110 高普考普通考試 水利工程 土壤力學概要 考古題詳解

110 年・高普考・普通考試・水利工程
試題代碼 土壤力學概要

第 一 題15 分

某護岸堤堰填土，填方土壤夯實曲線如圖 1 所示，ωOMC=10.5%\omega_{\mathrm{OMC}}=10.5\%、γd,max⁡=18.326 kN/m3\gamma_{d,\max}=18.326\ \mathrm{kN/m^3}。目前卡車進土 4116.0 kN4116.0\ \mathrm{kN} 濕土，濕土含水量 9.5%9.5\%，請問此次填土需再添加多少水量 Ww (m3)W_w\ (\mathrm{m^3})？

註：1 t=9.8 kN1\ \mathrm{t}=9.8\ \mathrm{kN}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：圖 1，填方土壤夯實曲線】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考「含水量」與濕土重量的換算。土壤含水量定義為水的重量除以土粒重量：

ω=WwWs\omega=\frac{W_w}{W_s}

其中 WwW_w 是水重，WsW_s 是土粒重。含水量由 9.5%9.5\% 調整至最佳含水量 10.5%10.5\%，需增加的水重為兩者差值乘上土粒重。圖中給的最大乾密度不必用於本題計算。

解題方法

目前濕土總重為 4116.0 kN4116.0\ \mathrm{kN}，含水量 ω1=0.095\omega_1=0.095。濕土總重包含土粒重與原有水重，因此：

W濕=Ws(1+ω1)W_{\text{濕}}=W_s(1+\omega_1)

先求土粒重：

Ws=4116.01+0.095=4116.01.095=3758.90 kNW_s=\frac{4116.0}{1+0.095} =\frac{4116.0}{1.095} =3758.90\ \mathrm{kN}
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第 二 題3 分

某道路路堤設計 35 t35\ \mathrm{t} 卡車，載重當量 100，要求級配底層（路床）CBR≥9CBR\geq 9。因道路甚長，故需向 A、B 兩處買土，借土區的夯實試驗與室內 CBR 貫入試驗皆已完成，如圖 2 與圖 3 所示。問：

（一）借土區 A 的最大乾密度 γd,max⁡,A=? (kN/m3)\gamma_{d,\max,A}=?\ (\mathrm{kN/m^3})（3 分），與最佳含水量 ωOMC,A=? (%)\omega_{\mathrm{OMC},A}=?\ (\%)（3 分）。要求 CBR≥9CBR\geq 9，則工地密度 γd,工A=? (kN/m3)\gamma_{d,\text{工}A}=?\ (\mathrm{kN/m^3})（3 分），設計工地壓密度 PA(%)=?P_A(\%)=?（3 分）。

（二）借土區 B 的最大乾密度 γd,max⁡,B=? (kN/m3)\gamma_{d,\max,B}=?\ (\mathrm{kN/m^3})（3 分），與最佳含水量 ωOMC,B=? (%)\omega_{\mathrm{OMC},B}=?\ (\%)（3 分）。要求 CBR≥9CBR\geq 9，則工地密度 γd,工B=? (kN/m3)\gamma_{d,\text{工}B}=?\ (\mathrm{kN/m^3})（3 分），設計工地壓密度 PB(%)=?P_B(\%)=?（3 分）。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：圖 2，借土區 A 的夯實試驗與室內 CBR 貫入試驗】

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：圖 3，借土區 B 的夯實試驗與室內 CBR 貫入試驗】

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核心觀念

本題要從兩種試驗圖讀值：

  • 夯實試驗曲線：曲線峰值為最大乾密度 γd,max⁡\gamma_{d,\max}；峰值對應的含水量為最佳含水量 ωOMC\omega_{\mathrm{OMC}}。
  • 室內 CBR 貫入試驗關係圖：在 CBR=9CBR=9 處讀取所需乾密度，作為工地乾密度 γd,工\gamma_{d,\text{工}}。
  • 工地壓實度：工地乾密度與最大乾密度的比值，以百分比表示：

