107 高普考普通考試 水利工程 水資源工程概要 考古題詳解

核心觀念

本題考核水資源工程中之水庫水理蓄水演算與水收支平衡（Water Budget / Continuity Equation）​及水庫容積數值計算法。

1. 水庫連續方程式（水收支平衡）： 水庫在特定時間區間內，水位下降所釋出之蓄水量變化量 $\Delta S$ 等於淨流出水量： $\frac{dS}{dt} = I - O - E - G$ 題目明定蒸發（$E$）與滲流（$G$）不計，故簡化為： $\Delta S = \bar{Q}_{\text{net}} \cdot \Delta t = (\bar{O} - I) \cdot \Delta t$ 降水所需時間： $\Delta t = \frac{\Delta S}{\bar{O} - I}$ 其中：

• $\Delta S$：水庫水位在該區間釋出的蓄水體積（$\mathrm{m^3}$）
• $I$：水庫穩定入流量（$\mathrm{m^3/s}$）
• $\bar{O}$：該水位區間之平均出流量（$\mathrm{m^3/s}$）
• $\Delta t$：水位下降該區間所需時間（$\mathrm{s}$）

2. 蓄水容積估算（平均斷面板塊法）： 相鄰兩標高 $h_1$ 與 $h_2$ 間的水庫釋水體積： $\Delta S = \frac{A_1 + A_2}{2} \cdot \Delta h$ 其中面積單位換算：$1\ \mathrm{ha} = 10^4\ \mathrm{m^2}$。

解題方法

題幹首句提及「穩定入流量 $3.0\ \mathrm{m^3/s}$」，隨後之假設條件明確指定「假設該水庫有一穩定入流量 $2.8\ \mathrm{m^3/s}$」。考量國家考試計算條件以題末明確設定之情境為主，故以 $I = 2.8\ \mathrm{m^3/s}$ 為標準解答；為防閱卷標準認定題首數值為準，文末亦完整附上 $I = 3.0\ \mathrm{m^3/s}$ 之計算結果以供參照。

將標高 $20.0\ \mathrm{m}$ 降至 $18.5\ \mathrm{m}$ 依水庫觀測資料分為三個水深區段（$\Delta h = 0.5\ \mathrm{m}$）分別計算：

步驟一：分段計算釋水量與各區段平均出流量

1. 區段一（標高 $20.0\ \mathrm{m} \to 19.5\ \mathrm{m}$）：

• 釋水體積： $\Delta S_1 = \frac{210 + 180}{2}\ \mathrm{ha} \times 0.5\ \mathrm{m} = 195\ \mathrm{ha \cdot m} = 195 \times 10^4\ \mathrm{m^3} = 9.75 \times 10^5\ \mathrm{m^3}$
• 平均出流量： $\bar{O}_1 = \frac{4.40 + 4.30}{2} = 4.35\ \mathrm{m^3/s}$

2. 區段二（標高 $19.5\ \mathrm{m} \to 19.0\ \mathrm{m}$）：

• 釋水體積： $\Delta S_2 = \frac{180 + 165}{2}\ \mathrm{ha} \times 0.5\ \mathrm{m} = 172.5\ \mathrm{ha \cdot m} = 172.5 \times 10^4\ \mathrm{m^3} = 8.625 \times 10^5\ \mathrm{m^3}$
• 平均出流量： $\bar{O}_2 = \frac{4.30 + 4.20}{2} = 4.25\ \mathrm{m^3/s}$

3. 區段三（標高 $19.0\ \mathrm{m} \to 18.5\ \mathrm{m}$）：

• 釋水體積： $\Delta S_3 = \frac{165 + 155}{2}\ \mathrm{ha} \times 0.5\ \mathrm{m} = 160\ \mathrm{ha \cdot m} = 160 \times 10^4\ \mathrm{m^3} = 8.00 \times 10^5\ \mathrm{m^3}$
• 平均出流量： $\bar{O}_3 = \frac{4.20 + 4.10}{2} = 4.15\ \mathrm{m^3/s}$

