114 高普考普通考試 水利工程 水文學概要 考古題詳解

114 年・高普考・普通考試・水利工程
試題代碼 水文學概要

第 一 題25 分

有一地下抽水井位於拘限含水層（confined aquifer）中，該含水層厚度為 20 m20\ \mathrm{m}，且其水力傳導係數（hydraulic conductivity）為 15 m/day15\ \mathrm{m/day}，儲水係數（storativity）為 0.00570.0057。假設該抽水井其抽水量為 2800 m3/day2800\ \mathrm{m^3/day}，試計算抽水 11 天（day）後，距離抽水井 6.5 m6.5\ \mathrm{m} 處的水位洩降（drawdown）為多少 m\mathrm{m}？（25 分）

井函數 W(u)W(u)：

uu12345
×1\times 10.2190.0490.0130.0040.001
×10−1\times 10^{-1}1.8231.2230.9060.7020.560
×10−2\times 10^{-2}4.043.352.962.682.47
×10−3\times 10^{-3}6.335.645.234.954.73
×10−4\times 10^{-4}8.637.947.537.257.02
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核心觀念

本題考查拘限含水層抽水後的暫態水位洩降，使用 Theis 非穩定流公式：

s=Q4πTW(u)s=\frac{Q}{4\pi T}W(u)

其中：

  • ss：距抽水井 rr 處之水位洩降，單位為 m\mathrm{m}
  • QQ：抽水量，單位為 m3/day\mathrm{m^3/day}
  • TT：透水係數，單位為 m2/day\mathrm{m^2/day}
  • W(u)W(u)：井函數
  • uu：無因次時間參數

透水係數 TT 由水力傳導係數與含水層厚度求得：

T=KbT=Kb

解題方法

1. 計算透水係數 TT

已知：

K=15 m/dayK=15\ \mathrm{m/day} b=20 mb=20\ \mathrm{m}

因此：

T=Kb=15×20=300 m2/dayT=Kb=15\times20=300\ \mathrm{m^2/day}

2. 計算無因次參數 uu

Theis 公式中的 uu 為：

u=r2S4Ttu=\frac{r^2S}{4Tt}

已知：

r=6.5 m,S=0.0057,T=300 m2/day,t=1 dayr=6.5\ \mathrm{m},\qquad S=0.0057,\qquad T=300\ \mathrm{m^2/day},\qquad t=1\ \mathrm{day}

代入：

u=(6.5)2(0.0057)4(300)(1)u=\frac{(6.5)^2(0.0057)} {4(300)(1)} u=42.25×0.00571200=0.2408251200=0.0002007u=\frac{42.25\times0.0057}{1200} =\frac{0.240825}{1200} =0.0002007
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第 二 題

某一集水區其延時為一小時之單位歷線 U(1,t)U(1,t) 如下表所示：

時間（hr）00.511.522.533.544.555.5
流量（cms）0175174.57865.54628157.52.50

（一）試推導延時為 0.50.5 小時之單位歷線 U(0.5,t)U(0.5,t)？（15 分）

（二）若此集水區有四場各延時 0.50.5 小時之降雨事件，其各降雨強度 ii 及入滲率 ff 如下表，且基流量為 10 cms10\ \mathrm{cms}，試計算該集水區由此四場降雨事件所形成之洪水歷線？（10 分）

時間（hr）0–0.50.5–11–1.51.5–2
ii（mm/hour）1012.52510
ff（mm/hour）8642.5
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核心觀念

本題考查：

  1. 單位歷線的延時轉換。
  2. SS 曲線法推導較短延時單位歷線。
  3. 有效降雨量：
Pe=(i−f)ΔtP_e=(i-f)\Delta t
  1. 單位歷線的離散褶合：
Q(t)=∑Pe,kU(0.5,t−kΔt)Q(t)=\sum P_{e,k}U(0.5,t-k\Delta t)

題目所列單位歷線以 1 cm1\ \mathrm{cm} 有效降雨為單位，故降雨超額深度須換算為公分。

（一）推導 0.50.5 小時單位歷線

1. 建立 SS 曲線

由 11 小時單位歷線逐隔 11 小時相加：

S(t)=U(1,t)+U(1,t−1)+U(1,t−2)+⋯S(t)=U(1,t)+U(1,t-1)+U(1,t-2)+\cdots

依題目資料，SS 曲線各時刻流量如下：

時間 tt（hr）00.511.522.533.544.555.5
S(t)S(t)（cms）0175191.5129157175185.5190192.5192.5192.5

2. 以 SS 曲線推導短延時單位歷線

S(t)−S(t−0.5)S(t)-S(t-0.5) 代表持續時間 0.50.5 小時、降雨強度為單位強度的洪水歷線。為轉換成 0.50.5 小時單位歷線，須除以 0.50.5：

U(0.5,t)=S(t)−S(t−0.5)0.5U(0.5,t)=\frac{S(t)-S(t-0.5)}{0.5}

因此：

時間 tt（hr）00.511.522.533.544.555.5
S(t)−S(t−0.5)S(t)-S(t-0.5)0173440.537.5281810.54.52.500
U(0.5,t)U(0.5,t)（cms）0346881755636219500

所以，

U(0.5,t)=[0, 34, 68, 81, 75, 56, 36, 21, 9, 5, 0]\boxed{ U(0.5,t)= [0,\ 34,\ 68,\ 81,\ 75,\ 56,\ 36,\ 21,\ 9,\ 5,\ 0] }