P=γd,工γd,max⁡×100%P=\frac{\gamma_{d,\text{工}}}{\gamma_{d,\max}}\times100\%

解題方法

先由圖 2、圖 3 的夯實曲線讀出各借土區的峰值與最佳含水量；再由 CBR 關係圖在 CBR=9CBR=9 處插讀乾密度，最後代入壓實度公式。圖中讀值屬圖解估讀，以下取至約 0.1 kN/m30.1\ \mathrm{kN/m^3}。

（一）借土區 A

由圖 2 左圖，夯實曲線峰值約為：

γd,max⁡,A≈19.1 kN/m3,ωOMC,A≈13%\gamma_{d,\max,A}\approx19.1\ \mathrm{kN/m^3},\qquad \omega_{\mathrm{OMC},A}\approx13\%

由圖 2 右圖，在 CBR=9CBR=9 處讀得：

γd,工A≈19.2 kN/m3\gamma_{d,\text{工}A}\approx19.2\ \mathrm{kN/m^3}

因此：

PA=19.219.1×100%≈100.5%P_A=\frac{19.2}{19.1}\times100\%\approx100.5\%

（二）借土區 B

由圖 3 左圖，夯實曲線峰值約為：

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第 三 題14 分

由 aa、bb、cc 三個土樣之物理性質試驗，得以下粒徑分布曲線，如圖 5 所示，及阿太堡限度試驗如下：

  • aa 土樣之液性限度 LL=40%LL=40\%，塑性限度 PL=22%PL=22\%，目前含水量 ω=42%\omega=42\%。
  • bb 土樣之液性限度 LL=45%LL=45\%，塑性限度 PL=25%PL=25\%，目前含水量 ω=48%\omega=48\%。
  • cc 土樣之液性限度 LL=34%LL=34\%，塑性限度 PL=20%PL=20\%，目前含水量 ω=30%\omega=30\%。

（一）試以活性度（Activity）研判 aa、bb、cc 三個土樣的活潑性，並判斷何者屬活潑性黏土不適合當道路基材材料？（14 分）

（二）試以液性指數 LILI（Liquidity Index）研判 aa、bb、cc 三個土樣之軟硬程度（如固態、半固態、塑性態與液性態）。（8 分）

註：

  1. 活性度：
Ac=PI(2 μm%)=LL−PL(粒徑通過 0.002 mm 之百分比)A_c=\frac{PI}{(2\ \mu\mathrm{m}\%)} =\frac{LL-PL}{(\text{粒徑通過 }0.002\ \mathrm{mm}\text{ 之百分比})}
  • Ac≤0.75A_c\leq 0.75：不活潑黏土
  • 0.75≤Ac≤1.250.75\leq A_c\leq 1.25：正常黏土
  • Ac≥1.25A_c\geq 1.25：活潑黏土

  1. 黏土液性指數 LILI（Liquidity Index）： LI=ω−PLPI=ω−PLLL−PLLI=\frac{\omega-PL}{PI}=\frac{\omega-PL}{LL-PL}

    • LI≤0LI\leq 0：固態或半固態
    • 0≤LI≤10\leq LI\leq 1：塑性態
    • LI≥1.0LI\geq 1.0：液性態

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：圖 5，aa、bb、cc 三個土樣之粒徑分布曲線】

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核心觀念

本題用兩個指標判斷土樣性質：

  • 活性度 AcA_c：以塑性指數 PI=LL−PLPI=LL-PL 除以粒徑小於 0.002 mm0.002\ \mathrm{mm} 的百分比。細粒含量越少、PIPI 越大，活性度越高。
  • 液性指數 LILI：比較目前含水量 ω\omega 與塑性限度 PLPL、液性限度 LLLL 的相對位置，用來判斷土樣的軟硬狀態。

解題方法與計算

先由圖 5 在粒徑 0.002 mm0.002\ \mathrm{mm} 處讀取各曲線的通過百分比。依圖估讀，aa 約為 8%8\%、bb 約為 12%12\%、cc 約為 20%20\%。圖上讀值屬近似值。

PI=LL−PL,Ac=PI粒徑小於 0.002 mm 的百分比PI=LL-PL,\qquad A_c=\frac{PI}{\text{粒徑小於 }0.002\ \mathrm{mm}\text{ 的百分比}}
  • aa 土樣：PI=40−22=18PI=40-22=18，故
Ac≈188=2.25A_c\approx\frac{18}{8}=2.25