步驟二：依入流量 $I = 2.8\ \mathrm{m^3/s}$ 計算各區段所需時間

1. 區段一時間 $\Delta t_1$： $\bar{O}_1 - I = 4.35 - 2.8 = 1.55\ \mathrm{m^3/s}$

核心觀念

本題旨在考查供水系統中配水池（蓄水池）調節容量（Balancing Storage / Regulating Capacity）​之計算。

1. 水力平衡原理（質量守恆定律）： 配水池之主要功能為調節「均勻入水」與「變動出水」之間的時間分配不均。連續性方程式為： $\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = I(t) - Q(t)$ 其中 $I(t)$ 為進水率（抽水機抽水率），$Q(t)$ 為出水率（各小時用水需求量），$S(t)$ 為蓄水池內水量的蓄變歷程。
2. 24 小時均勻抽水條件： 當抽水機全日 $24$ 小時以固定抽水率連續運轉時，固定抽水率 $P$ 即等於一日最大用水量之每小時平均需求率： $P = \frac{\sum_{t=1}^{24} Q_t}{24}$
3. 調節容量判定準則（表計綜合法／質量曲線法）： 蓄水池所需之最小有效調節容量 $V$，為全日累積供需差額歷程中「最大累積盈餘量（最高蓄水位）」與「最大累積虧缺量（最低蓄水位）」之差額： $V = \max_{0 \le t \le 24} S(t) - \min_{0 \le t \le 24} S(t)$ 若一日內僅出現一次供大於求（盈餘期）與一次供不應求（赤字期），則蓄水池調節容量恰等於盈餘期之總盈餘量，亦等於赤字期之總赤字量。

解題方法

步驟一：計算全日總需求量與固定抽水率

將題目所給各時段需求量加總（單位：$\mathrm{l/s}$）：

• 01:00～06:00 之和： $830 + 740 + 650 + 640 + 630 + 650 = 4,140\text{ l/s}$
• 07:00～12:00 之和： $670 + 790 + 900 + 990 + 1,000 + 1,010 = 5,360\text{ l/s}$
• 13:00～18:00 之和： $1,020 + 1,040 + 1,050 + 1,030 + 1,035 + 1,040 = 6,215\text{ l/s}$
• 19:00～24:00 之和： $1,040 + 1,070 + 1,090 + 1,105 + 1,070 + 1,000 = 6,375\text{ l/s}$

全日總需求量相當率： $\sum_{t=1}^{24} Q_t = 4,140 + 5,360 + 6,215 + 6,375 = 22,090\text{ l/s}$

因抽水機 $24$ 小時等速運轉，其固定抽水率 $P$ 為： $P = \frac{22,090}{24} = 920.417\text{ l/s} \quad \left( = \frac{11,045}{12}\text{ l/s} \right)$

步驟二：分析盈虧時段

比對各時鐘時間之需求量 $Q_t$ 與抽水率 $P \approx 920.417\text{ l/s}$：

• 盈餘期（供大於求，$P > Q_t$）： 00:00 至 09:00（共 $9$ 個小時，01:00～09:00 各小時需求量皆小於 $920.417\text{ l/s}$）。抽水機抽出之多餘水量存入蓄水池。
• 赤字期（供不應求，$Q_t > P$）： 09:00 至 24:00（共 $15$ 個小時，10:00～24:00 各小時需求量皆大於 $920.417\text{ l/s}$）。不足之水量由蓄水池放水補充。

核心觀念

本題考查水文測量與開渠水力學中的比降—面積法（Slope-Area Method）。該方法常用於洪水過後，利用沿河殘留的高水痕求得水面坡度，並量測河道斷面幾何與推估糙度，間接計算洪峰流量。