時間間隔為 0.50.5 小時。

（二）四場降雨事件形成之洪水歷線

1. 計算有效降雨量

每場降雨延時為 0.50.5 小時：

時間區間（hr）ii（mm/hr）ff（mm/hr）i−fi-f（mm/hr）有效雨量（mm）有效雨量（cm）
0–0.510822(0.5)=12(0.5)=10.10
0.5–112.566.56.5(0.5)=3.256.5(0.5)=3.250.325
1–1.52542121(0.5)=10.521(0.5)=10.51.05
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第 三 題25 分

某一集水區其面積為 50 km250\ \mathrm{km^2}，在一 1212 小時的豪雨事件所觀測之降雨量為 258 mm258\ \mathrm{mm}。若此豪雨事件期間在集水區出流口匯流處所測得的總地表逕流量為 107 m310^7\ \mathrm{m^3}，忽略集水區內土壤中水分的變化量及其他水文損失量。假設該集水區由過去的水文觀測知其入滲的水文過程可由 Horton 潛勢入滲（potential infiltration）公式合理推估，其最終入滲率為 fc=0.5 mm/hrf_c=0.5\ \mathrm{mm/hr} 且入滲衰減係數 kk 值為 0.2 hr−10.2\ \mathrm{hr^{-1}}。試利用此次豪雨事件觀測資料，計算 Horton 潛勢入滲公式合理所推估該集水區在第 88 個小時的入滲率和總入滲量？（25 分）

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核心觀念

本題結合集水區水量平衡與 Horton 潛勢入滲公式。在忽略土壤水分變化及其他水文損失的條件下，降雨量扣除地表逕流量所對應的水深，即為此次事件的總入滲量。

Horton 入滲率公式為：

f(t)=fc+(f0−fc)e−ktf(t)=f_c+(f_0-f_c)e^{-kt}

其中 fcf_c 為最終入滲率、f0f_0 為初始入滲率、kk 為入滲衰減係數。事件開始至 TT 小時的累積入滲量為：

F(T)=∫0Tf(t) dt=fcT+f0−fck(1−e−kT)F(T)=\int_0^T f(t)\,dt =f_cT+\frac{f_0-f_c}{k}\left(1-e^{-kT}\right)

解題方法

一、由水量平衡求總入滲量

集水區面積為 50 km2=50×106 m250\ \mathrm{km^2}=50\times10^6\ \mathrm{m^2}，出流口測得的地表逕流體積為 107 m310^7\ \mathrm{m^3}，換算成逕流水深：

R=10750×106=0.2 m=200 mmR=\frac{10^7}{50\times10^6} =0.2\ \mathrm{m} =200\ \mathrm{mm}

因此，此次豪雨的總入滲量水深為：

F(12)=258−200=58 mmF(12)=258-200=58\ \mathrm{mm}

二、以 12 小時累積入滲量反求 f0f_0

已知 fc=0.5 mm/hrf_c=0.5\ \mathrm{mm/hr}、k=0.2 hr−1k=0.2\ \mathrm{hr^{-1}}，代入 Horton 累積入滲公式：

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第 四 題25 分

假設某一集水區已連續監測 2020 年之年尖峰洪水量 Q(cms)Q(\mathrm{cms}) 記錄符合對數皮爾森第三型分布（Log-Pearson Type III Distribution），QQ 的記錄其對數值（以十為基底）平均為 2.5 cms2.5\ \mathrm{cms}，標準偏差為 0.3768 cms0.3768\ \mathrm{cms}，偏態係數為 0.60.6。試推估其尖峰洪水量 QQ 大於 1000 cms1000\ \mathrm{cms} 的機率為何？（25 分）

標準常態分布累積機率表：

F(z)F(z)0.50.80.90.950.980.99
zz00.841.281.642.052.33

皮爾森第三型分布其頻率因子：

K=2Cs{[(Z−Cs6)Cs6+1]3−1}K=\frac{2}{C_s}\left\{\left[\left(Z-\frac{C_s}{6}\right)\frac{C_s}{6}+1\right]^3-1\right\}
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核心觀念

本題考查對數皮爾森第三型分布（Log-Pearson Type III Distribution）的洪水頻率分析。

先將流量取以 1010 為底的對數：

Y=log⁡10QY=\log_{10}Q

其頻率分析公式為：

Y=Y‾+KSYY=\overline{Y}+K S_Y

其中：

  • Y‾=2.5\overline{Y}=2.5
  • SY=0.3768S_Y=0.3768
  • Cs=0.6C_s=0.6
  • KK 為皮爾森第三型分布的頻率因子

題目要求：

P(Q>1000)P(Q>1000)

因為對數函數為遞增函數，所以：

Q>1000  ⟺  Y>log⁡10(1000)=3Q>1000 \iff Y>\log_{10}(1000)=3

解題方法

1. 求 Y=3Y=3 所對應的頻率因子 KK

K=Y−Y‾SYK=\frac{Y-\overline{Y}}{S_Y}

代入資料：

K=3−2.50.3768=0.50.3768≈1.327K=\frac{3-2.5}{0.3768} =\frac{0.5}{0.3768} \approx 1.327

2. 由頻率因子公式反求標準常態變數 ZZ

題目給定：

K=2Cs{[(Z−Cs6)Cs6+1]3−1}K=\frac{2}{C_s} \left\{ \left[ \left(Z-\frac{C_s}{6}\right)\frac{C_s}{6}+1 \right]^3-1 \right\}

代入 Cs=0.6C_s=0.6：

Cs6=0.1\frac{C_s}{6}=0.1

因此：

1.327=20.6{[0.1(Z−0.1)+1]3−1}1.327 = \frac{2}{0.6} \left\{ \left[0.1(Z-0.1)+1\right]^3-1 \right\}

整理：

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