Ac≥1.25A_c\geq1.25，屬活潑黏土。

  • bb 土樣：PI=45−25=20PI=45-25=20，故
Ac≈2012=1.67A_c\approx\frac{20}{12}=1.67

Ac≥1.25A_c\geq1.25，屬活潑黏土。

  • cc 土樣：PI=34−20=14PI=34-20=14，故
Ac≈1420=0.70A_c\approx\frac{14}{20}=0.70

Ac≤0.75A_c\leq0.75，屬不活潑黏土。

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第 四 題6 分

圖 4 為三根基樁樁載重試驗曲線，請研判 A、B、C 曲線：

（一）何者為斷樁曲線？何者為壓到浮石曲線？並請繪圖說明判斷理由？（6 分）

（二）在 FS=2FS=2 及設計載重 P=5,000 kNP=5{,}000\ \mathrm{kN} 下，請研判 C 曲線是否及格？（6 分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：圖 4，三根基樁樁載重試驗曲線】

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核心觀念

樁載重試驗以載重 PP 為橫軸、沉陷量 ΔH\Delta H 為縱軸。判讀時要看曲線是否連續平順，以及載重增加時沉陷如何變化：

  • 斷樁：樁身破壞時，承載反應會突然改變，曲線出現明顯折點或沉陷突增。
  • 壓到浮石：樁端先受浮石阻擋，載重增加而沉陷變化很小；浮石被壓碎或推動後，沉陷會突然增加，之後又恢復承載反應。
  • 安全係數定義為 FS=Qu/PdFS=Q_u/P_d，其中 QuQ_u 為極限承載力，PdP_d 為設計載重。因此 FS=2FS=2、Pd=5,000 kNP_d=5{,}000\ \mathrm{kN} 時，所需極限承載力為 Qu≥FS×Pd=2×5,000=10,000 kN.Q_u \ge FS\times P_d=2\times5{,}000=10{,}000\ \mathrm{kN}.

解題方法與曲線判讀

圖中 A 曲線先呈現載重增加、沉陷變化很小的近水平段，接著沉陷增加，符合樁端先受到浮石阻擋、浮石受壓後樁身再繼續下沉的特徵。因此 A 為壓到浮石曲線。

B 曲線在載重增加過程中出現明顯突變，沉陷突然增加，反映樁身破壞後承載反應改變。因此 B 為斷樁曲線。

可用下列示意圖掌握兩者特徵（載重向右、沉陷向下）：

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第 五 題5 分

如圖 6 核算混凝土重力壩，試分析：

（一）流線網中滲流水頭 hp=ndNd⋅Hh_p=\frac{n_d}{N_d}\cdot H 請利用柏努利能量守恆定律（Bernoulli's Law），由下游水面 O 點推求壩基 A 點之壓力水頭為 (Uwγw)A=(hp−Zp)A\left(\frac{U_w}{\gamma_w}\right)_A=(h_p-Z_p)_A （5 分）。

註：柏努利能量守恆定律總水頭 ΣH=Zp （位置水頭）+Uwγw （壓力水頭）+V22g （速度水頭）+hp （滲流水頭）\Sigma H=Z_p\ \text{（位置水頭）}+\frac{U_w}{\gamma_w}\ \text{（壓力水頭）}+\frac{V^2}{2g}\ \text{（速度水頭）}+h_p\ \text{（滲流水頭）}

（二）下游最高流線最後一格流線網之流砂安全係數 FS1=?FS_1=?（5 分）。

（三）圖 6 中流線網之流槽數 Nf=4N_f=4、等勢能落差數 Nd=18N_d=18，若 kx=kz=3.2×10−4 cm/seck_x=k_z=3.2\times10^{-4}\ \mathrm{cm/sec} 請問一天的滲流量 Q=? (m3/day)Q=?\ (\mathrm{m^3/day})？（5 分）

（四）請以 Uw=γw⋅(hp−Zp)U_w=\gamma_w\cdot(h_p-Z_p) 計算重力壩底 aa、bb、cc、dd、ee、ff、gg 點之水壓力各為多少？（3 分）

