111 高普考普通考試 水利工程 土壤力學概要 考古題詳解

【核心觀念】

本題考查三項土壤基本性質：黏土礦物在 Casagrande 塑性圖上的相對位置、土壤固體—水—氣三相關係，以及顆粒性土壤密實程度與剪力強度的關聯。

（一）主要黏土礦物與塑性圖位置

Casagrande 塑性圖以液性限度 $LL$ 為橫軸、塑性指數 $PI$ 為縱軸，其中

$PL$ 為塑性限度。三種主要黏土礦物依塑性由低至高，通常依序為：

1. 高嶺石（kaolinite）：塑性較低，位於圖的左下方。
2. 伊利石（illite）：塑性居中，位於圖的中間區域。
3. 蒙脫石（montmorillonite，屬 smectite）：塑性最高，位於圖的右上方。

示意位置如下；礦物區域為代表性範圍，並非固定界線：

PI
↑
│ 蒙脫石
│ （高 LL、高 PI）
│ 伊利石
│ （中等 LL、PI）
│ 高嶺石
│ （低 LL、低 PI）
└────────────────────────────────────→ LL
 低液性限度 高液性限度

塑性圖上的 A 線為

一般無機黏土點位在 A 線上方，粉土點位多在 A 線下方。礦物組成、交換性陽離子及試驗材料狀態會影響實際液塑性限度，因此應掌握三種礦物的相對趨勢：高嶺石偏左下、伊利石居中、蒙脫石偏右上。

（二）三相圖與關係式推導

土壤由固體、水與空氣三相組成。固體體積為 $V_s$，水體積為 $V_w$，空氣體積為 $V_a$。孔隙體積為 $V_v=V_w+V_a$，總體積為 $V=V_s+V_v$。

體積 重量
┌──────────┐ ┌──────────┐
│ 空氣 Va │ │ 空氣 Wa≈0 │
├──────────┤ ├──────────┤
│ 水 Vw │ │ 水 Ww │
├──────────┤ ├──────────┤
│ 固體 Vs │ │ 固體 Ws │
└──────────┘ └──────────┘

定義如下：

核心觀念

本題評量土壤滲流力學的核心概念，涵蓋水頭能量守恆、滲透定律與臨界穩定性分析：

1. 伯努利水頭理論（Bernoulli's Energy Equation）：流體在多孔介質中流動時的總能量構成（位置水頭、壓力水頭、速度水頭），以及在低雷諾數（層流）條件下速度水頭的合理簡化。
2. 達西定律（Darcy's Law）與水力傳導係數（Hydraulic Conductivity, $k$）：表觀流速（放電流速）與水力梯度之線性比例關係，以及不同顆粒級配土壤對應之室內透水試驗選用依據。
3. 滲流力（Seepage Force）與臨界水力坡降（Critical Hydraulic Gradient, $i_{cr}$）：動態水流對土體骨架施加之體積力平衡，當向上滲流力完全抵消土壤有效自重時，有效應力歸零所引發的砂湧（Quick condition / Boiling）機制。

解題方法

(一) 定義土壤中總水頭及其組成形式

依據流體力學之伯努利方程式，水流在土壤孔隙中流動時，任一點所具有之總能量以單位水重量表示即為總水頭（Total Head, $h$），單位為長度（如 $\text{m}$ 或 $\text{cm}$）。其組成形式包含以下三者：

$h = h_z + h_p + h_v = z + \frac{u}{\gamma_w} + \frac{v^2}{2g}$

1. 位置水頭（Elevation Head, $h_z$ 或 $z$）：土體中某點相對於所選定任意基準面（Datum）之垂直距離。位於基準面上方為正，下方為負。
2. 壓力水頭（Pressure Head, $h_p$）：由該點之孔隙水壓力 $u$ 所產生之水柱高度，即 $h_p = \frac{u}{\gamma_w}$（其中 $\gamma_w$ 為水單位重）。
3. 速度水頭（Velocity Head, $h_v$）：孔隙水流動之動能水頭，即 $h_v = \frac{v^2}{2g}$（其中 $v$ 為流速，$g$ 為重力加速度）。