本題涉及的核心公式與物理定律如下：

1. 水力半徑定義： $R = \frac{A}{P}$ 其中 $A$ 為通水面積（$\mathrm{m^2}$），$P$ 為潤周（$\mathrm{m}$）。
2. 曼寧公式（Manning's Formula）與導水係數（Conveyance, $K$）： $Q = \frac{1}{n} A R^{2/3} S_f^{1/2} = K \sqrt{S_f}$ 其中 $n$ 為曼寧糙度係數，$S_f$ 為能量坡降（摩擦比降），$K = \frac{1}{n} A R^{2/3}$ 為該斷面之導水係數。
3. 比降—面積法之河段代表導水係數： 依據水力學標準規範（如 USGS 規範），兩斷面間之代表導水係數取兩端幾何平均值： $K_m = \sqrt{K_A \cdot K_B}$
4. 能量方程式（Energy Equation）： $Z_A + \frac{\alpha_A V_A^2}{2g} = Z_B + \frac{\alpha_B V_B^2}{2g} + h_f + h_e$ 其中 $Z$ 為水位，$\frac{V^2}{2g}$ 為速度水頭，$h_f$ 為沿程摩擦水頭損失，$h_e$ 為局部渦流損失。當河段平直且斷面變化極小時，速度水頭變化極微，摩擦比降可直接以水面比降近似： $S_f \approx S_w = \frac{Z_A - Z_B}{L}$

解題方法

步驟一：判斷水流方向與斷面水力特性

斷面 A 水位 $Z_A = 78.3\ \mathrm{m}$，斷面 B 水位 $Z_B = 78.0\ \mathrm{m}$。因 $Z_A > Z_B$，水流方向由斷面 A 流向斷面 B（A 為上游，B 為下游）。

計算各斷面之水力半徑 $R$ 與導水係數 $K$：

• 斷面 A： $R_A = \frac{A_A}{P_A} = \frac{180}{50} = 3.6\ \mathrm{m}$ $R_A^{2/3} = (3.6)^{2/3} \approx 2.3489$ $K_A = \frac{1}{n_A} A_A R_A^{2/3} = \frac{1}{0.030} \times 180 \times 2.3489 = 6000 \times 2.3489 = 14093.4\ \mathrm{m^3/s}$

• 斷面 B： $R_B = \frac{A_B}{P_B} = \frac{183}{51} \approx 3.5882\ \mathrm{m}$ $R_B^{2/3} = (3.5882)^{2/3} \approx 2.3438$ $K_B = \frac{1}{n_B} A_B R_B^{2/3} = \frac{1}{0.025} \times 183 \times 2.3438 = 7320 \times 2.3438 = 17156.4\ \mathrm{m^3/s}$

步驟二：計算水面比降（$S_w$）

兩斷面間距 $L = 1000\ \mathrm{m}$，落差 $\Delta Z = 78.3 - 78.0 = 0.3\ \mathrm{m}$： $S_w = \frac{Z_A - Z_B}{L} = \frac{0.3}{1000} = 0.0003$

核心觀念

本題屬於水資源規劃與工程經濟中之​「有限預算下獨立水資源開發計畫之評選」（Evaluation of Independent Projects under Budget Constraint）。

1. 基本經濟指標定義：

• 純益（Net Benefit, $NB$）： $NB = B - C$ 其中 $B$ 為年受益（Benefit），$C$ 為年成本（Cost）。
• 益本比（Benefit-Cost Ratio, $B/C$）： $\frac{B}{C} = \frac{\text{年受益}}{\text{年成本}}$
• 個別計畫可行性門檻：獨立計畫欲具備經濟可行性，必須滿足 $B/C \ge 1.0$ 且 $NB \ge 0$。

2. 評選準則之差異：

• 無預算限制時：所有具經濟可行性（$NB > 0$ 或 $B/C > 1$）之獨立計畫皆可同時採行。
• 有預算限制時：在總成本不超過預算上限的前提下，以總純益最大化為決策目標： $\max \sum_{i} NB_i \quad \text{subject to} \quad \sum_{i} C_i \le \text{預算上限}$ 水資源工程各計畫屬於「不可分割」（Indivisible）之實體工程，本質為 $0\text{-}1$ 整數規劃問題（背包問題，Knapsack Problem）。不可僅以益本比大小直接貪婪選取，必須檢視近預算上限之可行組合，以求得全域最大純益。

解題方法

步驟一：計算各計畫之純益與益本比

先逐一計算十個獨立計畫之平均年純益 $NB = B - C$ 及益本比 $B/C$（金額單位：千元）：

步驟二：剔除不可行計畫

計畫 H 之年純益為負值（$-1{,}000$ 千元），$B/C < 1.0$，不具經濟效益，優先予以剔除。

步驟三：計畫數量上限界定

在預算限制 $200{,}000$ 千元下：

• 若選取成本最低的 5 個可行計畫（C、I、G、B、D），其總成本為：