心觀念

1. 曼寧公式（Manning's Formula）： 明渠均勻流之流量計算式為： $Q = \frac{1}{n} A R^{2/3} S_0^{1/2}$ 式中：

• $Q$ 為流量（$\mathrm{m^3/s}$，即 $\mathrm{cms}$）
• $n$ 為曼寧糙度係數
• $A$ 為通水斷面積（$\mathrm{m^2}$）
• $R = \frac{A}{P}$ 為水力半徑（$\mathrm{m}$），$P$ 為濕周（$\mathrm{m}$）
• $S_0$ 為渠道縱坡

2. 最優水力斷面（Best Hydraulic Section）： 當斷面積 $A$、糙度係數 $n$ 與縱坡 $S_0$ 為定值時，由曼寧公式可知，欲獲得最大輸水流量 $Q$，必須使水力半徑 $R$ 達到最大；而在通水面積 $A$ 固定下，等價於使濕周 $P$ 達到最小。

3. 固定側坡角之梯形最優水力條件： 設側坡比為 1（垂直）：$z$（水平），即 $z = \cot\theta$。對於固定側坡傾角 $\theta$ 的梯形斷面，在濕周最小化（$dP/dy = 0$）的條件下，具有以下幾何特性：

• 水力半徑滿足：$R = \frac{y}{2}$
• 底寬與水深關係：$b = 2y(\sqrt{1+z^2} - z)$
• 通水斷面積與水深關係：$A = y^2(2\sqrt{1+z^2} - z)$

解題方法

步驟一：建立斷面幾何關係式 設梯形渠道底寬為 $b$、水深為 $y$。 側坡傾角 $\theta = 45^\circ$，側坡比之水平投影比值為： $z = \cot 45^\circ = 1$ 通水斷面積 $A$ 與濕周 $P$ 之表達式分別為： $A = (b + zy)y = by + y^2$ $P = b + 2y\sqrt{1 + z^2} = b + 2\sqrt{2}y$

步驟二：以水深 $y$ 表示濕周 $P$ 並求極值條件 由面積式可得底寬 $b = \frac{A}{y} - y$，代入濕周式中： $P = \left(\frac{A}{y} - y\right) + 2\sqrt{2}y = \frac{A}{y} + (2\sqrt{2} - 1)y$ 欲使濕周 $P$ 最小，令一階導數為零： $\frac{dP}{dy} = -\frac{A}{y^2} + (2\sqrt{2} - 1) = 0$ 解得最佳水深 $y$ 與面積 $A$ 之關係： $y = \sqrt{\frac{A}{2\sqrt{2} - 1}}$

步驟三：計算最佳水深 $y$ 與水力半徑 $R$ 將已知 $A = 100\ \mathrm{m^2}$ 代入計算： $y^2 = \frac{100}{2\sqrt{2} - 1} = \frac{100}{2(1.4142) - 1} = \frac{100}{1.8284} \approx 54.693\ \mathrm{m^2}$ $y = \sqrt{54.693} \approx 7.395\ \mathrm{m}$

將極值條件 $(2\sqrt{2} - 1) = \frac{A}{y^2}$ 代回濕周式： $P = \frac{A}{y} + \frac{A}{y} = \frac{2A}{y}$ 因此水力半徑 $R$ 為： $R = \frac{A}{P} = \frac{y}{2} = \frac{7.395}{2} \approx 3.698\ \mathrm{m}$