土壤力學特性說明：由於水在土壤微細孔隙中流動速度極其緩慢（屬於層流狀態，$v$ 通常小於 $10^{-2}\text{ m/s}$），速度水頭 $\frac{v^2}{2g}$ 之數值微小至可忽略不計。因此，土壤中之總水頭常以測壓管水頭（Piezometric Head）表示： $h \approx z + \frac{u}{\gamma_w}$

(二) 定義土壤水力傳導係數與三種實驗室量測方法

1. 水力傳導係數之定義 依據達西定律（Darcy's Law）： $v = k \cdot i \quad \text{或} \quad Q = k \cdot i \cdot A$ 其中 $v$ 為表觀流速（Discharge velocity），$i$ 為水力梯度（Hydraulic gradient），$A$ 為土樣總斷面積，$Q$ 為滲流量。 水力傳導係數（$k$）亦稱透水係數（Coefficient of permeability），定義為：「水流在單位水力梯度（$i = 1$）作用下，流經土壤骨架單位截面積之表觀滲流流速」。其物理量綱為長度除以時間（如 $\text{cm/s}$ 或 $\text{m/s}$），綜合反映了孔隙大小、形狀、粒徑分佈與流體黏度等特性。

2. 三種實驗室量測方法與適用土壤類別

(註：第三種亦可採用「撓性壁三軸透水試驗 (Flexible-Wall Permeameter Test)」，同樣適用於極低透水性之黏土或受污染土樣)

(三) 臨界水力坡降推導與砂湧發生條件

1. 臨界水力坡降（$i_{cr}$）之推導（以滲流力觀點）

取一斷面積為 $A$、長度（深度）為 $L$ 之飽和砂土柱（總體積 $V = A \cdot L$），考慮地下水由下向上進行垂直滲流：

1. 土壤骨架之有效自重力（向下）： 土壤浸於水中，其向下之浸水重（浮重）為：

核心觀念

1. 莫爾－庫倫破壞準則（Mohr-Coulomb Failure Criterion）： 土壤之抗剪強度源自於顆粒間之摩擦阻抗（內摩擦角 $\phi$）與黏結力（凝聚力 $c$）。當剪應力面上的剪應力達到該面之抗剪強度時，土壤即發生剪力破壞，破壞準則式為： $\tau_f = c + \sigma \tan\phi$ 若考慮有效應力，則為 $\tau_f = c' + \sigma' \tan\phi'$。在應力莫爾圓中，此準則代表極限應力狀態下莫爾圓的外公切線（破壞包絡線）。

2. 應力路徑（Stress Path, MIT 系統）： 三軸試驗或受載歷程中，莫爾圓連續變化不易閱讀。Lambe（MIT 體系）將應力狀態簡化為莫爾圓之頂點坐標 $(p, q)$，其加載過程中點的連續軌跡即為應力路徑： $p = \frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2}, \quad q = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$ 破壞時各莫爾圓頂點之連線稱為 $K_f$ 線（破壞線），其方程式定義為： $q_f = m + p_f \tan\alpha$ 其中 $m$ 為截距，$\alpha$ 為斜角。

3. Skempton 孔隙水壓力參數（1954）： 土壤受外力時，孔隙水壓力的增量 $\Delta u$ 可分解為圍壓（等向應力）增量及偏應力（剪應力）增量兩部分之貢獻，用以在未排水加載條件下預測超額孔隙水壓力。

解題方法

(一) 莫爾－庫倫準則、應力路徑之意義與參數關係式推導

1. 莫爾－庫倫破壞準則之意義

• 物理意涵：主張土壤破壞是由剪應力與正應力之組合所主導，並非單純由最大主應力引致。
• 幾何特徵：在 $\sigma-\tau$ 剪應力平面上，破壞包絡線為一直線，與橫軸夾角為內摩擦角 $\phi$，截距為凝聚力 $c$。當某應力狀態之莫爾圓與該包絡線相切時，表示土壤達到破壞極限。