及壩底區塊 1⋄achi1\diamond achi、區塊 2⋄deij2\diamond deij、區塊 3⋄fgjk3\diamond fgjk 各剖底部之浮力 UwU_w 對各重力壩區塊之安全係數 FS1FS_1、FS2FS_2、FS3FS_3（單位厚度分析）？（9 分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：圖 6，核算混凝土重力壩】

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核心觀念

本題考查流線網的等勢能落差、柏努利能量方程、出口流砂安全係數，以及重力壩底揚壓力與抗浮安全係數。

下游水面 OO 為基準面，取 Zp=0Z_p=0；高於基準面為正，低於基準面為負。流線網中第 ndn_d 個等勢能落差的水頭為

hp=ndNdHh_p=\frac{n_d}{N_d}H

忽略流速水頭後，壩基點的壓力水頭為

Uwγw=hp−Zp\frac{U_w}{\gamma_w}=h_p-Z_p

本題採 γw=9.81 kN/m3\gamma_w=9.81\ \mathrm{kN/m^3}。

解題方法與計算

（一）壩基 AA 點壓力水頭

由圖讀取 AA 點約位於 nd=2n_d=2 的等勢線上，且在下游水面以下 18 m18\ \mathrm{m}，故 Zp,A=−18 mZ_{p,A}=-18\ \mathrm{m}。流線網的 Nd=18N_d=18、總水頭差 H=12 mH=12\ \mathrm{m}：

hp,A=218×12=1.333 mh_{p,A}=\frac{2}{18}\times12=1.333\ \mathrm{m}

因此

(Uwγw)A=hp,A−Zp,A=1.333−(−18)=19.333 m\left(\frac{U_w}{\gamma_w}\right)_A =h_{p,A}-Z_{p,A} =1.333-(-18) =19.333\ \mathrm{m}

相應壓力為 Uw,A=9.81×19.333=189.7 kPaU_{w,A}=9.81\times19.333=189.7\ \mathrm{kPa}。

（二）下游出口流砂安全係數

流網每一等勢能落差為

Δh=HNd=1218=0.667 m\Delta h=\frac{H}{N_d}=\frac{12}{18}=0.667\ \mathrm{m}

依圖示下游出口最後一格的流徑長度取 Δs=4 m\Delta s=4\ \mathrm{m}，出口水力坡降為

iexit=ΔhΔs=0.6674=0.167i_{\mathrm{exit}}=\frac{\Delta h}{\Delta s} =\frac{0.667}{4}=0.167

臨界水力坡降由飽和單位重計算：

ic=γsat−γwγw=18.62−9.819.81=0.898i_c=\frac{\gamma_{\mathrm{sat}}-\gamma_w}{\gamma_w} =\frac{18.62-9.81}{9.81}=0.898

故流砂安全係數為

FS1=iciexit=0.8980.167=5.39FS_1=\frac{i_c}{i_{\mathrm{exit}}} =\frac{0.898}{0.167} =5.39

（三）每日滲流量

各向同性流線網每單位壩寬的流量為

q=kHNfNdq=kH\frac{N_f}{N_d}

換算滲透係數：

k=3.2×10−4 cm/s=3.2×10−6 m/sk=3.2\times10^{-4}\ \mathrm{cm/s} =3.2\times10^{-6}\ \mathrm{m/s}

因此每單位厚度每日滲流量為

Q=3.2×10−6×12×418×86400=0.737 m3/dayQ=3.2\times10^{-6}\times12\times\frac{4}{18}\times86400 =0.737\ \mathrm{m^3/day}

（四）各點水壓力與各壩塊抗浮安全係數

圖中 aa 至 gg 未直接標上等勢能落差數；依流線網位置讀取，採用 a,b,c,d,e,f,ga,b,c,d,e,f,g 對應 nd=18,14,10,10,7,7,2n_d=18,14,10,10,7,7,2。各點高程依圖分別為：a,b,ca,b,c 在 Zp=−18 mZ_p=-18\ \mathrm{m}；d,ed,e 在 Zp=−12 mZ_p=-12\ \mathrm{m}；f,gf,g 在 Zp=−6 mZ_p=-6\ \mathrm{m}。

點ndn_dZpZ_p（m）hph_p（m）壓力水頭 hp−Zph_p-Z_p（m）水壓力 UwU_w（kPa）
aa18-1812.00030.000294.30
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