114 高普考普通考試 水利工程 流體力學概要 考古題詳解

114 年・高普考・普通考試・水利工程
試題代碼 流體力學概要

第 一 題20 分

在兩塊寬廣且平行的平板間有一牛頓流體流動，如圖所示，流體速度分布為：

u=3V2[1−(yh)2]u=\frac{3V}{2}\left[1-\left(\frac{y}{h}\right)^2\right]

式中，VV 指平均速度，流體黏度為 0.04 kg/(m⋅s)0.04\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}，V=2 m/sV=2\ \mathrm{m/s}，h=0.5 cmh=0.5\ \mathrm{cm}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

求：

（一）作用在底版面之前應力。

（二）平行於兩平板且通過中線（中間面）的平面上之剪應力。

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核心觀念

本題考查牛頓流體的剪應力與速度梯度關係：

τ=μdudy\tau=\mu\frac{du}{dy}

其中：

  • τ\tau：剪應力
  • μ\mu：動力黏度
  • uu：流動方向速度
  • yy：垂直於平板方向的座標

由圖可知，中線為 y=0y=0，上下平板分別位於 y=+hy=+h 與 y=−hy=-h。

解題方法

已知速度分布為：

u=3V2[1−(yh)2]u=\frac{3V}{2}\left[1-\left(\frac{y}{h}\right)^2\right]

對 yy 微分：

dudy=3V2(−2yh2)=−3Vyh2\frac{du}{dy} = \frac{3V}{2}\left(-\frac{2y}{h^2}\right) = -\frac{3Vy}{h^2}

因此剪應力分布為：

τ(y)=μdudy=−3μVyh2\tau(y)=\mu\frac{du}{dy} = -\frac{3\mu Vy}{h^2}

已知：

μ=0.04 kg/(m⋅s),V=2 m/s,h=0.5 cm=0.005 m\mu=0.04\ \mathrm{kg/(m\cdot s)},\qquad V=2\ \mathrm{m/s},\qquad h=0.5\ \mathrm{cm}=0.005\ \mathrm{m}

（一）作用在底板面之剪應力

底板位置為：

y=−hy=-h

代入剪應力公式：

τb=−3μV(−h)h2=3μVh\tau_b = -\frac{3\mu V(-h)}{h^2} = \frac{3\mu V}{h}

因此：

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第 二 題20 分

河流模型設計以模型相似性來進行，河流深度 3 m3\ \mathrm{m} 對應模型深度 30 mm30\ \mathrm{mm}。

在這些條件下，對應於 2 m/s2\ \mathrm{m/s} 模型速度的原型速度是多少？

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核心觀念

河流模型受重力作用，模型與原型的自由液面流動以 弗勞德相似律（Froude similarity）為準。弗勞德數為慣性力與重力效應的比值：

Fr=VgLFr=\frac{V}{\sqrt{gL}}

其中 VV 為速度、gg 為重力加速度、LL 為代表長度。本題以水深作為代表長度，且模型與原型處於相同重力場，因此兩者的弗勞德數相等。

解題方法

設原型為 pp、模型為 mm。由題意：

Lp=3 m,Lm=30 mm=0.03 mL_p=3\ \mathrm{m},\qquad L_m=30\ \mathrm{mm}=0.03\ \mathrm{m}

長度比為：

LpLm=30.03=100\frac{L_p}{L_m}=\frac{3}{0.03}=100

套用弗勞德相似律，令 Frp=FrmFr_p=Fr_m：

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第 三 題20 分

如圖所示，水流經漏斗底部的孔隙。倘若流動近似於具有速度

V=crV=\frac{c}{r}

之徑向形式（從 OO 點呈輻射線狀），其中 rr 為徑向座標，cc 為常數。假設在 r=0.1 mr=0.1\ \mathrm{m} 處，速度為 0.04 m/s0.04\ \mathrm{m/s}，試求在點 AA 與點 BB 的加速度。

圖示中，點 AA 位於距離 OO 點 0.8 m0.8\ \mathrm{m} 處，點 BB 位於距離 OO 點 0.2 m0.2\ \mathrm{m} 處。

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核心觀念

本題考查流體質點加速度的「對流加速度」。流動可視為定常徑向流，因此局部加速度為零，質點加速度為

a=(V⋅∇)V\mathbf{a}=(\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V}

對純徑向流而言，其徑向分量可寫為

ar=VrdVrdra_r=V_r\frac{dV_r}{dr}

水流方向由圖可知為由外向內、流向孔口 OO。速度大小為

V=crV=\frac{c}{r}

故加速度方向指向 OO。

解題方法與計算

已知在 r=0.1 mr=0.1\ \mathrm{m} 處，速度大小為 0.04 m/s0.04\ \mathrm{m/s}：

0.04=c0.10.04=\frac{c}{0.1}

因此

c=0.004 m2/sc=0.004\ \mathrm{m^2/s}

由於流速大小為 c/rc/r，其加速度大小為

a=∣VdVdr∣a=\left|V\frac{dV}{dr}\right|

而

dVdr=ddr(cr)=−cr2\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}\left(\frac{c}{r}\right) = -\frac{c}{r^2}

