112 年高普考普通考試水利工程考古題與詳解

Question 1

試說明河道洪水演算的馬斯金更法（Muskingum method）如何推導出入流量（ $I$ ）及出流量（ $O$ ）間的線性方程式：

$O_2=C_0I_2+C_1I_1+C_2O_1$

並試以馬斯金更法演算下方已知某河段之入流量歷線之各時刻的出流量。（10分）

假設其初始出流量為 $100\ \mathrm{cms}$ ， $K=20\ \mathrm{hours}$ ， $x=0.25$ 。

時間（hr）	入流量 $I$ （cms）
12	100
24	300
36	680
48	500
60	400
72	350
84	200
96	180
108	100
120	50

Accepted Answer

核心觀念 馬斯金更法（Muskingum method）以河段的蓄水量 $S$ 與入流量 $I$、出流量 $O$ 的加權平均表示： $$ S=K\left[xI+(1-x)O\right] $$ 其中，$K$ 為河段的蓄水時間常數，$x$ 為權重係數，通常介於 $0$ 與 $0.5$ 之間。河段連續方程式為： $$ \frac{dS}{dt}=I-O $$ 將時間區間 $1$ 至 $2$ 的蓄水變化以梯形法近似： $$ S2-S1=\frac{\Delta t}{2}\left[(I1+I2)-(O1+O2)\right] $$ 代入蓄水量公式並整理，可得： $$ O2=C0I2+C1I1+C2O1 $$ 其中： $$ C0=\frac{\frac{\Delta t}{2}-Kx}{K(1-x)+\frac{\Delta t}{2}} $$ $$ C1=\frac{\frac{\Delta t}{2}+Kx}{K(1-x)+\frac{\Delta t}{2}} $$ $$ C2=\frac{K(1-x)-\frac{\Delta t}{2}}{K(1-x)+\frac{\Delta t}{2}} $$ 且 $C0+C1+C2=1$。此式表示某時段的出流量由該時段與前一時段的入流量，以及前一時段的出流量共同決定。 解題方法 題目每隔 $12$ 小時提供一次入流量，因此 $\Delta t=12$ 小時。代入 $K=20$ 小時、$x=0.25$： $$ K(1-x)+\frac{\Delta t}{2} =20(0.75)+6=21 $$ 因此： $$ C0=\frac{6-20(0.25)}{21}=\frac{1}{6} $$ $$ C1=\frac{6+20(0.25)}{21}=\frac{17}{42} $$

Question 2

某兩條平行河流相距 $1250\ \mathrm{m}$，兩者都完全穿透一非拘限含水層。假設有一場持續降雨，其強度為 $0.02\ \mathrm{m/day}$，形成在左邊河流的水位高度為 $30\ \mathrm{m}$，右邊河流的水位高度為 $25\ \mathrm{m}$。假設 Dupuit assumption 適用於該非拘限含水層，且其水力傳導係數為 $12\ \mathrm{m/day}$。試計算該含水層最高水位（$m$）為何？（15分） 且此最高水位與左邊河流的距離（$m$）為何？（10分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考非拘限含水層在均勻降雨補注下的穩定地下水流，並使用 Dupuit 假設。Dupuit 假設將地下水流視為水平流，且流速分布可用水位坡度表示；對完全穿透含水層的平行河流，可用水位高度 $h$ 表示含水層厚度。 令左、右河流分別位於 $x=0$ 與 $x=L$，其中 $L=1250\ \mathrm{m}$。均勻補注量為 $R=0.02\ \mathrm{m/day}$，水力傳導係數為 $K=12\ \mathrm{m/day}$。穩定狀態下，Dupuit 方程為 $$ \frac{d}{dx}\left(Kh\frac{dh}{dx}\right)+R=0 $$ 整理後可得 $$ \frac{d^2(h^2)}{dx^2}=-\frac{2R}{K} $$ 因此，$h^2$ 隨 $x$ 呈二次曲線；最高水位位於水位曲線斜率為零處。 解題方法 將上式積分兩次，得 $$ h^2(x)=-\frac{R}{K}x^2+C1x+C2 $$ 左側河流水位為 $30\ \mathrm{m}$，故 $h(0)=30$，因此 $C2=900$。右側河流水位為 $25\ \mathrm{m}$，故 $h(1250)=25$： $$ 625=-\frac{0.02}{12}(1250)^2+1250C1+900 $$ 解得