2. 應力路徑之意義

• 物理意涵：以單一應力點軌跡連續表示土壤試體在固結、剪切、加載或卸載過程中應力狀態的演變歷程，避免繪製大量重疊的莫爾圓。
• 工程價值：可清晰區分不同應力路徑（如：側壓不變增加軸壓、軸壓不變降低側壓、等向加壓等）對土壤變形與破壞特性的影響。

3. 包絡線參數 $(c, \phi)$ 與 $(m, \alpha)$ 關係式推導

設土壤在破壞時之大小主應力分別為 $\sigma_{1f}$ 及 $\sigma_{3f}$。 在莫爾圓幾何關係中：

• 破壞莫爾圓圓心坐標為 $(p_f, 0) = \left(\frac{\sigma_{1f} + \sigma_{3f}}{2}, 0\right)$
• 破壞莫爾圓半徑為 $q_f = \frac{\sigma_{1f} - \sigma_{3f}}{2}$

考慮莫爾－庫倫包絡線與破壞莫爾圓相切於破壞點： 將包絡線反向延長與 $\sigma$ 軸交於頂點，頂點坐標為 $(-c \cot\phi, 0)$。 頂點至圓心的距離 $D$ 為： $D = p_f - (-c \cot\phi) = p_f + c \cot\phi$

圓心至切點的連線即為半徑 $q_f$，且與破壞包絡線垂直。因此構成一包含內摩擦角 $\phi$ 的直角三角形： $\sin\phi = \frac{q_f}{D} = \frac{q_f}{p_f + c \cot\phi}$

將式子整理展開求 $q_f$： $q_f = (p_f + c \cot\phi) \sin\phi = p_f \sin\phi + c \left(\frac{\cos\phi}{\sin\phi}\right) \sin\phi$ $q_f = p_f \sin\phi + c \cos\phi$

對照 MIT 應力路徑平面上的破壞包絡線（$K_f$ 線）方程式： $q_f = p_f \tan\alpha + m$

比較 $p_f$ 之係數與常數項，可得參數對應關係： $\tan\alpha = \sin\phi$ $m = c \cos\phi$

亦可將上述關係轉換為以應力路徑參數 $(m, \alpha)$ 表示莫爾－庫倫參數 $(c, \phi)$： $\phi = \sin^{-1}(\tan\alpha)$ $c = \frac{m}{\cos\phi} = \frac{m}{\sqrt{1 - \sin^2\phi}} = \frac{m}{\sqrt{1 - \tan^2\alpha}}$

(二) Skempton 孔隙水壓力參數之公式、目的及參數意義

1. 公式

在一般三軸應力條件下，外加全應力增量由圍壓增量 $\Delta\sigma_3$ 及偏應力增量 $\Delta\sigma_1 - \Delta\sigma_3$ 組成，未排水條件下產生的孔隙水壓力增量公式為： $\Delta u = B \left[ \Delta\sigma_3 + A (\Delta\sigma_1 - \Delta\sigma_3) \right]$

核心觀念

本題整合工址調查（Site Investigation）中四大實務核心課題：

1. 標準貫入試驗（SPT）之標準化校正：實測擊數 $N$ 受有效上覆壓力及設備敲擊能量等因素影響，需藉由 Skempton（1986）或 Seed 等人建議之修正係數轉換為標準化擊數 $(N_1)_{60}$。
2. 橋梁工程地盤調查規範（以命題當年民國 111 年交通部《公路橋梁設計規範》及內政部《建築物基礎構造設計規範》地盤調查規定為準）：針對橋台與橋墩之淺基礎與深基礎，依應力影響範圍及承載層穩定性規定最小鑽探深度。
3. ASTM D2573 現地十字片剪試驗（VST）：適用於取樣極易受擾動之飽和軟弱黏性土，於原位直接量測未擾動與重模之不排水剪力強度及靈敏比。
4. 現地地球物理震測（折射法與反射法）：利用彈性波（P 波與 S 波）在不同地層界面之折射與反射特性，反演淺層波速結構、基盤深度、地層連續性及構造弱面。

