107 高普考普通考試 水利工程 流體力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題評量黏性流體力學與牛頓力學的綜合應用，主要涵蓋以下核心原理：

1. 牛頓黏性定律（Newton's Law of Viscosity）：流體層間的剪應力 $\tau$ 與速度梯度成正比： $\tau = \mu \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}$ 式中 $\mu$ 為流體的動力黏度。題目給定油膜間隙內速度呈線性分布，固定斜面處流體速度為 $0$（無滑移條件），物塊接觸面處流體速度為物塊速度 $V$，間隙厚度為 $h$，故速度梯度為常數： $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} = \frac{V}{h}$
2. 黏性阻力（Viscous Shear Force）：機油對物塊底面所施加的總剪力 $F_v$ 為剪應力乘上接觸面積 $A$： $F_v = \tau A = \mu \frac{V}{h} A$
3. 終端速度與力平衡（Terminal Velocity & Force Equilibrium）：當物塊加速至最終速度時，加速度歸零（$a = 0$），物塊受力達到動態平衡。沿斜面方向上，重力下滑分力與流體黏性阻力大小相等、方向相反。

解題方法

1. 幾何條件與已知物理量

依原卷圖一所示，斜面與水平面之夾角為 $\theta = 20^\circ$。已知條件如下：

• 物塊質量：$m = 10\ \mathrm{kg}$
• 重力加速度：取標準值 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$（若取 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ 亦於後續列出）
• 斜面傾角：$\theta = 20^\circ$
• 油膜間隙厚度：$h = 0.1\ \mathrm{mm} = 1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m}$
• 機油動力黏度：$\mu = 0.38\ \mathrm{N\cdot s/m^2}$
• 接觸面積：$A = 0.1\ \mathrm{m^2}$

2. 受力分析與方程式推導

• 重力沿斜面的下滑分力 $F_g$： $F_g = m g \sin\theta$
• 阻礙物塊下滑的黏性剪力 $F_v$： $F_v = \mu \frac{V}{h} A$
• 沿斜面方向之平衡方程式： 物塊達到最終速度 $V$ 時，合力為零（$\sum F_{\parallel} = 0$）： $m g \sin\theta - F_v = 0$ $m g \sin\theta = \mu \frac{V}{h} A$
• 求解最終速度 $V$ 的代數表示式：

核心觀念

本題旨在考驗流體力學之質量守恆定律（Conservation of Mass）​與雷諾傳輸定理（Reynolds Transport Theorem, RTT）​在非定常流（變形控制體積）或開口容器充水問題的應用：

1. 不可壓縮流體的連續方程式： 水在常溫常壓下可視為密度 $\rho$ 為常數之不可壓縮流體。在無洩流（無出水口）情況下，流入系統之體積流量 $Q_{\text{in}}$ 即等於控制體積內蓄水量隨時間的增加率： $\frac{d\mathcal{V}}{dt} = Q_{\text{in}}$
2. 水深與體積的幾何關係： 浴盆為直立矩形柱狀空間，水面截面積 $A$ 不隨水深變化，水體積 $\mathcal{V}(t) = A \cdot h(t)$，因此體積變化率與水位上升率之關係為： $\frac{d\mathcal{V}}{dt} = A \frac{dh}{dt}$
3. 雷諾傳輸定理（動邊界控制體積）： 若選取水面為運動邊界之控制體積，考量射流截面積 $A_j$ 與水面相對運動速度，可推得更嚴謹之質量平衡關係式。

解題方法

1. 幾何尺寸與流量數據整理

• 浴盆水平截面積 $A$： 依圖示尺寸，浴盆長 $L = 1.5\ \mathrm{m}$、寬 $W = 0.6\ \mathrm{m}$，故浴盆水平水面截面積為： $A = L \times W = 1.5\ \mathrm{m} \times 0.6\ \mathrm{m} = 0.9\ \mathrm{m^2}$

註：題文提及之「截面積為 $0.9\ \mathrm{m^2}$」，與圖中浴盆水平截面積 $1.5\ \mathrm{m} \times 0.6\ \mathrm{m} = 0.9\ \mathrm{m^2}$ 完全吻合。一般家用水龍頭水管截面積不可能高達 $0.9\ \mathrm{m^2}$（此面積相當於直徑逾 $1\ \mathrm{m}$ 之巨型輸水管），故此數值確定為浴盆（水槽）之水平斷面積 $A$。

