115 高普考普通考試 水利工程 流體力學概要 考古題詳解

核心觀念

圓管內流體的雷諾數為慣性力與黏滯力之比：

其中 $\rho$ 為流體密度、$V$ 為管內平均流速、$D$ 為圓管直徑，$\mu$ 為動力黏滯係數。一般圓管流以 $\mathrm{Re}\leq 2300$ 作為層流判準；臨界值附近的流況會受入口擾動與管況影響。

解題方法

（一）依一般圓管流的層流判準，層流所能對應的最大雷諾數取臨界值：

雷諾數是無因次量，衡量慣性效應相對於黏滯效應的大小。其定義中，密度 $\rho$、平均流速 $V$、管徑 $D$ 增大時，$\mathrm{Re}$ 增大；動力黏滯係數 $\mu$ 增大時，$\mathrm{Re}$ 減小。

（二）質量流率與平均流速的關係為 $\dot m=\rho VA$，圓管截面積 $A=\pi D^2/4$，因此：

代入雷諾數定義：

核心觀念

本題考查：

1. 連續方程式：穩定不可壓縮流中，流量守恆。
2. 線性動量方程式：

3. 牛頓第三定律：水流對噴嘴的作用力，與噴嘴對水流的作用力大小相等、方向相反。
4. 使用表壓計算時，出口壓力為大氣壓，因此

忽略水與管線重量。

解題方法

取噴嘴內部水流為控制體，座標如圖，$x$ 軸向右、$y$ 軸向上。

1. 求出口速度與質量流率

由連續方程式：

因此

體積流率為

取水的密度為 $\rho=1000\ \text{kg/m}^3$，質量流率為

出口速度與水平軸夾角為 $45^\circ$，故

入口速度分量為

2. 水平方向動量方程式

入口表壓力對水流的作用力為

方向向右。

設噴嘴壁對水流的作用力為 $R_x$，則：

代入數值：

此為噴嘴對水流向右的作用力，因此水流對噴嘴的作用力方向向左，大小為

核心觀念

本題考查模型與原型的動力相似。魚雷的拖曳力受慣性力與黏滯力相對大小影響，因此以雷諾數相等作為模擬條件：

其中 $V$ 為流速、$L$ 為特徵長度、$\nu$ 為運動黏滯係數。模型與原型的雷諾數相等，才能使黏滯效應相似。

解題方法

令原型為海水中的魚雷，模型為水道中的縮尺魚雷。模型比例為 $1:6$，因此

相似條件為 $Re_m=Re_p$：

整理得

核心觀念

本題考查矩形渠道的比能與水躍判斷。流況由臨界水深分成緩流與急流；水躍是水流由急流轉為緩流時，水深突然增加的現象。壩體會抬高上游水位，但僅知道壩高，不能直接判定壩前是否形成水躍；還須比較壩前水深與同一流量下的共軛水深。

題目所給正常水深為 $0.4\ \mathrm{m}$，可作為壩前上游水深的參考，但這需要假設壩體尚未造成回水，使該處水深仍等於正常水深。

解題方法

渠道寬 $b=4\ \mathrm{m}$、流量 $Q=6\ \mathrm{m^3/s}$，單位寬流量為

矩形渠道臨界水深為

正常水深 $y_n=0.4\ \mathrm{m}<y_c$，因此按題給正常水深判斷，上游水流為急流。其弗勞德數為

若急流在壩前形成水躍，其共軛水深為

核心觀念

本題應用：

1. 伯努力方程式 $\frac{p}{\gamma}+z+\frac{V^2}{2g}=\text{常數}$

2. 大型容器液面下降速度可忽略，即 $V_A\approx 0$。

3. 自由噴流最高點及管口均與大氣接觸，因此表壓為零。

4. 水的單位重取 $\gamma=\rho g=9810\ \mathrm{N/m^3}$

題目中的 $p=120\ \mathrm{kPa}$ 視為容器內空氣相對大氣的表壓；若題目將其定義為絕對壓力，計算時須先扣除大氣壓力。

（一）圓管中水噴射的高度 $h$

取容器內水面為點 $A$，水柱最高點為點 $B$。

在水面：

• 壓力水頭為 $\dfrac{p}{\gamma}$
• 高程為 $h_2=1.5\ \mathrm{m}$
• 速度近似為零

在噴流最高點：

• 表壓為零
• 速度為零
• 高程為 $h$

套用伯努力方程式：

因此：

（二）圓管內水流速度

取管口為點 $C$。由圖可知管口高度為 $h_1=4\ \mathrm{m}$，且管口為自由噴流，因此管口壓力為大氣壓，表壓為零。

由水面 $A$ 至管口 $C$ 套用伯努力方程式：

整理得：

代入數值：