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核心觀念

本題考察土壤活性（Activity） 的定義、計算，以及以活性值判斷土壤膨脹潛能（Swelling Potential） 的工程意義。

涉及定義與公式：

塑性指數（Plasticity Index, PI） 定義為液性限度與塑性限度之差：

$PI = LL - PL$

活性（Activity, $A$） 由 Skempton（1953）提出，定義為塑性指數除以黏土含量百分比（粒徑小於 $2\ \mu m$ 的顆粒佔總土樣質量之百分比）：

$A = \frac{PI}{\text{黏土含量 (Clay Fraction, \%)}}$

此處「黏土含量」專指粒徑 $< 2\ \mu m$ 的部分，不是細料含量（Fines Content，通過 #200 篩，粒徑 $< 0.075\ mm$），兩者切勿混淆。

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解題方法

（一）計算活性參數值

步驟一：計算塑性指數 $PI$

$PI = LL - PL = 82\% - 36\% = 46\%$

步驟二：確認黏土含量

題目已明確給定：

• 細料含量（Fines Content）$= 36\%$（通過 No.200 篩）
• 黏土含量（Clay Fraction）$= 16\%$（粒徑 $< 2\ \mu m$）

計算活性時，分母必須採用黏土含量 $16\%$，而非細料含量 $36\%$。

步驟三：代入活性公式

$A = \frac{PI}{\text{黏土含量}} = \frac{46}{16} = 2.875$

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（二）依活性值研判膨脹潛能

Skempton 根據活性值將土壤分為三類，並對應其礦物組成與膨脹行為：

活性值 $A$	分類	代表礦物	膨脹潛能
$A < 0.75$	非活性（Inactive）	高嶺石（Kaolinite）	低

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核心觀念

本題考察**單向度滲流（one-dimensional seepage）**中的兩個核心概念：

1. 總水頭（total head）與水力坡降（hydraulic gradient, $i$）

• 任意點之總水頭 $h = z + \dfrac{u}{\gamma_w}$，其中 $z$ 為高程水頭，$\dfrac{u}{\gamma_w}$ 為壓力水頭。
• 兩點間之水力坡降：$i = \dfrac{\Delta h}{\Delta L}$，$\Delta h$ 為水頭損失，$\Delta L$ 為兩點間距離（沿流向量）。

2. 臨界水力坡降（critical hydraulic gradient, $i_{cr}$）

• 當向上滲流產生的滲流壓力（seepage force）恰好抵消土壤浮重時，有效應力歸零，砂土即將發生砂湧（quicksand/boiling）。
• 臨界水力坡降公式：

$i_{cr} = \frac{\gamma'}{\gamma_w}$

其中 $\gamma'$ 為土壤浮單位重，$\gamma_w = 9.81\ \mathrm{kN/m^3}$（水之單位重）。

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已知條件整理

量	數值
A 點高程水頭 $z_A$	$0\ \mathrm{m}$
A 點壓力水頭 $\left(\dfrac{u}{\gamma_w}\right)_A$	$2\ \mathrm{m}$
B 點在 A 點正下方 $1\ \mathrm{m}$，故 $z_B$	$-1\ \mathrm{m}$
B 點壓力水頭 $\left(\dfrac{u}{\gamma_w}\right)_B$	$3.5\ \mathrm{m}$
飽和單位重 $\gamma_{sat}$	$18.6\ \mathrm{kN/m^3}$
水之單位重 $\gamma_w$	$9.81\ \mathrm{kN/m^3}$（標準取值）

滲流方向判斷：B 在 A 正下方，表示流向為向上（upward seepage）。後續計算將印證此點。

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第（一）小題：A、B 兩點間之水力坡降

解題方法

分別計算 A、B 兩點之總水頭，再以兩點距離求水力坡降。

A 點總水頭：

$h_A = z_A + \left(\frac{u}{\gamma_w}\right)_A = 0 + 2 = 2\ \mathrm{m}$

B 點總水頭：

$h_B = z_B + \left(\frac{u}{\gamma_w}\right)_B = (-1) + 3.5 = 2.5\ \mathrm{m}$

水頭損失 $\Delta h$（由高水頭流向低水頭）：

$\Delta h = h_B - h_A = 2.5 - 2 = 0.5\ \mathrm{m}$

由於 $h_B > h_A$，水從 B 流向 A，即由下往上滲流，符合物理直觀。

兩點間距離：

$\Delta L = 1\ \mathrm{m}$

水力坡降：

$i = \frac{\Delta h}{\Delta L} = \frac{0.5}{1} = 0.5$

【答案】$\boxed{i = 0.5}$

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（一）標準夯實試驗（Standard Proctor Compaction Test）