• 進水體積流量 $Q$： $Q = 34\ \mathrm{L/min}$ 將單位換算為國際標準制（$\mathrm{m^3/s}$）： $1\ \mathrm{L} = 10^{-3}\ \mathrm{m^3}, \quad 1\ \mathrm{min} = 60\ \mathrm{s}$ $Q = \frac{34 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3}}{60\ \mathrm{s}} = \frac{34}{60000}\ \mathrm{m^3/s} = \frac{17}{30000}\ \mathrm{m^3/s} \approx 5.667 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^3/s}$

2. 控制體積質量守恆推導

【方法一：巨觀體積平衡法（工程常用法）】

選取浴盆內之整體積水為控制體積（Control Volume, CV），流體密度 $\rho$ 均勻且恆定： $\frac{dM_{\text{sys}}}{dt} = 0 \implies \frac{d}{dt}\int_{\text{CV}} \rho\, d\mathcal{V} = \rho Q_{\text{in}} - \rho Q_{\text{out}}$ 浴盆無排水口，故 $Q_{\text{out}} = 0$。同除以 $\rho$： $\frac{d\mathcal{V}}{dt} = Q$ 由於浴盆側壁垂直，水平截面積 $A = 0.9\ \mathrm{m^2}$ 為定值： $\mathcal{V}(t) = A \cdot h(t)$ 微分得： $\frac{d\mathcal{V}}{dt} = A \frac{dh}{dt} = Q$ 移項求得水位隨時間的變化率： $\frac{dh}{dt} = \frac{Q}{A}$

【方法二：動邊界雷諾傳輸定理（RTT 嚴密推導）】

選取自由液面隨水位上升而變動的控制體積，控制表面（Control Surface, CS）頂部以速度 $\vec{V}_{\text{CS}} = \frac{dh}{dt}\hat{k}$ 向上運動： $\frac{d}{dt}\int_{\text{CV}} \rho\, d\mathcal{V} + \int_{\text{CS}} \rho (\vec{V} - \vec{V}_{\text{CS}}) \cdot \hat{n}\, dA = 0$

• 控制體積內質量增加率：

核心觀念

本題為經典的文氏計（Venturi meter）流體動力學分析，主要測驗考生對不可壓縮流體連續方程式與柏努利方程式（Bernoulli equation）​之整合應用能力：

1. 連續方程式（Continuity Equation）：對於不可壓縮之定常流，流經各斷面之體積流量守恆： $Q = A_1 V_1 = A_2 V_2 \implies V_2 = V_1 \left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2$
2. 柏努利方程式（Bernoulli Equation）：忽略流體黏性效應（無水頭損失）之定常流，沿同一流線能量守恆： $\frac{p_1}{\gamma} + z_1 + \frac{V_1^2}{2g} = \frac{p_2}{\gamma} + z_2 + \frac{V_2^2}{2g}$ 其中 $\frac{p}{\gamma}$ 為壓力水頭（以所流動之燃料液柱高表示）、$z$ 為位置水頭、$\frac{V^2}{2g}$ 為速度水頭。
3. 測壓管水頭與液面差：開口管內燃料液面高於管中心點之垂直高度即代表該點之表壓水頭 $\frac{p}{\gamma}$。若算得 $\frac{p}{\gamma} < 0$，代表該斷面處處於真空壓（負表壓），理論液面低於中心點。

解題方法

1. 斷面選定：

• 斷面 1：文氏計上游直徑 $D_1 = 15\ \mathrm{cm}$ 之管路中心。
• 斷面 2：文氏計喉部直徑 $D_2 = 10\ \mathrm{cm}$ 之管路中心。

2. 幾何尺寸讀圖與合理假設：

• 原題圖示標註管路傾角為 $20^\circ$（向上傾斜流動）。
• 入口測壓管之液面高程標註為 $2.0\ \mathrm{m}$，代表入口斷面之壓力水頭 $\frac{p_1}{\gamma} = 2.0\ \mathrm{m}$。
• 斷面 1 至斷面 2 沿管軸之中心距為 $L = 20\ \mathrm{cm} = 0.20\ \mathrm{m}$，兩斷面之垂直高差為： $z_2 - z_1 = L \sin 20^\circ = 0.20 \times \sin 20^\circ\ \mathrm{m}$ （若圖中 $20\ \mathrm{cm}$ 為兩斷面垂直高差，則 $z_2 - z_1 = 0.20\ \mathrm{m}$，解題中一併列出對照）。