Question 3

某一集水區其面積為 $200\ \mathrm{km^2}$，某一場 $2$ 小時的降雨事件所得到不同時刻的累積雨量如下表所示： | 時間（min） | 0 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | |---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:| | 累積雨量（cm） | 0 | 1.5 | 2.5 | 5.5 | 7 | 7.5 | 7.7 | 已知該場降雨事件在形成地表逕流前之滯蓄及截留等之初期降雨損失量為 $1.5\ \mathrm{cm}$。假如該集水區之入滲損失可以利用 $\phi$ 指數法合理估算，其值為 $\phi=0.9\ \mathrm{cm/hr}$。若忽略土壤中水分的變化量及蒸發量，試計算該場降雨事件形成之地表逕流量（$\mathrm{m^3}$）？

Accepted Answer

核心觀念 本題考查降雨損失與地表逕流深的計算。總降雨量扣除初期損失與 $\phi$ 指數所代表的入滲損失後，得到有效降雨深；有效降雨深乘以集水區面積，即為地表逕流體積。 初期損失 $1.5\ \mathrm{cm}$ 先自降雨量扣除。$\phi$ 指數 $0.9\ \mathrm{cm/hr}$ 則乘上降雨持續時間，計算入滲損失；本題降雨期間為 $2$ 小時。 解題方法 累積雨量表最後一筆即為事件總雨量： $$ P=7.7\ \mathrm{cm} $$ 入滲損失為： $$ F=\phi t =(0.9\ \mathrm{cm/hr})(2\ \mathrm{hr}) =1.8\ \mathrm{cm} $$ 因此有效降雨深，也就是地表逕流深為： $$ R=P-Ia-F =7.7-1.5-1.8 =4.4\ \mathrm{cm} $$

Question 4

（一）何謂保水曲線（water retention curve）在乾燥（drainage）及潮濕（imbibition）過程的遲滯（hysteresis）現象？（15分）

（二）何謂孔隙率（porosity）、田間含水量（field capacity）及凋萎點（wilting point）？對同一土壤，此三個物理量其數值相對大小排序為何？（10分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查土壤水分特性曲線，以及描述土壤孔隙與植物可利用水分的三個指標。保水曲線表示土壤含水量與基質吸力（或水勢）之關係；同一土壤在排水與吸水過程中，曲線通常不會重合，這種現象稱為遲滯。 孔隙率描述土壤孔隙所占體積比例；田間含水量與凋萎點則分別描述排水後土壤保留的水量，以及植物難以再從土壤吸水的含水狀態。 （一）保水曲線的遲滯現象 保水曲線以土壤含水量（常用體積含水率 $	heta$）為一軸，以基質吸力（或負水勢的絕對值）為另一軸。基質吸力愈大，表示土壤水愈難被植物或外力取出，土壤含水量通常愈低。 - 乾燥（排水，drainage）曲線：土壤由濕轉乾，孔隙中的水逐漸排出；在給定基質吸力下，土壤含水量通常較高。 - 潮濕（吸水，imbibition）曲線：土壤由乾轉濕，水分逐漸進入孔隙；在相同基質吸力下，土壤含水量通常較低。 因此，在相同基質吸力下，乾燥過程的含水量通常大於潮濕過程；反過來，在相同含水量下，潮濕過程通常需要較大的基質吸力。兩條曲線不重合，即為保水曲線的遲滯。 造成遲滯的主要原因包括： 1. 墨水瓶效應：孔隙形狀不規則，孔喉與孔腔大小不同。排水時，水須經較窄孔喉排出；吸水時，孔腔則可能在不同吸力下進水，因而形成不同曲線。 2. 接觸角效應：水與土粒表面的接觸角會因潤濕或乾燥方向不同而不同，改變毛細作用。 3. 孔隙結構與水分分布的路徑依賴：土壤團粒、孔隙連通性及被困住的空氣等，會使水分進出土壤的過程不同。 解題方法：先說明保水曲線描述含水量與基質吸力的關係，再分別交代排水與吸水路徑，最後指出同一吸力下兩者含水量不同，並舉出遲滯成因，即可完整回答。 （二）孔隙率、田間含水量與凋萎點 - 孔隙率（porosity，$n$）：土壤中孔隙體積占土體總體積的比例：

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