核心觀念

夯實試驗的目的是找出「最佳含水量（Optimum Moisture Content, OMC）」與對應的「最大乾單位重（Maximum Dry Unit Weight, $\gamma_{d,\max}$）」，作為現場夯實施工的控制依據。本題考查考生對試驗規範、基本原理與所得參數的理解。

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試驗規範與儀器

**標準夯實試驗（ASTM D698 / CNS 11777 A3211）**規定如下：

項目	數值
模具內徑	101.6 mm（4 in）
模具容積	$943.3 \text{ cm}^3$（約 $1/30 \text{ ft}^3$）
夯錘質量	2.5 kg（5.5 lb）
落錘高度	305 mm（12 in）
夯擊層數	3 層
每層夯擊次數	25 次
每層夯實功	單位夯實功 $E = 592 \text{ kJ/m}^3$（600,000 ft·lb/ft³ 近似）

單位夯實能量公式： $E = \frac{W_h \cdot H \cdot N_{blows} \cdot N_{layers}}{V_{mold}}$ 其中 $W_h$ 為錘重、$H$ 為落高、$N_{blows}$ 為每層夯擊次數、$N_{layers}$ 為層數、$V_{mold}$ 為模具體積。

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試驗步驟與原理

1. 試樣製備：取代表性土樣，風乾後過4.75 mm篩，分次加水調配不同含水量（通常至少5個含水量點）。

2. 夯實：依規範分3層夯實於模具中，每層夯完後將超出模具頂面之土料修平，稱取試樣質量。

3. 計算乾單位重： $\gamma_d = \frac{\gamma_t}{1 + w}$ 其中 $\gamma_t = W_{soil}/V_{mold}$ 為濕單位重，$w$ 為含水量（以小數表示）。

4. 繪製夯實曲線：以含水量 $w$ 為橫軸，乾單位重 $\gamma_d$ 為縱軸，得一開口向下之拋物線型曲線，即夯實曲線（Compaction Curve）。

5. 讀取 OMC 與 $\gamma_{d,\max}$：曲線頂點對應的含水量即為最佳含水量，對應之乾單位重即為最大乾單位重。

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饱和線（Zero Air Voids Curve, ZAV）

ZAV 線代表飽和度 $S = 100\%$ 時的理論乾單位重，公式為：

$\gamma_{d,ZAV} = \frac{G_s \cdot \gamma_w}{1 + e} = \frac{G_s \cdot \gamma_w}{1 + \dfrac{w \cdot G_s}{S}} = \frac{\gamma_w}{w + \dfrac{1}{G_s}}$

（當 $S=1$ 時化簡）

夯實曲線永遠位於 ZAV 線的左下方，因為夯實過程中不可能完全排除空氣（即飽和度恆小於 100%）。這是驗算作圖正確性的重要依據。

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物理意義

• 含水量低於 OMC：土粒間膜水不足，粒間吸引力（Matric Suction）大，土粒難以移動重排，夯實效果差，乾單位重低。
• 含水量等於 OMC：膜水潤滑效果最佳，土粒可有效重排，達到最密狀態。
• 含水量高於 OMC：多餘水分佔據孔隙，夯擊時水無法即時排出，「橡皮土（Pumping）」現象出現，乾單位重再度下降。

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修正夯實試驗（Modified Proctor，ASTM D1557）比較

項目	標準夯實	修正夯實
錘重	2.5 kg	4.54 kg
落高	305 mm	457 mm
層數	3 層	5 層
單位功	~592 kJ/m³	~2700 kJ/m³
結果	OMC 較高、$\gamma_{d,\max}$ 較低	OMC 較低、$\gamma_{d,\max}$ 較高

修正夯實功約為標準的4.5倍，用於重型道路或機場跑道等高規格工程。

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解題技巧與常見陷阱

• 陷阱①：混淆標準與修正夯實的錘重與落高。記憶口訣：「標準2.5 kg × 305 mm × 3層 × 25擊；修正4.54 kg × 457 mm × 5層 × 25擊」。
• 陷阱②：夯實試驗量測的是濕單位重，必須除以 $(1+w)$ 換算為乾單位重，不可直接使用濕重作圖。
• 陷阱③：ZAV 線需代入比重 $G_s$（通常取 2.65～2.72），不同土質應使用各自的 $G_s$，誤用預設值會造成繪圖偏差。

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【答案】

核心觀念

本題考查一維壓密理論（Terzaghi 一維壓密理論） 中，壓密係數 $c_v$ 的實驗室計算方法。核心公式為時間因子（Time Factor） $T_v$ 的定義式：

$T_v = \frac{c_v \cdot t}{H_{dr}^2}$

其中各變數定義如下：

符號	意義
$T_v$	無因次時間因子（Time Factor）
$c_v$	壓密係數（Coefficient of Consolidation），單位 $\mathrm{cm^2/sec}$
$t$	達到特定壓密度所需的時間
$H_{dr}$	有效排水距離（Drainage Path Length），為關鍵，視排水條件而定

