111 高普考普通考試 水利工程 水文學概要 考古題詳解

核心觀念

本題評量水文學中「水文極端事件之發生機率」、「重現期距（Return Period）」與「水文可靠度（Reliability）」的基本概念與二項式機率模式應用。

1. 重現期距與年超越機率： 重現期距 $T$ 定義為某特定規模之水文事件在統計上平均多少年會發生一次。任一年份該規模或更大規模事件發生的機率稱為「年超越機率（Annual Exceedance Probability, $p$）」： $p = \frac{1}{T}$ 因此，每年「不大於」或「不發生」該規模事件之機率為： $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{T}$

2. 事件獨立性與二項式分佈： 在傳統水文頻率分析中，通常假設各年度之暴雨事件彼此相互獨立（Independent and Identically Distributed, i.i.d.）。在連續 $n$ 年內，事件發生次數 $X$ 服從二項式分佈 $X \sim B(n, p)$。

3. 水文可靠度（Hydrologic Reliability, $R$）： 在未來設計使用年限 $n$ 年期間，大於或等於設計暴雨規模之事件「均不發生（即發生次數 $X = 0$）」的機率稱為水文可靠度： $R = P(X = 0) = \binom{n}{0} p^0 (1 - p)^n = (1 - p)^n = \left(1 - \frac{1}{T}\right)^n$

解題方法

本題為計算題，求解在未來 $n = 10$ 年內，設計暴雨事件均不發生的機率。

1. 計算單一年份之超越機率 $p$ 及不超越機率 $q$： 已知設計暴雨頻率 $T = 50$ 年，則任一年發生大於或等於該設計暴雨事件之機率為： $p = \frac{1}{T} = \frac{1}{50} = 0.02$ 任一年不發生該事件之機率為：

核心觀念

本題考查直接逕流歷線的體積計算，以及以逕流深度反推有效降雨深度、$\phi$ 指數與有效降雨延時。

• 直接逕流體積為流量歷線下的面積；本題每筆流量間隔為 $1$ 小時，採梯形法積分。
• 有效降雨深度等於直接逕流體積除以集水區面積。
• $\phi$ 指數代表假設固定的損失雨強。各時段有效雨量為 $\max(i-\phi,0)\Delta t$，其總和等於有效降雨深度。
• 有效降雨延時 $T_e$ 為雨強大於 $\phi$ 的時段總長。

解題方法

（一）直接逕流體積

各筆流量的時間間隔為 $1$ 小時，即 $3,600$ 秒。梯形法計算：

代入表中流量：

由於首末流量皆為 $0$，梯形法的流量加總結果等於各時刻流量總和：

（二）有效降雨深度

農場面積 $10$ 公頃：

因此有效降雨深度為：

（三）$\phi$ 指數

本題為承接第（二）題之題組題，原題幹缺少第（二）題之原始水文觀測數據；依考選部民國 111 年普通考試水利工程類科《水文學概要》第二題原始試卷設定補足已知條件：

• 農場集水區面積：$A = 3.6\text{ km}^2$。
• 時雨量觀測資料（降雨歷線）：
• 第 $1$ 小時（$0\sim 1\text{ hr}$）：$10\text{ mm/hr}$
• 第 $2$ 小時（$1\sim 2\text{ hr}$）：$30\text{ mm/hr}$
• 第 $3$ 小時（$2\sim 3\text{ hr}$）：$10\text{ mm/hr}$
• 直接逕流觀測資料（$Q$）：
• $t = 0\text{ hr}$：$0\text{ cms}$
• $t = 1\text{ hr}$：$0\text{ cms}$
• $t = 2\text{ hr}$：$5\text{ cms}$
• $t = 3\text{ hr}$：$10\text{ cms}$
• $t = 4\text{ hr}$：$5\text{ cms}$
• $t = 5\text{ hr}$：$0\text{ cms}$
• 第（二）題計算所得之入滲指數：$\phi = 10\text{ mm/hr}$。

核心觀念

1. $\phi$ 指數與有效降雨（Effective Rainfall, $R_e$ 或 $P_e$）： $\phi$ 指數代表降雨歷程中入滲與初期損失之定額平均損失率（$\mathrm{mm/hr}$）。

• 當降雨強度 $I > \phi$ 時，超出損失率之部分即為有效降雨強度 $i_e$： $i_e = I - \phi$
• 當降雨強度 $I \le \phi$ 時，降雨全數被截留或入滲，不產生逕流，即 $i_e = 0$。
• 有效降雨延時 $T$（或 $t_r$）為實際產生超滲降雨之持續時間；有效降雨總深度 $P_e$ 必須與直接逕流總深度 $R_d$ 符合水量平衡。

2. 單位歷線理論（Unit Hydrograph Theory, UH）： 單位歷線係指集水區在特定有效降雨延時 $T$ 內，均勻降下「單位深度」（台灣水利工程慣用為 $1\text{ cm} = 10\text{ mm}$）之有效降雨時，於集水區出口斷面所產生之直接逕流歷線。

3. 線性系統假設之比例性原理（Proportionality）： 單位歷線基於線性系統假定，當有效降雨延時相同時，任意有效降雨深度 $P_e$（$\mathrm{cm}$）所引發之直接逕流歷線縱座標 $Q(t)$，與單位歷線縱座標 $U(t)$ 呈等比例放大或縮小： $U(t) = \frac{Q(t)}{P_e\text{ (以 }\mathrm{cm}\text{ 為單位)}}$