3. 計算流程：

• 利用連續方程式求出喉部流速 $V_2$。
• 分別計算兩斷面之速度水頭 $\frac{V_1^2}{2g}$ 與 $\frac{V_2^2}{2g}$。
• 帶入柏努利方程式，解出喉部開口管之燃料液面與喉部中心點的高度差 $h = \frac{p_2}{\gamma}$。

計算推導

步驟一：計算喉部流速 $V_2$

由不可壓縮連續方程式： $V_2 = V_1 \left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2 = 5 \times \left(\frac{0.15}{0.10}\right)^2 = 5 \times (1.5)^2 = 11.25\ \mathrm{m/s}$

步驟二：計算各斷面速度水頭（取重力加速度 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$）

• 斷面 1 之速度水頭： $\frac{V_1^2}{2g} = \frac{5^2}{2 \times 9.81} = \frac{25}{19.62} \approx 1.274\ \mathrm{m}$

核心觀念

本題為水平管路分合流之動量分析經典考題，評量考生對管流控制體積（Control Volume, CV）之質量守恆、能量守恆與動量守恆的整合應用能力。涉及的核心觀念與公式如下：

1. 連續方程式（質量守恆，Mass Conservation）： 對於不可壓縮流體（$\rho = \mathrm{constant}$）： $\sum Q_{\text{in}} = \sum Q_{\text{out}}$ 其中每一截面之體積流量為 $Q = A V$。

2. 白努利方程式（能量守恆，Energy Conservation）： 題目指明流體為「無摩擦、不可壓縮、一維水平流動」，管軸無高程差（$z_1 = z_2 = z_3$）且無水頭損失（$h_L = 0$），系統內總能量（總壓 $p_0$）守恆： $p_1 + \frac{1}{2}\rho V_1^2 = p_2 + \frac{1}{2}\rho V_2^2 = p_3 + \frac{1}{2}\rho V_3^2 = p_0$

3. 線性動量方程式（牛頓第二運動定律，Linear Momentum Equation）： 選定連接頭內水體為控制體積，一維穩態外力合力等於流出動量流通量減去流入動量流通量： $\sum \mathbf{F} = \sum_{\text{out}} \dot{m} \mathbf{V} - \sum_{\text{in}} \dot{m} \mathbf{V}$ 外力包含管端流體之靜壓力（恆指向控制體積內部）以及管壁施加於水體之反作用力 $\mathbf{R} = R_x \hat{i} + R_y \hat{j}$。

解題方法

步驟一：幾何設定與流向基準判定

原卷圖四之幾何配置為：水平直管置於 $x$ 軸（截面 1 位於左端，截面 2 位於右端），垂直分支管沿 $y$ 軸（截面 3 位於上方）。管內水之密度採常溫常壓標準值 $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$。各截面內徑皆為 $D = 1\ \mathrm{m}$，其截面積相同： $A = A_1 = A_2 = A_3 = \frac{\pi}{4} D^2 = \frac{\pi}{4} (1)^2 = \frac{\pi}{4}\ \mathrm{m^2} \approx 0.7854\ \mathrm{m^2}$

依題意：

• 截面（1）：水流向右流入連接頭（$+x$ 方向），$V_1 = 6\ \mathrm{m/s}$，$p_1 = 200\ \mathrm{kPa} = 200,000\ \mathrm{Pa}$。其體積流量為： $Q_1 = A_1 V_1 = \frac{\pi}{4} \times 6 = 1.5\pi \approx 4.7124\ \mathrm{m^3/s}$
• 截面（3）：水流向上流出連接頭（$+y$ 方向），$Q_3 = 10\ \mathrm{m^3/s}$。其流速大小為： $V_3 = \frac{Q_3}{A_3} = \frac{10}{\pi/4} = \frac{40}{\pi} \approx 12.7324\ \mathrm{m/s}$
• 截面（2）：由於流出流量 $Q_3 = 10\ \mathrm{m^3/s} > Q_1 = 4.7124\ \mathrm{m^3/s}$，依質量守恆 $\sum Q_{\text{in}} = \sum Q_{\text{out}}$，截面（2）必須為流入（向左，即 $-x$ 方向流入連接頭）： $Q_1 + Q_2 = Q_3 \implies Q_2 = Q_3 - Q_1 = 10 - 1.5\pi \approx 5.2876\ \mathrm{m^3/s}$ 截面（2）之流速大小為： $V_2 = \frac{Q_2}{A_2} = \frac{5.2876}{\pi/4} = \frac{40}{\pi} - 6 \approx 6.7324\ \mathrm{m/s}$

