110 高普考普通考試 水利工程 流體力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考察無人飛機移動時所量得的密度變化率，與空氣密度在固定空間位置的局部變化率之間的關係。沿著無人飛機的飛行路徑，以鏈鎖律表示：

$$\frac{D\rho}{Dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + V_a\frac{\partial \rho}{\partial x}$$

其中，$\frac{D\rho}{Dt}$ 是無人飛機所記錄的密度隨時間變化率；$\frac{\partial \rho}{\partial t}$ 是固定位置的局部密度變化率；$V_a\frac{\partial \rho}{\partial x}$ 則是無人飛機移動經過不同密度位置所造成的變化率。

解題方法

題目給定：

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} =3\ \mathrm{kg/(m^3\cdot h)},\qquad \frac{\partial \rho}{\partial x} =-0.1\ \mathrm{kg/m^4}$$

（一）無人飛機沿程測得密度為定值

沿程記錄的密度不隨時間改變，因此：

$$\frac{D\rho}{Dt}=0$$

代入鏈鎖律：

$$0=3+V_a(-0.1)$$

核心觀念

本題考查兩平行平板間的穩定層流，也就是平行板間的 平面 Poiseuille 流。石板間距為 $B$，流動方向長度為 $L$，兩端靜壓水頭差為 $H$。水頭差形成壓力梯度，驅動水流；水流則受流體黏滯力與石板表面的無滑移條件控制。

取 $y$ 軸垂直石板，令兩板位於 $y=0$ 與 $y=B$。由於 $B\ll W$，側向邊界效應可忽略，速度只隨 $y$ 改變。穩定、充分發展的層流，其速度分布為拋物線。

解題方法

由水頭差求壓力梯度

靜壓與壓力水頭的關係為 $p=\gamma h$，所以兩端壓力差為

$$\Delta p=p_{\text{上游}}-p_{\text{下游}}=\gamma H.$$

沿流向的壓力梯度大小為

$$-\frac{dp}{dx}=\frac{\Delta p}{L}=\frac{\gamma H}{L}.$$

此處假設上游水頭較高，水流由上游流向下游。

建立速度分布

對穩定、充分發展、不可壓縮的層流，流向動量方程化為

$$\mu\frac{d^2u}{dy^2}=\frac{dp}{dx}.$$

兩石板均為固定、光滑固壁，採用無滑移條件：

$$u(0)=0,\qquad u(B)=0.$$

積分並套用邊界條件，可得速度分布

$$u(y)=\frac{-1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,y(B-y) =\frac{\gamma H}{2\mu L}\,y(B-y).$$

（一）求最大流速

拋物線速度分布在兩板中間達最大值，亦可令 $du/dy=0$：

$$\frac{du}{dy} =\frac{\gamma H}{2\mu L}(B-2y)=0 \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{B}{2}.$$

核心觀念

兩條隧道並聯連接相同的兩座水庫，因此每條隧道兩端承受相同的水頭差 $h=20\ \mathrm{m}$。忽略入口、出口等局部損失，並假設水庫水面流速可忽略，水頭差全數用於克服管壁沿程摩擦損失。

採用 Darcy–Weisbach 公式：

$$h_f=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$$

其中 $f$ 為 Darcy 摩擦係數。圓管流量為 $Q=AV$，截面積 $A=\pi D^2/4$。圓管平均壁剪應力與摩擦損失的關係為：

$$\tau_w=\frac{f\rho V^2}{8} =\frac{\rho gD h_f}{4L}$$

解題方法

兩條管路並聯，流量不必相等；各管路的水頭損失則都等於兩水庫的水面高程差。對各管分別令 $h_f=20\ \mathrm{m}$，由 Darcy–Weisbach 公式求流速，再求流量。

A 隧道流量

$$20=0.015\frac{1000}{1}\frac{V_a^2}{2(9.81)}$$ $$V_a=\sqrt{\frac{2(9.81)(20)(1)}{0.015(1000)}} =5.115\ \mathrm{m/s}$$ $$Q_a=\frac{\pi(1)^2}{4}(5.115) =4.02\ \mathrm{m^3/s}$$

B 隧道流量

$$20=0.015\frac{1000}{2}\frac{V_b^2}{2(9.81)}$$ $$V_b=\sqrt{\frac{2(9.81)(20)(2)}{0.015(1000)}} =7.233\ \mathrm{m/s}$$

核心觀念

本題先用連續方程求流速，再以能量方程求閘門上下游水深，最後以水平動量方程求水流作用於閘門的力。假設水流為穩定、定常，且閘門附近的能量損失可忽略；底床摩擦阻力依題意忽略。

矩形渠道的單位寬流量為 $q=Q/b$，斷面平均流速為 $V=Q/(by)$。忽略能量損失時，兩斷面間的總水頭相等：

$$y_1+\frac{V_1^2}{2g} = y_2+\frac{V_2^2}{2g}$$

求閘門受力時，水平動量方程需同時計入上下游靜水壓力及水流動量通量。

解題方法

已知 $b=3\ \mathrm{m}$、$Q=6\ \mathrm{m^3/s}$，所以

$$q=\frac{Q}{b}=2\ \mathrm{m^2/s}$$

上游水深 $y_1=2\ \mathrm{m}$，由連續方程：

$$V_1=\frac{Q}{by_1}=\frac{2}{2}=1\ \mathrm{m/s}$$

下游流速則為

$$V_2=\frac{Q}{by_2}=\frac{2}{y_2}$$

（一）求下游水深

代入能量方程：

$$2+\frac{1^2}{2g} = y_2+\frac{(2/y_2)^2}{2g}$$

取 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$，整理得

$$y_2+\frac{2}{9.81y_2^2}=2+\frac{1}{2(9.81)}$$

此方程含有上游同水深的平凡解 $y_2=2\ \mathrm{m}$；閘門下游的淺水深解為

$$y_2\approx 0.346\ \mathrm{m}$$

因此下游平均流速為

$$V_2=\frac{2}{0.346}\approx 5.78\ \mathrm{m/s}$$

（二）求閘門受力