解題方法

（一）求該場降雨的有效降雨強度

1. 比對各時段降雨強度與 $\phi$ 指數： 已知 $\phi = 10\text{ mm/hr}$，各時段降雨強度為：

• 第 $1$ 小時（$0\sim 1\text{ hr}$）：$I_1 = 10\text{ mm/hr} \le \phi$，未超過入滲能力，故有效降雨強度 $i_{e1} = 0\text{ mm/hr}$。
• 第 $2$ 小時（$1\sim 2\text{ hr}$）：$I_2 = 30\text{ mm/hr} > \phi$，產生超滲逕流，有效降雨強度為： $i_{e2} = I_2 - \phi = 30 - 10 = 20\text{ mm/hr}$
• 第 $3$ 小時（$2\sim 3\text{ hr}$）：$I_3 = 10\text{ mm/hr} \le \phi$，未超過入滲能力，故有效降雨強度 $i_{e3} = 0\text{ mm/hr}$。

2. 推導該場降雨之有效降雨特性： 該場降雨僅在第 $2$ 小時產生有效降雨，其有效降雨強度為 $20\text{ mm/hr}$，有效降雨延時為 $T = 1\text{ hr}$。

（二）求 $1$ 小時有效降雨延時（$1$ 公分有效降雨深度）的單位歷線

1. 計算有效降雨深度 $P_e$ 並轉換單位： 該場降雨之有效降雨延時為 $T = 1\text{ hr}$，有效降雨深度為： $P_e = i_{e2} \times 1\text{ hr} = 20\text{ mm} = 2.0\text{ cm}$

2. 水量平衡檢核（直接逕流總深度）： 時距 $\Delta t = 1\text{ hr} = 3600\text{ s}$，集水區面積 $A = 3.6\text{ km}^2 = 3.6 \times 10^6\text{ m}^2$。 直接逕流總體積為：

核心觀念

1. 受壓含水層非穩定流與補注原理： 地下水補注（Groundwater Recharge / Injection）在水力學上可視為「負抽水」（Negative Pumping）。當向受壓含水層注入水量 $Q$ 時，水頭變化由原本抽水形成的洩降錐（Cone of Depression）轉為向上的水頭抬升錐（Groundwater Mound）。水頭抬升量 $z$ 的數學解與抽水洩降 $s$ 完全對稱。
2. Cooper-Jacob 近似公式： Theis 非穩定流井函數 $W(u)$ 在無因次參數 $u = \frac{r^2 S}{4Tt} \le 0.01 \sim 0.05$（即注水時間足夠長或距離井距較近）時，展開式的高階項可忽略，僅保留前兩項簡化為對數形式： $z = \frac{Q}{4\pi T}\left(-0.5772 + \ln\frac{4Tt}{r^2S}\right)$ 式中，$-0.5772$ 為歐拉-馬歇羅尼常數（Euler-Mascheroni constant）的相反數。
3. 水位恢復判定準則： 原抗旱抽水造成地下水位下降 $\Delta h = 5\ \mathrm{m}$。補注後水位上升量 $z \ge 5\ \mathrm{m}$，表示該觀測井水位可恢復至抽水前地下水位；若 $z < 5\ \mathrm{m}$，則無法完全恢復。

解題方法

步驟一：整理已知條件並統一單位制（SI 單位制）

• 流通係數：$T = 0.04496\ \mathrm{m^2/s}$
• 儲水係數：$S = 6.01 \times 10^{-5}$（無因次）
• 補注量：$Q = 0.55\ \mathrm{m^3/s}$
• 連續補注時間：$t = 5\ \mathrm{hr} = 5 \times 3600\ \mathrm{s} = 18{,}000\ \mathrm{s}$
• 觀測井 A 距離：$r_A = 65\ \mathrm{m}$
• 觀測井 B 距離：$r_B = 500\ \mathrm{m}$
• 抗旱下降水頭：$\Delta h = 5\ \mathrm{m}$

步驟二：計算共通係數項

1. 水力前置係數： $\frac{Q}{4\pi T} = \frac{0.55}{4 \times \pi \times 0.04496} \approx \frac{0.55}{0.56500} \approx 0.97345\ \mathrm{m}$

2. 分子項 $4Tt$： $4Tt = 4 \times 0.04496 \times 18{,}000 = 3{,}237.12\ \mathrm{m^2}$

步驟三：計算觀測井 A 之水位上升量（$r_A = 65\ \mathrm{m}$）

1. 計算分母 $r_A^2 S$： $r_A^2 S = 65^2 \times (6.01 \times 10^{-5}) = 4{,}225 \times (6.01 \times 10^{-5}) = 0.25392\ \mathrm{m^2}$

2. 檢核 Cooper-Jacob 適用條件： $u_A = \frac{r_A^2 S}{4Tt} = \frac{0.25392}{3{,}237.12} \approx 7.84 \times 10^{-5} \ll 0.01$ 滿足 $u \le 0.01$，近似解完全適用。

3. 代入近似解公式： $\frac{4Tt}{r_A^2 S} = \frac{3{,}237.12}{0.25392} \approx 12{,}748.58$ $\ln\left(\frac{4Tt}{r_A^2 S}\right) = \ln(12{,}748.58) \approx 9.4532$