113 高普考普通考試 水利工程 流體力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查二維速度場的散度與渦度：

• 速度場的散度 $\nabla\cdot\mathbf{V}$ 用來判斷流體微團是否有淨膨脹或收縮。若散度不為零，流動為可壓縮流；若散度為零，流動為不可壓縮流。
• 二維流場的 $z$ 方向渦度為 $\left(\nabla\times\mathbf{V}\right)_z=\dfrac{\partial v}{\partial x}-\dfrac{\partial u}{\partial y}$。渦度不為零表示流動有旋；為零則為無旋。

題目給定

因此 $u=x+y$、$v=2xy$。

解題方法與計算

先分別對速度分量取偏導數：

（一）是否為壓縮流

計算速度場散度：

核心觀念

本題考查自由噴流的能量轉換。水由噴嘴射出後，在上升過程中速度逐漸降低，初始動能轉換為重力位能。

忽略空氣阻力與水流能量損失，並以噴嘴出口為基準面，套用伯努力方程式：

噴嘴出口與水柱最高點皆與大氣相通，因此兩點壓力水頭相同；水柱最高點瞬間速度為零。

解題方法

由圖取：

• 噴嘴出口：$z_1=0$、$V_1=12\ \mathrm{m/s}$
• 水柱最高點：$z_2=h$、$V_2=0$

代入伯努力方程式：

核心觀念

速度向量 $\mathbf{V}$ 為零，表示其各方向分量都必須同時為零：

因此，將題目給定的速度分量聯立求解即可。

解題方法

由 $u=x+y=0$，得

再令 $v=xy^3+16=0$，代入 $y=-x$：

核心觀念

本題考查虹吸管的能量方程式。取水槽自由液面 $A$ 與虹吸管出口 $B$ 為計算斷面，使用伯努力方程式：

其中：

• $A$、$B$ 均與大氣相通，因此 $p_A=p_B$；
• 水槽截面遠大於虹吸管，故自由液面流速 $V_A\approx 0$；
• $B$ 點流速即為虹吸管流速 $V$；
• $A$ 到 $B$ 的高程差由圖得為 $3.6\ \mathrm{m}$；
• 摩擦損失為

解題方法

代入伯努力方程式，壓力水頭相互抵消，且 $V_A\approx 0$：

因此：

取 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$：

核心觀念

本題考查不可壓縮流體在管路匯流後的連續方程式。充分混和後，總流量等於各入口流量之和：

且流量與截面平均流速的關係為：

由於水為不可壓縮流體，穩定流動時不考慮密度變化。

解題方法

左側主水管流入流量：

由支管注入的流量：

充分混和後，最右側總出流量為：