所以

a=c2r3a=\frac{c^2}{r^3}

方向為徑向向內，即指向 OO 點。

點 AA

點 AA 距離 OO 點

rA=0.8 mr_A=0.8\ \mathrm{m}

故

aA=(0.004)2(0.8)3=1.6×10−50.512a_A=\frac{(0.004)^2}{(0.8)^3} =\frac{1.6\times10^{-5}}{0.512}
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第 四 題20 分

已知水流經一漸縮管，如圖所示。以液體倒置 U 型壓力計測量在點（1）和（2）的靜壓差，壓力計內部充填比重為 SG<1SG<1，試求液壓計的讀數 hh。

圖中，點（1）與點（2）的高程差為 z2−z1z_2-z_1，管徑分別為 D1D_1 與 D2D_2，管道與水平線夾角為 θ\theta，水的單位重為 γ\gamma，壓力計內液體柱長為 ℓ\ell。

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核心觀念

本題結合：

  1. 漸縮管的連續方程式 Q=A1V1=A2V2Q=A_1V_1=A_2V_2

  2. 忽略沿程損失時的 Bernoulli 方程式

p1γ+V122g+z1=p2γ+V222g+z2\frac{p_1}{\gamma}+\frac{V_1^2}{2g}+z_1 = \frac{p_2}{\gamma}+\frac{V_2^2}{2g}+z_2
  1. 倒置 U 型差壓計的靜力平衡。

壓力計內液體比重為 SG<1SG<1，其單位重為 SGγSG\gamma。由於管內水的單位重為 γ\gamma，壓力計讀數會出現因比重差而產生的因子 1−SG1-SG。

解題方法

設倒置 U 型壓力計左右兩側界面分別為 aa、bb，如圖所示，且

za−zb=hz_a-z_b=h

由點（1）沿水柱上升至左側界面 aa：

pa=p1−γ(za−z1)p_a=p_1-\gamma(z_a-z_1)

再由界面 aa 沿壓力計內液體下降至界面 bb：

pb=pa+SGγhp_b=p_a+SG\gamma h

最後由界面 bb 沿水柱下降至點（2）：

p2=pb+γ(zb−z2)p_2=p_b+\gamma(z_b-z_2)

聯立整理得

p1−p2=γ[(za−zb)+(z2−z1)−SGh]p_1-p_2 = \gamma\left[(z_a-z_b)+(z_2-z_1)-SGh\right]

因為 za−zb=hz_a-z_b=h，所以

p1−p2γ=(z2−z1)+(1−SG)h(1)\frac{p_1-p_2}{\gamma} = (z_2-z_1)+(1-SG)h \tag{1}

另一方面，對點（1）、（2）使用 Bernoulli 方程式：

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第 五 題20 分

雨水經由鍍鋅鐵管以 0.006 m3/s0.006\ \mathrm{m^3/s} 的流率噴出，如圖所示。若忽略排水導管在自由表面處的雨水下降速度，而且不計管的水頭損失。假設下游噴出口為圓形管，且管內充滿雨水，試求噴出口直徑。

圖示條件如下：

  • 上游管徑為 70 mm70\ \mathrm{mm}。
  • 自由液面至下游管中心線的高差為 4 m4\ \mathrm{m}。
  • 下游水平管段圖示長度為 3 m3\ \mathrm{m}。

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核心觀念

本題考查：

  • 伯努力方程式
  • 連續方程式
  • 自由液面與出口皆為大氣壓
  • 忽略管路水頭損失
  • 自由液面下降速度可忽略

水平管段長度 3 m3\ \mathrm{m} 不影響高程差，70 mm70\ \mathrm{mm} 為上游管徑，本題因已忽略自由液面速度，亦不影響出口速度計算。

解題方法

取自由液面為截面 11，下游噴出口為截面 22。以出口中心線為基準：

z1−z2=4 mz_1-z_2=4\ \mathrm{m}

由伯努力方程式：

p1γ+z1+V122g=p2γ+z2+V222g\frac{p_1}{\gamma}+z_1+\frac{V_1^2}{2g} = \frac{p_2}{\gamma}+z_2+\frac{V_2^2}{2g}

由於自由液面及出口均與大氣相通：

p1=p2=patmp_1=p_2=p_{\mathrm{atm}}

且自由液面速度可忽略：

V1≈0V_1\approx 0

又因不計水頭損失，因此：

4=V222g4=\frac{V_2^2}{2g}

取 g=9.81 m/s2g=9.81\ \mathrm{m/s^2}：

V2=2g(4)=78.48=8.86 m/sV_2=\sqrt{2g(4)} =\sqrt{78.48} =8.86\ \mathrm{m/s}

由連續方程式：

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