排水條件判斷——此題最容易犯錯之處：

• 單向排水（Single drainage）：$H_{dr} = H$（試體全厚）
• 雙向排水（Double drainage）：$H_{dr} = H/2$（試體半厚）

題目明確指出「試體可以雙向排水」，故有效排水距離為試體平均厚度的一半。

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解題方法

Step 1：整理已知條件並換算單位

已知量	數值	換算結果
試體平均厚度 $H$	$16.1\ \mathrm{mm}$	$1.61\ \mathrm{cm}$
達 90% 壓密度之時間 $t_{90}$	$8\ \mathrm{min}$	$480\ \mathrm{sec}$
對應時間因子 $T_{90}$	$0.848$	—

Step 2：計算有效排水距離 $H_{dr}$

因試體為雙向排水，超額孔隙水壓可由試體上、下兩端同時消散，最長排水路徑為試體厚度之半：

$H_{dr} = \frac{H}{2} = \frac{1.61\ \mathrm{cm}}{2} = 0.805\ \mathrm{cm}$

Step 3：由時間因子定義式求解 $c_v$

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核心觀念

本題考察 莫爾–庫倫破壞準則（Mohr-Coulomb Failure Criterion） 的兩種應用情境：

$\tau_f = c' + \sigma' \tan\phi'$

其中：

• $\tau_f$：剪切破壞面上的剪應力（剪力強度）
• $c'$：有效凝聚力（effective cohesion）
• $\sigma'$：破壞面上的有效正應力（effective normal stress）
• $\phi'$：有效內摩擦角（effective friction angle）

已知參數：

參數	數值
$c'$	$6\ \mathrm{kN/m^2}$
$\phi'$	$30°$
$\tan 30° = 1/\sqrt{3} \approx 0.5774$	—

兩小題分別對應兩種常用的室內土壤強度試驗：

• (一) 直接剪力試驗（Direct Shear Test）：直接在水平破壞面上施加正應力與剪力，破壞面固定為水平面，直接套用莫爾–庫倫公式即得所需剪力。
• (二) 三軸壓密排水試驗（CD Test）：排水條件下超額孔隙水壓為零，故總應力等於有效應力。破壞發生在與大主應力面成 $(45° + \phi'/2)$ 的斜面上，需透過主應力空間的莫爾圓與破壞包絡線相切條件求解軸差應力（deviator stress）。

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(一) 直接剪力試驗

解題方法

直剪試驗中，試體的水平破壞面面積與施加的正向力均為已知，可直接計算破壞面上的正應力，再代入莫爾–庫倫公式求剪力強度，最後乘以截面積得破壞所需剪力。

Step 1｜確認施加的正應力

題目直接給定正向應力（normal stress）：

$\sigma' = 60\ \mathrm{kN/m^2}$

（此為直剪試驗中直接量測量，已作用於水平破壞面。）

Step 2｜代入莫爾–庫倫公式求剪應力強度

$\tau_f = c' + \sigma' \tan\phi'$

$\tau_f = 6 + 60 \times \tan 30°$

$\tau_f = 6 + 60 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 6 + 60 \times 0.5774$

$\tau_f = 6 + 34.64 = 40.64\ \mathrm{kN/m^2}$

Step 3｜計算截面積

試體水平截面尺寸為 $50\ \mathrm{mm} \times 50\ \mathrm{mm}$，換算為公尺：

$A = 0.05\ \mathrm{m} \times 0.05\ \mathrm{m} = 0.0025\ \mathrm{m^2} = 25 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$

Step 4｜計算破壞所需剪力

$F = \tau_f \times A = 40.64\ \mathrm{kN/m^2} \times 0.0025\ \mathrm{m^2}$

$\boxed{F = 0.1016\ \mathrm{kN} = 101.6\ \mathrm{N}}$

【答案】需施加約 101.6 N（≈ 0.102 kN） 之剪力方能剪壞試體。

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(二) 三軸壓密排水（CD）試驗

解題方法

CD 試驗全程排水，超額孔隙水壓 $\Delta u = 0$，故有效應力等於總應力。

給定：

• 圍壓（cell pressure / confining pressure）= 小主應力：$\sigma_3' = 100\ \mathrm{kN/m^2}$
• 待求軸差應力（deviator stress）：$\Delta\sigma = \sigma_1' - \sigma_3'$

Step 1｜建立莫爾圓與包絡線相切條件

破壞時，莫爾圓恰好與莫爾–庫倫破壞包絡線 $\tau = c' + \sigma'\tan\phi'$ 相切。

利用標準幾何關係，莫爾圓圓心至包絡線的距離等於圓半徑：

$\text{圓心座標} = \left(\frac{\sigma_1' + \sigma_3'}{2},\ 0\right)，\quad \text{半徑} = \frac{\sigma_1' - \sigma_3'}{2}$