步驟二：利用白努利方程式求解未知壓力 $p_2$ 與 $p_3$

由無摩擦水平流動之總壓守恆： $p_0 = p_1 + \frac{1}{2}\rho V_1^2 = 200,000 + \frac{1}{2}(1000)(6)^2 = 200,000 + 18,000 = 218,000\ \mathrm{Pa}$

1. 截面（2）之壓力 $p_2$： $p_2 = p_0 - \frac{1}{2}\rho V_2^2 = 218,000 - \frac{1}{2}(1000)(6.7324)^2 = 218,000 - 22,662.6 = 195,337.4\ \mathrm{Pa} \approx 195.34\ \mathrm{kPa}$

2. 截面（3）之壓力 $p_3$： $p_3 = p_0 - \frac{1}{2}\rho V_3^2 = 218,000 - \frac{1}{2}(1000)(12.7324)^2 = 218,000 - 81,057.0 = 136,943.0\ \mathrm{Pa} \approx 136.94\ \mathrm{kPa}$

步驟三：建立動量方程式求解受力分量

選取 T 型接頭內部之水體為控制體積。設接頭作用於水之作用力分量為 $R_x$ 與 $R_y$。

1. $x$ 方向動量方程式：

• 作用於水的外力：截面（1）之壓力向右推（$+p_1 A$）；截面（2）之壓力向左推（$-p_2 A$）；接頭反力 $R_x$。 $\sum F_x = p_1 A - p_2 A + R_x$
• 動量流通量：截面（3）無 $x$ 方向動量；截面（1）為向右流入（速度 $+V_1$）；截面（2）為向左流入（速度 $-V_2$）。

核心觀念

本題主要測驗流體力學中的因次分析與模型相似律（Similitude），特別是全浸沒體流動時的雷諾數動態相似（Reynolds Number Similarity）。

• 雷諾數（Reynolds number, $Re$）：代表流場中慣性力與黏滯力之相對比值。當物體完全浸沒於單一流體中，且不涉及自由液面效應（重力波浪）或高馬赫數壓縮效應時，流場達到動態相似的充要條件為模型（Model）與原型（Prototype）的雷諾數相等。
• 定義公式： $Re = \frac{V L}{\nu}$ 其中：
• $V$ 為特徵流速
• $L$ 為特徵長度（幾何尺度）
• $\nu$ 為流體的運動黏性係數（Kinematic Viscosity）

解題方法

1. 定義符號與整理已知條件：

• 模型（風洞測試環境，空氣）：下標以 $m$ 表示
• 運動黏性係數 $\nu_m = 1.46 \times 10^{-5}\ \mathrm{m^2/s}$
• 風洞速度為 $V_m$
• 特徵長度為 $L_m$
• 原型（航行環境，海水）：下標以 $p$ 表示
• 運動黏性係數 $\nu_p = 1.17 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}$
• 航行速度 $V_p = 24\ \mathrm{km/h} = \frac{24 \times 1000}{3600}\ \mathrm{m/s} = \frac{20}{3}\ \mathrm{m/s} \approx 6.67\ \mathrm{m/s}$
• 特徵長度為 $L_p$
• 題目指定採用「和原型相同尺度」的模型試驗： $L_m = L_p \quad \left(\frac{L_m}{L_p} = 1\right)$

2. 建立相似方程式： 滿足雷諾數相似準則： $Re_m = Re_p$ $\frac{V_m L_m}{\nu_m} = \frac{V_p L_p}{\nu_p}$

3. 推導並求解模型所需風速 $V_m$： 將 $L_m = L_p$ 代入消去幾何尺度項： $V_m = V_p \times \left(\frac{\nu_m}{\nu_p}\right)$