解題方法

(一) $(N_1)_{60}$ 之定義與修正項目

1. $(N_1)_{60}$ 之定義： $(N_1)_{60}$ 為標準貫入試驗（SPT）實測擊數 $N$，經過「有效上覆壓力標準化至 $1\text{ ton/ft}^2$（約 $100\text{ kPa}$ 或 $1\text{ kgf/cm}^2$）」及「落鎚能量效率標準化至自由落體理論能量之 $60\%$」後之標準化貫入擊數。其目的在於消除因埋土深度及不同施作鑽機敲擊能量差異所造成的試驗誤差，以提供一致的砂土相對密度、抗液化強度及承載力評估基準。

2. 轉換修正公式： $(N_1)_{60} = N \cdot C_N \cdot C_E \cdot C_B \cdot C_R \cdot C_S$ 需考慮的各項修正項目如下：

• 有效上覆壓力修正係數（$C_N$）：修正因深度不同而產生的垂直有效應力 $\sigma'_v$ 差異（砂土圍壓越大，實測阻抗越大）。常用 Liao & Whitman 公式：$C_N = \sqrt{\frac{p_a}{\sigma'_v}}$（$p_a = 100\text{ kPa}$），通常規定 $C_N \le 1.7 \sim 2.0$。
• 鐵鎚能量效率修正係數（$C_E$）：修正不同落鎚類型（安全鎚、甜甜圈鎚、自動落鎚）的能量傳遞比率（$ER$）：$C_E = \frac{ER}{60}$。
• 鑽孔直徑修正係數（$C_B$）：修正鑽孔孔徑過大時孔底應力釋放對擊數的折減效應（孔徑 $65 \sim 115\text{ mm}$ 時 $C_B = 1.0$；孔徑較大時 $C_B > 1.0$）。
• 鑽桿長度修正係數（$C_R$）：修正鑽桿過短時反射應力波損耗或過長時之波衰減（鑽桿長度 $< 3\text{ m}$ 時 $C_R \approx 0.75$；長度 $> 10\text{ m}$ 時 $C_R = 1.0$）。
• 取樣管襯管修正係數（$C_S$）：修正劈管取樣器內部是否加裝襯管（Liner）所造成的管內壁摩擦阻抗差異（使用標準襯管時 $C_S = 1.0$；未加裝襯管時 $C_S \approx 1.1 \sim 1.3$）。

(二) 橋台與橋墩設計之最少鑽探深度

以命題當年（民國 111 年）交通部《公路橋梁設計規範》第十四章工址調查與基礎及相關地盤調查準則為準，最少鑽探深度規定如下：

1. 直接基礎（淺基礎 / 擴展基腳）：

• 鑽探深度應至少達到基礎底面以下 $1.5$ 至 $2.0$ 倍基礎寬度（$1.5B \sim 2.0B$），或達到地中垂直附加應力小於基礎底面接觸壓力 $10\%$ 的深度。
• 若基底下遭遇堅硬岩盤或良好承載層，鑽探應深入該承載岩盤至少 $3\text{ m}$，以確認非孤石或薄層岩盤。

2. 樁基礎（深基礎）：

• 摩擦樁：鑽探深度應至少達到預定樁尖深度以下 $3$ 至 $5\text{ m}$（或達相當於等值群樁寬度的深度），以檢核樁尖下方受壓弱層。
• 端承樁：鑽探應確實穿透覆土層並進入堅硬承載層，深入承載岩盤至少 $3\text{ m}$（或至少深入樁徑之 $3$ 倍），以查明岩盤品質及是否有斷層、剪裂帶或溶洞夾層。

(三) ASTM D2573 十字片剪試驗（VST）

1. 適用之土壤類型：

• 適用於飽和、軟弱至中等堅硬之黏性土（Saturated soft to medium-stiff cohesive soils / clays）。